Группа операторов, преобразующих функции

В 47 было выяснено, как преобразуется функция, заданная в некоторой области пространства, однопараметрической группой преобразований. Результат был представлен в двух формах уравнение Лиувилля и ряд Ли. В обеих формах приведенные соотношения связывали выражение рассматриваемой функции в старых координатах, ее выражение в новых координатах и оператор группы преобразований старых координат в новые. [c.227]

Теперь мы рассмотрим более подробно связь между молекулярной точечной группой и группой молекулярной симметрии. Каждая операция О группы молекулярной симметрии преобразует, вообще говоря, как вибронные переменные, так и углы Эйлера и ядерные спины [и спины электронов в случае Гунда (а)]. Поэтому мы можем записать каждую операцию О в виде произведения коммутирующих операторов Оа, О и Ос, из которых Оа действует только иа вибронные переменные [и на спиновые функции электронов в случае Гунда (а)], Оь действует только на углы Эйлера, а Ос осуществляет перестановку ядер-ных спинов. Любая из этих операций может быть тождественной операцией, для которых мы используем обозначения Е, / и ро соответственно. Таким образом, мы можем записать каждую операцию группы МС в виде [c.303]

Если P(q) — собственная функция оператора U, то она преобразуется соответствующей этому оператору группой так [c.221]

Очевидно, (109.5а) и (109.56) применимы для любой операции из группы Таким образом, рассматриваемая как обобщенная функция пространственных переменных, на которые действует в конфигурационном пространстве оператор Р ф , потенциальная энергия Ф преобразуется по единичному представлению, т. е. по представлению, для которого все элементы группы представлены числом - -1. Для удобства обозначим единичное представление как (Г)(1- -). При рассмотрении кубических групп ниже мы увидим, что для единичного представления употребляется символ (Г)(- -1). Как правило, й = Г = (О, О, 0) обозначает нулевой вектор в зоне Бриллюэна, а т = 1 удобный символ для единичного представления группы (Г). Таким образом, (109.5а) и (109.56) можно переписать в виде [c.328]

Каждая из функций является собственной функцией Т , т. е. под действием операторов Тт преобразуется в соответствии с соотношением (II. 4), куда никакие другие решения уравнения Шредингера не входят. Отсюда ясно, что каждая из этих функций преобразуется по одномерному представлению подгруппы трансляций. Кроме того, как это видно из (II. 4), волновые функции, отвечающие значению А = 0, под влиянием трансляций не изменяются. Это обстоятельство позволяет сделать вывод о том, что волновые функции, отвечающие А==0, осуществляют представление фактор-группы подгруппы трансляций. [c.364]

К аналогичным заключениям можно прийти и для квантовомеханической задачи, которая была рассмотрена в п. 1. Здесь, однако, следует еще раз подчеркнуть, что условие коммутативности (5.8) выполняется только в том случае, если на выбранной системе функций реализуется унитарное представление рассматриваемой группы симметрии. Выбирая в качестве системы функций некоторую полную ортонормирован-ную систему, мы придем к заключению, что при отсутствии случайного вырождения каждому собственному значению оператора энергии соответствует неприводимое представление, по которому преобразуются его собственные функции. [c.65]

Одним из важных приложений теории групп к квантовой механике является установление правил отбора. В широком смысле слова под правилами отбора понимают критерий, позволяющий судить, может ли быть отличным от нуля матричный элемент некоторого оператора, если известно, по каким представлениям рассматриваемой группы преобразуются этот оператор и волновые функции. В теории излучения этот критерий применяется к матричному элементу оператора взаимодействия с электромагнитным полем и используется для определения вероятности перехода квантовомеханической системы из одного стационарного состояния в другое. [c.227]

Оператор 0, как легко проверить, коммутирует с инфинитезимальными операторами вращений и, следовательно, с любым вращением. Но отсюда следует, что если функция гр преобразуется по представлению В группы вращений (или какой-нибудь ее подгруппы), то функция 0 > будет преобразовываться по комплексно сопряженному представлению О. Действительно, [c.235]

Таким образом, однофононная температурная функция Грина отражает смещивание тех колебаний, которым соответствуют операторы, преобразующиеся по одной и той же строке одного неприводимого представления. Число различных, не равных нулю однофононных температурных функций Грина при данном к равно кратности выбранного допустимого неприводимого представления группы к). Если кратность представления равна двум или больше двух, то однофононная температурная функция Грина удовлетворяет матричному уравнению Дайсона, которое после преобразования Фурье по времеии принимает вид [c.80]

Такой подход, использующий свойства симметрии молекул (метод неприводимых тензорных операторов [33]) в течение многих лет успешно используется для анализа спектров молекул тетраэдрической и октаэдрической симметрии. Наличие у этих молекул дважды и трижды вырожденных колебаний существенно усложняет расчеты, выполняемые в рамках обычной теории возмущений. В то же время формализм неприводимых тензорных систем позволяет сводить задачу вычисления рядов теории возмущений к вычислению стандартных сумм произведений коэффициентов Клебша—Гордана. Следует заметить, что формализм неприводимых тензорных систем особенно эффективен, когда функции и операторы преобразуются по многомерным представлениям группы симметрии молекулы. С этой точки зрения несомненный интерес представляет использование формализма неприводимых тензорных операторов для анализа спектров молекул и более низкой симметрии, чем Та (в частности Спу, /)пу, Опа и других, в которых имеются многомерные колебания), в особенности при наличии случайных резонансов. Принципиальная возможность подобного подхода достаточно понятна и обсуждалась, например, в работе [36]. Однако необходимость корректного количественного описания спектров высокого и сверхвысокого разрешения (в том числе и описания всевозможных расщеплений и случайных резонансов) различного типа молекул требует решения задачи в принципиальном плане и в плане получения конкретных рас- [c.42]

Доказательст в о. Необходимость. Пусть dim S3 = г. Тогда система Xj/ = 0, / = 1, г, имеет, по крайней мере loe G, п — г независимых решений щ (х),. .., Пп-т (х). Если функция v (х) ф О не является инвариантом группы ( , то, например, функция щ (х) не может быть преобразована в v (х). Действительно, любой оператор Z из S3 может быть представлен суммой Z = -j- j-Xr, [c.71]

Преобразования Т нашей группы, применённые к и , и,,..., и , преобразуют это векторное пространство линейно таким образом, что последовательное применение двух различных преобразований Т равносильно двум соответствующим отображениям. Чтобы сохранить согласие с законом матричного умножения, целесообразно при этом принять следующее определение. Если над переменными д функции и д) производится преобразование Т, определяемое переходом к новым переменным = /р( 1, д ), то этому преобразованию переменных д сопоставляется оператор Т, преобразующий функцию и дг.....д ) в функцию и дг.....д ) [c.166]

Собственные функции оператора Й могут быть определены в результате диагонализации матрицы этого гамильтониана, записанной в базисе собственных функций Ф° гамильтониана Й°. Таким образом, каждая собственная функция Й может быть записана в виде линейной комбинации полного набора функций Ф° [см. (5.139)]. Оператор Й как часть Й преобразуется по полносимметричному представлению группы G (или любой ее подгруппы) и в соответствии с общим правилом отбора может иметь отличные от нуля матричные элементы только между функциями Ф°, преобразующимися по одному и тому же представлению группы G (или любой ее подгруппы). Поэтому типы симметрии Г собственных состояний Ф гамильтониана Й совпадают с типами симметрии соответствующих собственных состояний Ф гамильтониана Й°. Таким образом, для определения Г необходимо только классифицировать по типам симметрии базисные функции, если [c.113]

Электронный спин-спиновый гамильтониан коммутирует с операциями группы перестановок электронов Sn и 2" произведений функций типа (6.59) и (6.60) порождают 2"-мерное представление ГЙ группы Это представление легко определяется и, как будет показано ниже на частном примере, может быть разложено на неприводимые компоненты Г,- с помощью соотношения (4.43) вместе с таблицей характеров группы Затем, используя соответствующие проекционные операторы, можно построить из 2" произведений функций их комбинации, преобразующиеся по неприводимым представлениям группы [c.114]

Так как оператор (2.2) преобразуется по единичному представлению группы О и не зависит от спина, то матричные элементы мйжду функциями (2.1) будут отличны от нуля лиигь в случае одинаковых значений Г8 (и ММз). Поэтому полное секулярное уравнение распадается на ряд независимых уравнений (для каждого блока Г8 полной матрицы возмущения). Это означает, что фактически взаимодействуют лишь одинаковые термы Г8. В тех случаях, когда рассматриваемый уровень Г8 не имеет себе подобных (того же тина Г8), сохраняются результаты, которые получены в приближении среднего поля, т. с. линейная (в первом приближении теории возмущений) зависимость от Вд. [c.13]

Если в качестве собственных функций оператора (3.3) рассмотреть величины, преобразующиеся по некоторому конечномерному представлению / размерности Ni подгруппы Ж группы G, и наложить на них условия (II. 6.6), то этот оператор можно привести к виду [c.241]

В п. 3 главы V была доказана теорема Вигнера, лежащая в основе большого числа приложений. Формально эта теорема дает выражение (5.30) для матричного элемента оператора энергаи Я (или любого другого инвариантного оператод>а) на функциях, преобразующихся по неприводимым представлениям группы симметрии этого оператора. Воспользовавшись дираковскими обозначениями для волновых функций и матричных элементов операторов, перепишем (5.30) в виде [c.160]

Можно доказать, что функция Фо.., о преобразуется по тождественному представлению унитарной группы. Волновые функции возбужденных состояний можно, как известно, построить, действуя на функции основного состояния операторами. Опуская нормировочные множители, мы можем натшсать [c.171]

Если изменять величину возмущения V, сохраняя его симметрию, то смещение АЕ, собственных значений будут также изменяться, и некоторые уровни энергии Еа, как функции параметров возмущения, могут пересечься. В точках пересечения уровней будет иметь место случайное вырождение, так как собственные функции, соответствующие этому значению энергаи, будут преобразовываться по приводимому представлению группы б о- Существует, однако, правило, которое в некоторых случаях запрещает пересечение уровней, соответствующих эквивалентным неприводимым представлениям. Рассмотрим для простоты два невырожденных уровня, предполагая, что ooтвeт твyюшJIe им волновые функции 1 и -фг преобразуются по эквивалентным неприводимым представлениям группы Сц. Допустим, что при некотором значении возмущения 1 1 рассматриваемые уровни энергаи Ех и Ег почти совпадают. Выясним, может ли отклонение возмущения V от значения 1 1 вызвать пересечение этих уровней. Обозначим через V разность V - Ух и через г , матричные элементы этого оператора. Новые уровни энергаи мы найдем, решая вековое уравнение [c.215]

Линейные комбинации функций 1, 2, , Фк, Для которых матрица возмущения диагональна, называются правильными функциями нулевого приближения. Как известно, собственные функции возмущенного оператора непрерывно переходят в эти функции при выключении возмущения. Так как оператор возмущения V инвариантен относительно некоторой группы Су, то правильные функции нулевого приближения должны преобразовываться по неприводимым представлениям этой группы (см. главу V). Если в разложении представления Г, по которому преобразуются фуныщи 1,1 2, , фк, каждое неприводимое представление трутшы С встречается не более одного раза, то, построив из функций ф, ф2,---, фк линейные комбинации, преобразующиеся по неприводимым представлениям группы Сь мы найдем правильные функции нулевого приближения. Если же одно и то же представление [c.217]

Пусть функции фк преобразуются по представлению 23, а оператор Оа — по представлению В некоторой группы С. Тогда, для того чтобы матричный элемент (21.32) был отличен от нуля, необходимо, чтобы в прямом произведении 0x0x0 содержалось тождественное представление. Однако можно получить некоторые дополнительные ограничения, если учесть симметрию матричного элемента относительно перестановки значков г, . Подчеркнем, что в этом случае, когда функции, стоящие слева и справа от оператора, принадлежат одному и тому же базису некоторого представления, перестановка значков матричных элементов дает снова ту же совокупность матричных элементов, что не имеет места, если упомянутые функции принадлежат разным базисам. Мы можем написать [c.234]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...