ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основное линеаризованное уравнение из "Основы расчета на устойчивость упругих систем " Во всех уравнениях будем сохранять только слагаемые первого порядка малости относительно параметра а (см. гл. 1). Все этапы вывода линеаризованного уравнения для пластины аналогичны соответствующим этапам вывода линеаризованного уравнения для стержня (см. 13). Некоторые усложнения, связанные с двумерностью задачи, носят не принципиальный, а чисто технический характер. [c.143] Очевидно, эти моменты имеют тот же первый порядок малости, что и поперечный прогиб aw- х, у). [c.143] Сравнивая выражения (4.27) и (4.28), видим, что момент от усилия Тх, действительно, имеет высший порядок малости по сравнению с,моментами от Qy, Му и Аналогично можно оценить порядок моментов и от остальных силовых факторов, причем следует подчеркнуть, что высший порядок малости слагаемых, отброшенных , в выражении (4.27), не связан с линеаризацией и со значениями поперечных прогибов пластины w, а является следствием бесконечно малых размеров рассматриваемого элемента. [c.144] Те же рассуждения справедливы для суммы моментов относительно оси, параллельной оси у. Таким образом, для отклоненного элемента остаются в силе зависимости (4.16). Следовательно, поперечные силы Qj., Qy, как и моменты М , Му, М у, имеют первый порядок малости относительно параметра а. [c.144] Слагаемые в квадратных скобках имеют второй порядок малости, так как они содержат произведения величин первого порядка малости Q и й, поэтому их тоже следует отбросить. В результате получим уравнения равновесия элемента в отклоненном состоянии, которые не отличаются от уравнений равновесия элемента в начальном состоянии (4.2). Следовательно, Т , Ту, S остаются равными начальным усилиям Т%, Т , S° (с точностью до величин второго порядка малости). [c.144] В соответствии со сделанным выше замечанием усилия в срединной плоскости Тх, Ту, S заменены на начальные усилия Ту, 5 . [c.145] Здесь f = 7° х, у), S = S (х, у), fl=-.T°y х, г/) —распределение начальных усилий при Р = 1. [c.146] Таким образом, задача определения условий существования изгибных состояний равновесия первоначально плоской пластины свелась к типичной задаче на собственные значения требуется найти те значения параметра нагрузки Р , при которых однородное уравнение имеет отличные от тождественного нуля решения, удовлетворяющие заданным однородным граничным условиям. [c.146] По форме уравнение (4.33) совпадает с уравнением поперечного изгиба пластины (4.18), только вместо поперечной нагрузки Р , фигурирующей в уравнении (4.18), в уравнение (4.33) входит величина Pj, линейно зависящая от поперечного прогиба и начальных усилий в срединной плоскости пластины. Совпадение это естественно вывод линеаризованного уравнения (4.33) аналогичен выводу уравнения поперечного изгиба пластины, но роль внешней нормальной нагрузки играют проекции внутренних начальных усилий Тх, Ту, S на ось z, появляющиеся в результате учета поворотов граней элемента пластины. Это позволяет трактовать величину р2 как фиктивную поперечную нагрузку. [c.146] Тогда для получения линеаризованного уравнения задачи устойчивости, рассмотрев деформированное состояние элемента, достаточно найти фиктивную нагрузку и заменить поперечную нагрузку pz в уравнении (4.35) на pf. Следует подчеркнуть, что вопрос о граничных условиях для линеаризованного уравнения требует дополнительного изучения. [c.147] Поскольку основное уравнение имеет четвертый порядок, в каждой точке контура пластины должны быть заданы два граничных условия. Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда участок контура пластины совпадает с одной из координатных линий. Пусть, например, это будет линия х = 0. [c.147] Геометрические граничные условия линеаризованного уравнения теории устойчивости пластин полностью повторяют геометрические условия линейной теории изгиба пластин на краю пластины (в данном случае при х = 0) может быть запрещен поперечный прогиб да и (или) угол поворота. [c.147] Когда на краю пластины прогибы полностью запрещены, внешние контурные нагрузки никак не отражаются на граничных условиях. Например,если по свободно опертому краю л = О к пластине в ее плоскости приложены внешние распределенные нагрузки (у) и qy у), то эти нагрузки не внесут никаких изменений в граничные условия свободного опирания (4.36). [c.148] Все сказанное справедливо и в случае упругозакрепленного края пластины, причем для ненагруженного края граничные условия линеаризованного уравнения (4.33) полностью повторяют граничные условия линейной теории поперечного изгиба пластин. [c.148] Аналогично можно сформулировать условия сопряжения двух пластин различной изгибной жесткости. [c.149] Граничные условия линеаризованного уравнения на криволинейных участках контура пластины, свободных от контурных нагрузок или закрепленных неподвижно относительно поперечного прогиба, не отличаются от граничных условий линейной теории поперечного изгиба пластин, подробное обоснование которых можно найти, например, в работе [12. В тех случаях, когда внешние контурные нагрузки приложены к незакрепленному относительно поперечных перемещений криволинейному краю пластины, силовые граничные условия формулируются из условия равновесия краевого элемента пластины подобно тому, как это сделано выше для прямолинейного края. [c.149] Основное линеаризованное уравнение для пластины постоянной толщины (4.33), полученное в декартовой системе координат, удобно для решения задач устойчивости пластин, контур которых совпадает с координатными линиями. Для пластин другой формы может оказаться удобной другая, не декартова система координат. Так, для круглых пластин основное уравнение удобнее представить в полярных координатах. [c.149] Линеаризованное уравнение в новой системе координат можно получить двумя способами путем повторения вывода в новой системе координат или путем формального преобразования координат. Воспользуемся вторым способом. [c.149] Аналогично уравнение (4.33) можно записать в другой произвольной ортогональной системе координат [12]. [c.151] Формулировка граничных условий и величина pf не зависят от упругого основания. [c.151] Вернуться к основной статье