Интегральные уравнения контакта тел

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УПРУГОГО КОНТАКТА ТЕЛ [c.12]

Уравнения (10.2) и (10.3) с учетом соотношений (10.5) образуют систему интегральных уравнений. Решая их методом последовательных приближений, с учетом граничных условий для контактных задач (см. с. 9) можно найти неизвестные напряжения в зонах контакта, размеры этих зон и кинематические перемещения тел. [c.183]

Пусть плотность р х, Х2), распределенная по площадке контакта ш, 5Ш-ляется решением интегрального уравнения (5.6). Величина Р равнодействующей внешних сжимающих сил, приложенных к каждому из контактирующих тел, определяется равенством [c.76]

Увеличение точности описания поверхности требует разработки специальных численных методов при решении контактных задач, позволяющих работать с большими массивами данных [153, 205, 238]. В большинстве случаев определение контактных характеристик сводится к решению интегрального уравнения (1.5). Алгоритм расчёта контактных характеристик, непосредственно использующий данные о топографии шероховатой поверхности и основанный на обратных соотношениях, описан в [156]. Перспективным при численном решении задач дискретного контакта является использование методов, основанных на быстром преобразовании Фурье. Использование этих методов практически позволяет нивелировать различия при проведении расчётов для однородных тел и тел с покрытиями [209, 221, 229]. [c.14]

Величина P xQ,yo) является локальной характеристикой сближения тел в подобласти Г2о> находящейся под действием номинального давления р хо,уо). Поскольку подобласть f2o много меньше номинальной области контакта f2, при определении Р хо,уо) можно пренебречь кривизной поверхности / (ж, у) в точке (жо, уо). Указанные обстоятельства дают основание для использования при определении дополнительного смещения /3 хо,уо) решений периодических контактных задач, в которых пространственное расположение инденторов моделирует параметры микрогеометрии поверхности в окрестности рассматриваемой точки (жо,2/о)> а уровень номинальных давлений определяется величиной р хо, Уо). Как было показано в 1.2, при известных номинальном давлении и пространственном расположении инденторов фактические давления Рг х, у) на пятнах контакта определяются однозначно, что дает возможность сделать вывод о представимости дополнительного смещения (1.47) как функции номинального давления С р]. Эта функция может быть построена на основании соотношения (1.47), в котором фактические распределения давления на пятнах контакта определяются из решения интегральных уравнений (1.17) и (1.23). [c.58]

Излагаются аналитические методы и результаты решения большого круга неклассических задач механики контактных взаимодействий упругих тел. Рассмотрены статические и динамические контактные задачи теории упругости для тел сложной конфигурации, неоднородных тел и контактные задачи с усложненными условиями в зоне контакта. Для решения указанных задач разработаны эффективные аналитические методы решения парных рядов-уравнений, интегральных уравнений и бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. Получен ряд качественно новых и важных результатов, касающихся зависимости контактных напряжений, жесткости системы штамп-упругое тело, размеров области контакта и деформации свободной поверхности от параметров задач. [c.1]

Отметим, что в [50] также рассматривается плоская контактная задача для круговой лунки, т.е. тела, образованного пересечением двух окружностей (преобразование инверсии клина на плоскости). Используются биполярные координаты. Как и для плоского упругого клина, здесь удается получить точную функцию Грина [30] для последующего решения контактной задачи. Однако для этого после применения комплексного интегрального преобразования Фурье приходится решать функциональное уравнение со сдвигом. Для решения интегрального уравнения контактной задачи применяется асимптотический метод, эффективный для относительно удаленной от угловых точек области контакта. Приводятся численные результаты. [c.194]

В плоских задачах о внедрении в упругое полупространство цилиндрических тел, как правило, предполагается, что поверхность Ej, ограничивающая ударник, является гладкой, а ее направляющая кривая выпукла. Эти вопросы при вертикальном движении ударника и постоянной скорости внедрения рассмотрены в работах В. Д. Кубенко [41], С. Н. Попова [51, 52], В. Д. Кубенко и С. Н. Попова [42]. В первой из них использовано разложение в тригонометрический ряд Фурье по координате х с периодом, равным расстоянию между соседними периодически расположенными на полуплоскости фиктивными штампами. Он выбирается так, чтобы за рассматриваемый промежуток времени соседние штампы не оказывали влияния друг на друга. В трех других работах с помощью интегральных преобразований задача сведена к бесконечной системе интегральных уравнений Вольтерра. Найдены напряжения в центральной точке контакта. [c.378]

В. М. Александровым [2, 3] предложена модель износа, связанного с локальным оплавлением поверхности одного из взаимодействующих и движущихся друг относительно друга упругих тел. Количество тепла, выделяемого в единицу времени в области контакта, считалось пропорциональным мощности работы сил трения. Это тепло шло на расплавление поверхностного слоя, который выжимался из-под штампа. Изучены плоская [2] и осесимметричная [3] постановки задачи. Получены линейные интегральные уравнения, для решения которых используется метод преобразования Лапласа и метод сращиваемых асимптотических разложений. В [3] для определения контактных давлений получено асимптотическое выражение, справедливое для малых времен [c.443]

Некоторые приближенные подходы к исследованию изнашивания тел сложной формы, имеющих вытянутую область контакта, предложены в работе [16]. Задача сведена к исследованию линейных интегральных уравнений для нагрузок в различных сечениях. [c.443]

Предполагаем также, что упругий бандаж является достаточно массивным телом, размеры которого значительно превышают размер области контакта 2а. Тогда согласно теории Герца радиальные перемещения поверхности бандажа от давления q(z) с достаточной степенью точности можно аппроксимировать радиальными перемещениями от того же давления поверхности бесконечной цилиндрической шахты радиуса R в упругом пространстве. С учетом этого на основании условия (1) и формул (1.11), (1.14) приведем задачу к следующему интегральному уравнению относительно контактного давления a R, z) = —q(z) ( i = GJ 1 - i/j)) [c.98]

Заметим, что функция Н f), которая является решением интегрального уравнения (3.7) с правой частью, равной 1/0 ( ), учитывает влияние упругомгновенных деформаций и деформаций ползучести сжимаемых тел с учетом старения материала на контактное давление р (ж, t) в рассматриваемом периоде времени. В формуле (3.10) первый член представляет собою решение с особенностями в точках х = аж подлежит сохранению только в случае заданной ширины контакта 2а при этом неизвестная функция у t) определяется из уравнения равновесия [c.195]

Если принять, что одно из тел неподвижно и на участке контакта соприкасающихся тел действует нормальное давление р (х) и кулоново трение q (х) = кр (х), ж воспользоваться принципом суперпозиции для обобщенных перемещений, то решение задачи нелинейной теории ползучести с учетом сил трения сведется к решению сингулярного интегрального уравнения Фредгольма первого рода следующего вида [c.199]

Все полученные в упомянутых работах решения задач о контакте двух тел, находящихся в условиях неустановившейся ползучести, относятся к случаям, когда определение контактного давления р х, ) сводится к последовательному решению двух связанных между собой интегральных уравнений типа (3.22) и (3.23) или (3.34) и (3.35). [c.201]

Уравнение (17) представляет собой интегральное уравнение относительно неизвестного закона распределения давления р по эллиптической площадке контакта Р. Кроме того, подлежат определению также размеры площадки контакта (большая а и малая Ь полуоси контурного эллипса) и величина сближения б соприкасающихся тел. [c.387]

Там же [66, 67] рассмотрена неосесимметричная задача о взаимодействии упругого бесконечного цилиндра радиуса Я с упругим бандажом, внутренний радиус которого Я=Я —е(г, (р), е>0. Пусть упругие постоянные бандажа и цилиндра соответственно Е, V и В, у. Силы трения между поверхностями бандажа и цилиндра будем предполагать отсутствующими, а вне бандажа поверхность цилиндра не нагруженной. Условие контакта между бандажом и цилиндром имеет вид ,(/ , 2, ф) —и.г Я, г, ф) = е(2, ф), а, где а,( , г, ф), ,(/ , г, ф) — соответственно радиальные перемещения точек поверхности цилиндра и бандажа, а — полуширина бандажа. Предположим теперь, как это делается в известной теории Герца о контакте двух упругих тел, что радиальные перемещения поверхности бандажа от давления р(г, ф) могут быть с достаточной степенью точности аппроксимированы радиальными перемещениями, от того же давления, поверхности бесконечной цилиндрической шахты радиуса Я в упругом пространстве. Предположим также, что для 8 (г, ф) справедливо представление (5.5), и рассмотрим случай (5.6). Интегральное уравнение для определения контактного давления имеет вид [c.230]

Эллиптическая и прямоугольная области. Наиболее простая задача о вдавливании штампа без сил сцепления и трения может быть сформулирована в виде двумерного интегрального уравнения нз (2.2) с правой частью, заданной вообще с точностью до трех постоянных (определяющих перемещения штампа как твердого тела). При этом соответствующая область контакта — эллипс или прямоугольник. Указанные постоянные следует находить из условий равновесия штампа. В случае линейно-деформируемого основания, для которого имеет место (1.3) и (1.7), указанное интегральное уравнение приобретает вид [c.298]

В [3] рассматривалась задача о вдавливании нагретого штампа с плоским прямолинейным основанием в упругое тело, занимающее полуплоскость. В работе (5] эта задача обобщается на случай штампа произвольного очертания. Рассматривается нагретый штамп, вдавливаемый в упругую изотропную полуплоскость под действием силы Р. Пусть у= = —f(x)—уравнение поверхности, ограничивающей штамп. Положено, что функция f(x) является четной функцией и что силы трения на площадке контакта между штампом и упругой полуплоскостью не возникают. Эта задача также сведена к интегральному уравнению первого рода. В результате решения этого уравнения найдено распределение нормального напряжения а, на площадке контакта с учетом влияния температуры. Подробно рассмотрен пример, когда штампом является [c.346]

Наше предложение можно проиллюстрировать на задаче, рассмотренной в [39]. На фиг. 2 изображен контакт двух тел I и П при возрастании области контакта в момент времени Точки A и В, вступят в контакт соответственно с точками и Вг лишь в момент времени Очевидно, что в момент времени (, функция / (х, Л) может быть определена так, как это делается в к. з. у., лишь на отрезке АВ, в то время как для решения интегрального уравнения (5.7) требуется знание ш,(х, ,) и вне АВ. [c.377]

Тем же автором в работе [77] рассмотрены задачи о контакте качения между вязкоупругими цилиндрами, между вязкоупругим цилиндром и жесткой полуплоскостью, между жестким цилиндром и вязкоупругой полуплоскостью. Исследование проводилось в предположении установившегося качения, равных нулю касательных усилий в зоне контакта, а также отсутствия инерционных эффектов. Рассматриваемые задачи свелись к решению соответствующих сингулярных интегральных уравнений относительно распределения контактного давления, ядра которых обладают как сильной, так и слабой сингулярностью. Введение малого геометрического параметра позволило упростить полученные интегральные уравнения, метод решения которых основан в дальнейшем на применении конечного преобразования Гильберта. Контактное давление получалось использованием обычного обратного преобразования. Предложенный способ решения сингулярных интегральных уравнений применим к весьма общей модели вязкоупругого тела с конечным спектром характерных времен. В одном из разделов данной работы наиболее подробно рассмотрен случай, когда материал характеризуется единым временем памяти. Определяя величину у как отношение времени движения частицы в зоне контакта к мере памяти, исследованы возможные случаи поведения материала. В частности, малой величине у соответствует быстрое качение цилиндра и в основном упругое поведение мате- [c.402]

Дана корректная постановка задач о динамическом нагружении упругих тел с трещинами, учитывающая возможность контактного взаимодействия берегов и образования областей плотного контакта, сцепления и скольжения. Рассмотрен случай произвольного динамического и гармонического нагружения. Показано, что задачи в такой постановке сводятся к граничным интегральным уравнениям и односторонним ограничениям в виде неравенств. Приведены интегральные уравнения других контактных задач с односторонними ограничениями теории упругости, пластин и оболочек. Дан также краткий обзор литературы по проблемам контактного взаимодействия твердых тел и тел с трещинами. [c.61]

Подставив соотношения (81) в условия (80), получим систему интегральных уравнений. С помощью этой си-сте.мы и уравнений равновесия можно найти неизвестные давления в зонах контакта, размеры этих зон и кинематические перемещения тел. [c.544]

Трудности определения контактных напряжений в рамках теории упругости обусловлены тем, что перемещения произвольной точки поверхности контакта зависят от распределения давлений по всей области контакта. Следовательно, отыскание давления в какой-либо точке области контакта твердых тел заданного профиля требует решения интегрального уравнения. Эти [c.122]

Рассмотренный здесь интегральный метод решения нестационарного уравнения теплопроводности отличается простотой результаты, полученные с его помощью, для относительно простых тел достаточно хорошо согласуются с точными. Метод этот может быть применен и к более сложным задачам, в частности, когда на поверхности контакта с газом задается нелинейное условие. [c.295]

Таким образом, расчет упругого контакта тел (определение -напряжений в зоне контакта, размеров этой зоны и кинематического перемещения тел) сводится к решению интегральных уравнений (1.21) с учетом уравнений равновесия и краевых условий. Реще-пие этой системы может быть получено заменой интегральных уравнений конечной системой линейных алгебраических уравнений (приближенное решение). [c.12]

Ззхмена интегрального уравнения упругого контакта тел системой линейных алгебраических уравнений (метод Фредгольма) эквивалентна допущению об удовлетворении условий совместности перемещений в конечном числе точек контакта. Последнее соответствует основе численных методов теории упругости — замене континуальной расчетной модели детали (тела) с непрерывным распределением параметров и бесконечным числом степеней свободы дискретной моделью, имеющей конечное число неизвестных. [c.115]

При решении задачи о контакте шероховатых тел рассматриваются в основном бесконечные тела и численная процедура сводится к итерационному решению интегрального уравнения типа Гаммерштейна [27]. [c.142]

Для определения закона распределения теплового потока между двин<ущимися контактирующими телами с учетом естественных краевых условий следует решить соответствующую тепловую контактную задачу для движущихся тел с подвил<ными границами. Решение ее лредставляет большие математические трудности. Для площадки контакта постоянных размеров задача рассмотрена М. В. Коровчинским [8, 9]. Решение получено в виде системы интегральных уравнений, численная реализация которых затруднительна. Вместе с тем с учетом кратковременности процесса заклинивания для вычисления коэффициента распределения потока трения между движущимися контактирующими телами с достаточной точностью можно воспользоваться решением, полученным И. В. Кра-гельским[10] [c.169]

Н. Карасевым и Ю. П. Артюхиным [16]. В ряде публикаций эффект поперечного обжатия интерпретируется как сминание некоторого поверхностного слоя (пусть даже фиктивного). Это сминаине может быть следствием шероховатости поверхности, реального обжатия материала пластины под штампам, если пластину рассматривать с позиции теории упругости,и т. д. Введение упругого слоя при рассмотрении контактных задач теории упругости предложено еще И. Я. Штаер-маном [20]. Такая модель обсуждалась И. А. Биргером при рассмотрении контакта стержней [6], пластин и оболочек [7], М, В, Блохом [8, 9, 10, 11 — для пластин и при осесимметричном контакте оболочек, Г. Я. Поповым [18] — при анализе интегральных уравнений контактных задач для тонкостенных тел. [c.184]

Интегральные представления комплексных потенциалов Ф (г) и Y (г) (1.145) являются общим решением двумерной бигармони-ческой задачи, содержащим две произвольные комплексные функции g (/) и q (/) (или четыре действительные функции), что позволяет с их помощью изучать самые разные краевые задачи для областей с разрезали . В частности, удовлетворив с помощью представления (1.145) и формул (1.26), (1.30), (1.42) граничным условиям плоской задачи теории упругости для бесконечной плоскости с разрезами, когда на одном берегу разреза заданы смещения, а на другом — напряжения, найдем сингулярные интегральные уравнения второго рода. При использовании условий неидеального контакта упругих тел, когда напряжения и смещения берегов разреза связаны линейными зависимостями (см. [40, 172, 175, 261]), легко получить сингулярные интегро-дифференциальные уравнения типа Прандтля для тел с тонкостенными упругими включениями 238]. Интегральные представления могут быть использованы при решении различных смешанных задач для тел с разрезами, задач о полосах пластичности, моделируемых скачками перемещений [23], и др. [c.38]

При 1а Ra для определения номинальных (осреднённых) давлений целесообразно использовать интегральное уравнение (1.45), в котором функция дополнительного смещения С р] может быть получена методом, изложенным в 1.4. При известной функции дополнительного смещения интегральное уравнение (1.45) полностью решает задачу определения номинального давления р х, у) при заданной области номинального контакта fi, заданной макроформе взаимодействующих тел, описываемой функцией f x,y), и их сближении D. В случае, если номинальная область контакта заралее не известна, задача сводится к определению области О, с границей д 1 и номинального давления р х, у) из следующих условий [c.63]

Покажем, что для функции С[р], заданной выражением (1.51), давление не может возрастать до бесконечности на концах площадки контакта. Действительно, предполагая, что давление имеет интегрируемую степенную особенность, т. е. особенность вида (1 0 (О < б < 1) в точке ( = 1, и учитывая, что ядро интегрального уравнения имеет особенность вида 1п(1 - ( ), получим, что левая часть уравнения (1.59) имеет особенность порядка (1 —в правой же части особенности нет, что и доказывает высказанное выше утверждение. Таким образом, учёт Дополнительной податливости за счёт смятия микронеровностей Йриводит к исчезновению особенностей давления на краях области взаимодействия, имеющих место в случае постановки контактной задачи для гладких тел, макроформа которых такова. Что имеет место разрыв производной функции смещения и х) на краях площадки контакта (например, для штампа с плоским Основанием, т. е. f x) = О при ж < а). [c.67]

Постановки и подходы к решению контактных задач методом граничных интегральных уравнений во многом сходны со схемами МКЭ. В частности, в работе [232] развиваются идеи использования последовательных и параллельных блочных методов по аналогии с МКЭ для задач контакта нескольких тел. Решены задачи анализа напряжений в резьбовых соединениях с использованием постоянных, линейных и квадратичных граничных элементов. Внимания заслуживает исследование особенностей использования МГИУ для осесимметричных задач при наличии угловых точек на границе. Приведенные расчеты демонстрируют высокую эффективность предлагаемого подхода. [c.13]

Повышение требований к точности расчета конструкций, находящихся в условиях контактного взаимодействия, приводит к необходимости усложнения моделей сплошной среды, в частности, к необходимости учета начальных (остаточных) напряжений, к необходимости развития эффективных методов исследования особенностей контактного взаимодействия преднапряженных упругих тел. Первые работы по контактным задачам для преднапряженных тел были основаны на использовании простых форм упругого потенциала (Трелоара, Муни, Джона и др.) с целью более прозрачного представления о характере влияния и сущности изменений, вносимых начальными напряжениями. В этом плане Л. М. Филипповой в работе [28] рассмотрена задача о внедрении жесткого штампа в упругую полуплоскость из несжимаемого материала Муни. Начальная деформация предполагалась однородной, действующей вдоль границы полуплоскости, трение в области контакта не учитывалось. Задача сведена к решению интегрального уравнения вида [c.234]

Задача для тяжелой полуплоскости из несжимаемого изотропного материала исследована В. М. Александровым, Л. М. Филипповой в [7]. В работе отмечено, что в отличие от классического случая, перемещения в тяжелой преднапряженной полуплоскости от действия сосредоточенной силы определяются однозначно и убывают на бесконечности. Здесь впервые при исследовании контактных задач для преднапряженных тел для решения интегрального уравнения был использован асимптотический метод, оказавшийся достаточно эффективным. Для наклонного штампа установлено, что учет напряжений от собственного веса позволяет однозначно определить смещение штампа, в отличие от классической задачи, где смещение штампа является неопределенным. Для параболического штампа проведен анализ влияния начальных растяжений на распределение контактного давления и размер зоны контакта. [c.235]

Интегрирование уравнения (1) совместно с соответствующим уравнением движения твердого тела и геометрическим условием для определения радиуса пятна контакта типа (2.2) предлагается проводить численно с помощью квадратурных формул, учитывающих наличие неинтегриру-емых особенностей у функции С (Ь,х) на прямых = ж . Этот алгоритм реализован в работах А. Г. Горшкова и Д. В. Тарлаковского [34], А. Г. Горшкова, А. Л. Медведского и Д. В. Тарлаковского [18-22], где кроме симметричной задачи рассмотрен более сложный вопрос о наклонном ударе цилиндрического тела по упругой полуплоскости при различных условиях контакта. В этом случае вместо уравнения (1) приходится рассматривать систему из двух интегральных уравнений. [c.379]

Поставленные задачи являются нелинейными и сводятся к совместному решению некоторого интегрального уравнения и уравнения теплопроводности. Однако, при помощи введения авторами коэффициента разделения потоков тепла в области контакта (оригинальные исследования по определению этой величины для различных видов сопряжений приведены в [9]), а также разумного усреднения некоторых механических характеристик задач, последние удалось существенно упростить — разбить на износоконтактные задачи и смешанные задачи теплопроводности для соприкасающихся тел. Получены аналитические формулы для основных характеристик явления. Показано, что существует счетный набор скоро- [c.483]

Таким образом, и в нелинейной постановке, основанной на физической зависимости (3.14), контактная задача наследственной теории ползу- 1ести сводится к последовательному решению двух связанных между собой интегральных уравнений (3.22) и (3.23). Решение уравнения (3.22) при различных ядрах (3.15) достаточно хорошо изучено (С. В. Александровский, 1966 Н. X. Арутюнян, 1952 И. Е. Прокопович, 1956 Ю. Н. Работнов, 1966 М. И. Розовский,. 1955) поэтому разыскание функции со (ж, t) не встречает затруднений. Решение же интегрального уравнения Фредгольма первого рода (3.23) со слабой особенностью, когда областью контакта между телами является отрезок — а ж а, строится по методу М. Г. Крейна (1954, 1955). [c.198]

В силу осевой симметрии площадкой контакта будет круг радиуса а. Предполагается,. что иа площадке контакта силы треняя отсутствуют, а также, что контакт двух сжимаемых тел является совершенным. Сле-дбвйтельно, температура на площадке контакта Т(г) в каждой точке равна большей из двух величин Т1(г) и Т (г). Задача сводится к пар- ным интегральным уравнениям, решение которых выполнено двумя методами. В результате получено выражение для определения нормальных напряжений на площадке контакта. [c.354]

Теперь, используя полученные формулы, для задачи о контакте двух вязкоупругих тел прн отсутствии касательных напряжений внутри областй контакта найдем, что интегральное уравнение для определения контактного давления имеет вид [c.399]

В работе М. М. Манукяна [32] рассмотрена задача о взаимодействии вязкоупругих тел с учетом сил трения внутри области контакта. Аналогично тому, как это было сделано в работе [3], получено интегральное уравнение для определения контактного давления р х, t). Последнее имеет вид [c.400]

Граничные равенства (5.51) и (5.58) получены исходя из формулы Сомилианы. Поэтому плотности входящих в них потенциалов имеют прямой фрический смысл это векторы поверхностных сил, перемещений и разрыва перемещений на внешней границе тела и на поверхностях трещин. Такую формулировку метода граничных интегральных уравнений называют прямой. Такой подход имеет ряд преимуществ при решении контактных задач, когда необходимо определять контактные силы взаимодействия и перемещения в окрестности области плотного контакта. [c.125]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...