Понятие о нелинейных колебаниях

Понятие о нелинейных колебаниях [c.220]

ПОНЯТИЕ О НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЯХ [c.221]

Эта глава, которая является вводной, содержит изложение основных понятий и положений, необходимых для изучения нелинейных колебаний. Прежде всего следует сказать несколько слов о колебательных явлениях вообще и о нелинейных колебаниях в частности. Общие закономерности, которыми обладают колебательные процессы в системах различной физической природы, составляют предмет науки, получившей название теории колебаний. Под колебательным явлением принято понимать либо то, что связано с фактом установившегося движения в рассматриваемой системе, либо то, что связано с процессом перехода от одного установившегося движения к другому. Установившееся движение характеризуется повторяемостью и определенной устойчивостью (смысл последнего понятия будет уточнен ниже). Переходные процессы характеризуются тем установившимся движением, к которому они приближаются. Множество переходных процессов данного установившегося движения образует его область притяжения. Смена установившихся движений, которая происходит в результате изменения какого-нибудь физического параметра рассматривае.мой системы при его переходе через некоторое значение, называется бифуркацией. Если при этом смена установившихся движений происходит достаточно быстро, т. е. скачкообразно, то говорят о жестком возникновении нового режима. В противном случае возникновение нового режима называют мягким . Колебательные явления, возникающие в так называемых нелинейных системах, называются нелинейными колебаниями. Однако, прежде чем определить, что такое нелинейная система, рассмотрим более общий класс систем, называемых динамическими системами. [c.7]

Книга предназначена для широкого круга читателей, как для желающих ознакомиться с основными понятиями и методами теории нелинейных колебаний, так и для специалистов, желающих узнать о последних достижениях в этой области. [c.2]

Понятие устойчивости движения является в теории нелинейных колебаний одним из основных понятий, поэтому остановимся на нем подробнее. Среди многих определений устойчивости наиболее известны устойчивость по Ляпунову и орбитная устойчивость. В отношении состояния равновесия эти определения совпадают и состоят в следующем. Состояние равновесия х = х называется устойчивым, если для любого числа е > О можно указать настолько малое число б (е), что для любого другого движения х = = X (i) с начальными условиями, отличающимися от х менее чем на б, при всех последующих значениях i выполняется неравенство [c.13]

С помощью использования указанных понятий задача о свободных нелинейных колебаниях нелинейной системы формально решается так же, как и задача о линейных колебаниях той же системы совершается переход к безразмерным параметрам системы и составляется выражение для податливости (в нашем случае) системы в месте нахождения нелинейного элемента [c.196]

В противном случае систему называют нелинейной. Линейность дифференциальных уравнений и дополнительных условий относительно и (/) еще не означает линейности оператора Н. Так, параметрические системы нелинейны по отношению к параметрическим возмущениям, что находит отражение, например, в методах их аналитического исследования (см. гл. XIX). Как и в теории детерминистических колебании, вводятся понятия о стационарных и нестационарных системах, о системах с конечным, бесконечным счетным и континуальным числом степеней свободы. Операторное уравнение (2) для распределенных систем обычно реализуется в виде дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими граничными и начальными условиями. Поэтому применительно к задачам случайных колебаний распределенных систем применяют также термин стохастическая краевая задача. [c.286]

Для теории нелинейных колебаний теория бифуркаций состояний равновесия и периодических движений представляет интерес не только тем, что облегчает исследование конкретных систем, но и в первую очередь тем, что решает вопрос о характере смены установившегося режима при медленном изменении параметров. Можно напомнить, что именно теория бифуркаций дала математическое описание мягкого и жесткого способов возникновения колебаний в ламповом генераторе и сделала эти понятия одними из основных в теории нелинейных колебаний, а метод точечных отображений позволил решить вопрос о мягком и жестком возбуждении в многомерном случае. Методом точечных отображений была решена и аналогичная задача о возбуждении квазипериодических колебаний в автономной системе и обнаружен случай мягкого удвоения периода автоколебаний (Ю, И. Неймарк, 1958—1959). [c.156]

Понятие о фазовой плоскости. Обычное описание движения системы с одной степенью свободы в виде зависимости обобщенной координаты от времени q = q t) не является единственно возможным. В ряде случаев, особенно при изучении нелинейных механических колебаний, определенными достоинствами обладает представление движения на фазовой плоскости. [c.18]

Область, в которой можно пользоваться линейными уравнениями, сама по себе, разумеется, не определяется этими уравнениями и зависит от старших членов соответствуюш,их разложений нелинейных функций в ряды. В этом смысле понятия малые отклонения и малые колебания условны. Слово малое в этих терминах говорит не буквально о малости самих отклонений или их областей, а скорее о малости наших знаний о границах этих областей. Во многих задачах механики оказывается, что области эти достаточно велики и покрывают полностью область отклонений, с которыми практически приходится иметь дело при любых действующих на систему внешних силах. В иных случаях, однако, оказывается, что области эти весьма ограничены, и замена нелинейных уравнений Лагранжа их линейным приближением требует в таких случаях большой осмотрительности. [c.257]

Цель пособия — показать единство современного естествознания с позиций науки о колебаниях и волнах в ее сегодняшней интерпретации. Ключевые слова для всей книги колебания и волны, неустойчивость и нелинейность, хаос и структуры, т, е. понятия, лежащие в основе синергетической парадигмы. Студент должен понять, что в предлагаемой концепции (в России ее возникновение связано со школой Л. И. Мандельштама и его учеников) в первую очередь интересуются общими свойствами колебательных и волновых процессов, а не деталями поведения системы, связанными с проявлениями ее конкретной природы (физической, биологической, социальной и т.п.). Основываясь на анализе моделей, наука о колебаниях и волнах (в широком понимании, включающем хаос и структуры) позволяет человеку построить картину современного мира и понять свое место в нем. [c.19]

Понятия о колебательных движениях и волнах сформулировались в начале XIX в. В то время получены линейные решения уравнений теоретической механики и гидродинамики, описывающие движения планет и волн на воде. Несколько позднее благодаря наблюдательности Д. С. Рассела [186], теоретическим исследованиям Б. Римана [97, 99] и других исследователей сформировалось понятие о нелинейных волнах. Однако, если линейные колебания и волны были весьма полно изучены в XIX в., что нашло отражение в фундаментальном курсе Д. Рэлея [177], то этого нельзя сказать о нелинейных колебаниях. Сознание того, что нелинейные уравнения содержат в себе качественно новую информацию об окружающем мире пришло после разработки А. Пуанкаре новых методов их изучения. Созданные им и другими исследователями методы интегрирования нелинейных уравнений нашли широкое применение в радиофизике [6] и механике твердых тел [73]. Более медленно нелинейные понятия и подходы входили в механику жидкости и твердого деформируемого тела. Показательно, что первые монографии, посвященные нелинейному поведению деформируемых систем, были опубликованы на-рубеже первой половины XX в. [39, 72, 107, 153]. В это же время резко возрос интерес к нелинейным колебаниям и волнам в различных сплошных средах. Сформировались нелинейная оптика, нелинейная акустика [97, 173], теория ударных волн [9, 198] и другие нелинейные науки [184, 195, 207]. В них рассматриваются обычно закономерности формоизменения волн, взаимодействия их друг с другом и физическими полями в безграничных средах. Нелинейные волны в ограниченных средах исследованы в значительно меньшей степени, несмотря на то что они интересны для приложений. В последнем случае важнейшее значение приобретает проблема формирования волн в среде в результате силового, кинематического, теплового или ударного нагружения ее границ. Сложность проблемы связана с необходимостью учета физических явлений, которые обычно не проявляют себя вдали от границ, таких как плавление, испарение и разрушение среды, а также взаимодействия соприкасающихся сред. В монографии рассмотрен широкий круг задач генерации и распространения нелинейных волн давления, деформаций, напряжений в ограниченных неоднородных сплошных средах. Большое внимание уделено динамическому разрушению и испарению жидких и твердых сред вблизи границ, модельным построениям для адекватного математического описания этих процессов. Анализируется влияние на них взаимодействия соприкасающихся сред, а также механических и тепловых явлений, происходящих в объемах, прилегающих к границам. [c.3]

Книга предназначена для широкого круга читателей, как для желающих ознакомиться с основными понятиями и методами теории нелинейных колебаний, так и для специалистов, которые хотели бы узнать о последних достижениях в этой области. Она может служить дополнением к курсу теоретической механики Н. В. Бутенина, Я. Л. Лунца и Д. Р. Меркина ( Наука , 1970—71). [c.6]

Глава 7 (Гармонический осциллятор). Очень важны линейные задачи и, в частности, задача о вынужденных колебаниях гармонического осциллятора. Даже в объеме минимальной программы необходимо разобрать первый из трех примеров нелинейных задач, потому что он дает студентам понятие о том, как они могут оценить ошибки, обусловленные линеаризацией задачи о колебаниях маятника. Понятие о сдвиге фаз при вынужденных колебаниях гармонического осциллятора не сразу воспринимается большинством студеп-тов. Здесь помогает хорошая лекционная демонстрация. Электрические аналогии плохо воспринимаются на этой стадии преподавания, и их, может быть, следовало бы оставить для лабораторных работ. В демонстрации входят гармонические колебания камертонов (следует усилить их, чтобы звук был хорошо слышен, а также показать форму волны на экране) вынужденные колебания груза на пружине задаваемые генератором сигналов вынужденные электрические колебания контура, состоящего из сопротивления, индуктивности и емкости прибор Прингсхейма колебания связанных осцилляторов. [c.15]

Термин О. с. первоначально появился в радиоэлектронике, где им обозначалось электрич. воздействие анодной цепи лампового усилителя на цепь сетки усиливающей лампы (см. Генератор злектромагкит-ных колебаний). Впоследствии этот термин использовался для обозначения воздействия управляемого процесса на орган управления автоматич. регулирования, а также для обозначения эффектов взаимовлияния хшь и тепловой степеней свободы системы в теории теплового взрыва. При разработке теории нелинейных колебаний понятие О. с. применялось Л, И. Мандельштамом, А. А. Андроновым и др. для общей характеристики особенностей нелинейного взаимодействия разл. степеней свободы динамич. систем. Термин О. с. широко использовался по отношению к любым эффектам само-воздействия в физ., хим., биол., социология, и др. системах, осуществляемым либо с помощью внеш. цепи, либо в силу природы их внутр. устройства. [c.384]

Термин параметрический , введенный Вестервелтом, не соответствует принятому в радиотехнике и теории колебаний понятию параметрического возбуждения Колебаний, параметрической неустойчивости и т.п. (см. гл. 6). Точнее было бы говорить о нелинейной антенне. Однако за два с лишним десятка лет этот термин настолько Прочно вошел в обиход специалистов, что пытаться его менять нет смысла. [c.129]

Новая книга рассчитана на широкий круг специалистов. Однако она не является популярной и при активном чтении требует значительной работы, переосмысления лгаогих привычных понятий. Авторы ставят своей задачей не только рассказать о новой области или дать обзор новых результатов, но и научить читателя (желающего ) работать в этой области и помочь ему овладеть методами теоретического анализа и практических расчетов. Основной направляющей нитью изложения является детальное и всестороннее обсуждение перехода от простых и хорошо известных регулярных нелинейных колебаний к разл ичным режимам хаотического движения (гл. 3—5), включая такие тонкие эффекты, как диффузия Арнольда (гл. 6). Авторы подобрали небольшое число достаточно простых и характерных примеров, к которым они многократно возвращаются при описании различных эффектов или методов анализа. Это существенно облегчает, на наш взгляд, понимание и освоение основного материала. Книга хорошо иллюстрирована она включает разнообразные результаты численного моделирования, что значительно способствует наглядности изложения. [c.6]

Приведенная здесь трактовка схематизированного лампового генератора была дана А. А. Андроновым, открывшим связь между математическим понятием предельного цикла и физическим явлением автоколебаний. Впоследствии А, А, Андронов и его сотрудники (А. Г. Майер, H.H. Баутин) с помош,ью математических методов, элементарное представление о которых дают 2, 3,смогли решить ряд весьма сложных задач теории нелинейных колебаний. Речь идет о теории часов, учитываюш,ей (в отличие от 2) обратное действие маятника на часовой механизм, а также о теории устройств, применяемых в технике для автоматического регулирования,, основанной в 1876 г. И. А. Вышнеградским в получившей мировую известность работе О регуляторах прямого действия ). [c.120]

Понятия линейных и нелинейных И. а. имеют смысл, строго говоря, лишь в условиях установившегося режима колебаний в дей- ствительных же условиях (передача речи или музыки) режим колебаний непрерывно меняется, причем во всей звукопередающей системе возникают собственные колебания, возбуждаемые вновь и вновь при каждой перемене режима. При неблагоприятных условиях (малое затухание, нелинейные связи) эти собственные колебания действуют искажающе, засоряя звукопередачу паразитными призвуками. К категории И. а. следует отнести также и различного рода паразитные шумы шум иглы при воспроизведении граммофонной пластинки, шум фотографич. фонограммы шум электронных ламп, трески в усилительных устройствах, фон,переменного 50-Hz тока, свист при паразитной генерации и т. п. Вопрос о слышимости И. а. исследован за последнее время довольно подробно, однако результаты измерений страдают неизбежной субъективностью и не всегда согла-с5 ются друг с другом. [c.167]

Предлагаемая вниманию читателя 1снига профессора и декана факультета теоретической и прикладной механики Корнеллского университета Фрэнсиса Муна — заметное явление в довольно обширной литературе по стохастическим колебаниям. Небольшая по объему, она ориентирована в первую очередь на читателя, делающего первые шаги в понимании тех сложных режимов, которые возникают при определенных условиях в нелинейных системах различной природы и не связаны с действием на эти системы случайных шумов. Предъявляя весьма скромные требования к математической подготовке читателя, автор выстраивает основные идеи, понятия и методы нелинейной динамики стохастических систем в такой тщательно продуманной последовательности, которая позволяет начинающему легко войти в курс дела и активно овладеть новой для себя областью, глубоко прочувствовать ее универсальный характер. Излагая критерии хаоса, сопоставляя и сравнивая результаты физических и численных экспериментов, автор подводит читателя к выводу о фаницах применимости той или иной модели, неизменно подчеркивая физику описываемого явления. [c.5]

Понятие потока описывает пучок траекторий в фазовом пространстве, который начинается на множестве близких начальных условий. Для тех, кто занимается колебаниями в инженерных системах, наиболее близок пример потока, связанный с непрерывным движением частицы. Однако определенную качественную и количественную информацию о системе можно получить, анализируя эволюцию параметров системы на дискретно выбранных моментах времени. В частности, в этой книге мы обсудим, как получить разностные эволюционные уравнения для непрерывно эволюционирующих систем с помощью сечения Пуанкаре. Отображения Пуанкаре иногда помогают отличить друг от друга движения качественно различающихся типов, например периодические, квазипериодические и хаотические. В некоторых задачах не только время принимает дискретные значения, но и информация о параметрах системы оказывается ограниченной конечным набором значений или категорий, как, например, красный или синий, нуль или единица. Например, в задаче с парой потенциальных ям (см. рис. 1.2, б) нас может интересовать только, в какой яме находится частица, правой (К) или левой (Ь). Тогда траектория может описываться последовательностью символов ЬККЬКЬЬЬК,. ... Периодическая орбита может иметь вид ЬКЬК. .. или ЬЬКЬЬК. ... На современном новом этапе развития нелинейной динамики для описания эволюции физических систем применяются модели всех трех типов (см. обсуждение символической динамики в [26] или [211]). [c.33]

Процедуры метода энергетического баланса сводятся в общих чертах к следующему. Изучаемый автоколебательный контур разбивается на линейную и нелинейную части. В первом приближении принимается, что колебания выходных координат линейного звена имеют гармонический характер. Далее записываются два интегральных соотношения, одно из которых описывает энергетический баланс для активной составляющей мощности, другое — для реактивной составляющей мощности. Понятия активной и реактивней мощности заимствованы из электротехники. Применительно к задачам о колебаниях механических систем под активной мощностьк> понимается работа, совершаемая внешними силами за период колебания . (В электротехнике активная мощность равна электрической энергии, отдаваемой или поглощаемой в рассматриваемом участке цепи.) Что же касается реактивной мощности, то она, па аналогии с электротехникой, определяется таким же образом, как и активная мощность, но от силы, сдвинутой по фазе от реальной на четверть периода. (В электротехнике реактивная мощность описывает нерассеиваемую часть энергии, колеблющуюся между источником и приемником в цепи синусоидального тока.) [c.196]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...