ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Понятие о нелинейных колебаниях из "Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 3 " Так же. как и при линейных колебаниях, можно различать нелинейно колеблющиеся системы — консервативные (ни из системы, нн в систему энергия не поступает), диссипативные (с течением времени происходи г уменьшение суммы потенциальной и кинетической энергий системы за счет перехода энергии в другие виды или за пределы колеблющейся системы) и, наконец, системы, в которые при их колебаниях поступает энергия. Различают также свободные и вынужденные нелинейные колебания. Однако вследствие нелинейности последние представлять в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения нельзя. [c.220] Здесь Fo(g)—силовая характеристика (характеристика восстанавливающей силы), нелинейно зависящая от обобщенной координаты д. [c.220] Если предварительное натяжение Л/о очень велико, то вторым членом в скобках можно пренебречь по сравнению с первым и тогда задача становится линейной. [c.221] Здесь А — полуразмах. Это свойство нелинейных систем называется не-изохронностью свободных колебаний. Напомним, что частота свободных колебаний линейных систем не зависит от начальных условий. [c.222] Функции Го и fI — характеристики соответственно восстанавливающей силы и силы сопротивления (диссипативной силы). Для того чтобы система относилась к диссипативным, наличие члена, содержащего / (с ), обязательно. Наличие функции Га(д) придает движению системы колебательный характер. Для того чтобы колебания системы были нелинейными, должна иметь место нелинейность хотя бы одной из функций Го и I. [c.222] Для диссипативных систем чаще всего строят огибающую кривую свободных затухающих колебаний. [c.222] В качестве примера свободных колебаний диссипативной системы можно рассмотреть свободные колебания системы с сухим трением. Имеется тело массы ш, прикрепленное к неподвижной стене пружиной (рис. 17.94). Если в пружине нет усилия, центр тяжести тела находится на вертикали, отмеченной штриховой линией. Выведя тело из этого положения в горизонтальном направлении некоторой силой и, далее, устранив ее, возбудим движение тела в виде колебаний, которые вследствие наличия трения будут затухающими. [c.222] Если пружина имеет линейную характеристику, т. е. линейную зависимость между силой и удлинением, то восстанавливающая сила линейна, в противном случае — нелинейна. [c.222] Нелинейность уравнения (17.324) определяется наличием в выражении силы сопротивления функции sign q, которая при движении справа налево равна—1, а при движении слева направо -)-1. [c.223] На рис. 17.94 показаны рассматриваемая система, график силы трения, график q — q(t) и фазовая диаграмма в системе осей ix = qay x = q. [c.223] Отметим, что в данном случае нелинейные колебания оказались изохронными. [c.223] Исследование дальнейшего движения тела производится аналогично показанному для первого участка. [c.225] Можно определить N — число размахов до остановки. [c.225] Все решение разбиваем на отдельные участки, границы которых находятся в точках 0, 1, 2,. .. (рис. 17.94). В пределах каждого из этих участков функция sign сохраняет свое значение, вследствие чего легко находятся постоянные А и В соответствующего участка данные, полученные на конце участка, играют роль начальных данных для следующего участка. В таблице 17.27 приведена вся информация, относящаяся к получению решения для всего отрезка времени от начального отклонения тела (для случая qo = 9,5 г) до его останова, Движение прекращается, как только впервые достигается выполнение условия q г при этом N = п. [c.225] Фазовая диаграмма представляет собой комбинацию сопрягаемых в точках, лежащих на оси х, половин эллипсов. [c.225] Это сопряжение, выполняемое аналитически и обеспечивающее непрерывность фазовой траектории, называется методом припасовывания. [c.225] Для подробного ознакомления с автоколебаниями адресуем читателя к книге Вибрации в технике, Т. 2, Колебания нелинейных механических си-стем/Под ред. И. И. Блехмана. — М. Машиностроение, 1979, в которой имеется гл. VI Автоколебательные системы (Н, В. Бутенин, В. И. Горюнов, В. С. Метрикин) (список литературы содержит 19 источников). [c.225] Для того чтобы с самого начала стала ясна природа автоколебательных систем, опишем одну из них, изображенную на рис. 17.96. [c.226] Имеется бесконечная лента, на ней расположено некоторое тело, соединенное при помощи пружины с неподвижной точкой А (см. рис. 17.96). [c.226] Рассмотрим сначала состояние покоя, когда лента не движется. Будем иметь в виду, что тело занимает такое положение (а) на ленте, при котором пружина не напряжена. Пусть теперь лента пришла в движение тело вследствие наличия силы трения между ним и лентой (сухое трение см. рис. 17.34) увлекается лентой (захватывается лентой). Происходит натяжение пружины и, когда усилие в пружине по величине достигает значения силы трения, происходит срыв — проскальзывание тела относительно ленты (позиция, в которой происходит срыв, отмечена на рис. 17.96 точкой 6). Под воздействием натяжения пружины тело перемещается в сторону неподвижной точки закрепления пружины, т. е. в сторону, противоположную движению ленты. Однако тело не достигает своего исходного положения а, поскольку до этого — к моменту, когда тело окажется в положении с, вновь вследствие наличия трения происходит захват тела лентой. Далее ситуация повторяется и, таким образом, тело совершает колебания между позициями бис. Колебания получаются периодическими незатухающими вследствие того, что в колеблющуюся систему (тело и пружина) поступает энергия извне — со стороны движущейся ленты. Это поступление обусловлено наличием трения между телом и лентой. При отсутствии движения ленты не было бы никаких колебаний. В описанной системе нет внещней вынуждающей силы, не зависящей от колеблющейся системы. [c.226] Вернуться к основной статье