Вывод асимптотических решении

В настоящей статье мы 1) приводим решение задачи для того случая, когда изгибом можно пренебречь 2) даем элементарный вывод основного дифференциального уравнения, к которому сводится задача при определении напряжений от изгиба у опорного контура, и 3) при помощи асимптотического решения определяем эти напряжения изгиба. Оказывается, что при сравнительно тонких оболочках асимптотическое решение без всяких затруднений может быть применено к расчетам. Для сделанного численного примера напряжения изгиба превосходят напряжения, соответствующие растяжению срединной поверхности. Напряжения изгиба быстро падают по мере удаления от закрепленного контура. [c.293]

В работах В. М. Александрова и Д. А. Пожарского [7,49,50] исследуются пространственные контактные задачи для упругого конуса. При помощи разложения векторных функций по полной системе векторных гармоник на поверхности конуса [25] с использованием интегрального преобразования Меллина и ряда Фурье выводится интегральное уравнение контактной задачи для пространственного конуса. Используются сферические координаты р, Г], ф. Для осевой симметрии находятся [50] однородные решения для конуса, включая корни характеристического уравнения при разных углах конусности 2а, полезные при решении контактных задач для усеченного конуса. Рассматриваются задачи о взаимодействии конуса с жестким [49] или деформируемым [50] кольцевым бандажом. Используются асимптотические методы больших и малых Л , где параметр Л характеризует относительную удаленность бандажа от вершины конуса. Численный анализ свидетельствует о смыкании разных асимптотических решений в определенном диапазоне значений Л, зависящем от а. [c.191]

Когда X велико, основной вклад в (2,50) обусловлен малыми значениями Z, и переходная часть полного потока убывает как ехр (— х ) при х-> оо, следовательно, она убывает с удалением от источника быстрее, чем асимптотическое решение. Такой же вывод был сделан в разд. 2.2,3. [c.65]

Общий вывод, который можно сделать на основании предыдущего рассмотрения, состоит в том, что для среды, ограниченной поверхностью, на которой заданы свободные граничные условия, независимо от геометрии, асимптотическое решение является доминирующим на больших расстояниях и от границы, и от источников. [c.73]

Внося формулы (1.2.16), (1.2.17) в уравнения (1.1.20), можно убедиться, что они представляют их асимптотическое решение при а —> О, 8 О и ограниченных значениях разности х - г/8 . К такому же выводу приводит подстановка этих формул в систему уравнений Навье-Стокса. [c.29]

Теперь мы дадим подробную теорию асимптотических решений первого рода, которые могут служить решениями для задач о собственных значениях класса I (стр. 147). Выводы, к которым мы придем, подтверждают результаты, полученные описанными выше эвристическими методами, дальнейшие же сведения относительно этих решений можно получить в результате применения точных методов. [c.161]

Вывод асимптотических формул для решений дифракционных задач требует знания функций 1 зо(а, Р), 1 31(а, р),. .. (см. 4), найти которые не всегда просто. [c.40]

При выводе формулы (1.4.1), по существу, используется метод асимптотического разложения вероятностей состояний сложных систем по степеням малого параметра [36, 37]. Основная трудность применения этого метода состоит в необходимости оценить остаточный член. Ее удается избежать, вычисляя двустороннюю оценку точного решения. Для [c.13]

Ha рис. 3-26 приведены графики iV (К, B)=f(K) для разны х значений В (от О до 2). Если положить й = 0 (малые значения критерия Прандтля Рг 0), то В = 0. В этом случае N (К, й) > 1 [кривая N (J , 0) асимптотически приближается к единице]. Следовательно, число Нуссельта при углублении поверхности испарения будет больше числа Нуссельта при испарении на поверхности, тела (S = 0. К=оо). Этот вывод непосредственно следует из решения (3-2-45), так как температура поверхности пластины увеличивается вдоль потока жидкости (вдоль оси х). Из общей теории теплообмена известно, что в этом случае коэффициент теплообмена будет увеличиваться. [c.213]

Если Рз О, то правая часть будет положительной и, следовательно, х(0 —> при t—>o . Решение х(/)Ы) будет неустойчивым по Ляпунову. Если Рг<0, то это решение асимптотически устойчиво. В линейном приближении правые части уравнений не зависят от параметра Р2, а матрица 6 имеет чисто мнимые характеристические показатели А.] 3 = +з Р . Нулевое решение линейной системы устойчиво по Ляпунову. Следовательно, суждение об устойчивости решений нелинейной системы по уравнениям первого приближения не всегда приводит к верным выводам. [c.459]

Наиболее существенны в части IV результаты, относящиеся к итерационным методам выполнения граничных условий. Дело в том, что каждое из тех напряженных состояний, которые были введены в рассмотрение в части II (безмоментное и чисто моментное напряженные состояния, напряженное состояние с большой изменяемостью, простые и обобщенные краевые эффекты), обладают отличительными свойствами, важными для суждения о работе оболочки. Очевидно существенное различие между безмоментным и чисто мо-ментным напряженными состояниями в первом из. них материал оболочки работает по толщине равномерно, в то время как во втором загружены только области, примыкающие к лицевым поверхностям. Общим свойством и безмоментного, и чисто моментного напряженных состояний является их тотальность, охват всех областей срединной поверхности. В этом смысле оба они радикально отличаются от краевых эффектов, локализующихся вблизи линий искажения (хотя иногда это свойство и нивелируется). Полное напряженное состояние составляется определенным образом из перечисленных выше более простых напряженных состояний, и роль, которую играет в этой сумме отдельные слагаемые, зависит, в частности, от характера граничных условий. Поэтому можно утверждать, что построив асимптотические процессы выполнения граничных условий, мы, помимо чисто математических выводов, сможем сделать заключения и о физических свойствах полного напряженного состояния оболочки. В частности, здесь выясняются те последствия, которые влекут за собой те или иные странности поведения решений краевых задач безмоментной теории, выявившиеся в части III. [c.271]

Заканчивая рассмотрение вопроса об особенностях, объясним причину столь пристального внимания к этому вопросу в данной книге. Дело в том, что с появлением сингулярностей в граничной задаче связаны не только описанные трудности в трактовке конечных результатов решения. Оказывается, что априорное знание характера особенности в рассматриваемой задаче часто дает возможность сделать далеко идущие выводы о свойствах ее решения в целом. Особенно это относится к случаям, когда такое решение ищется в виде рядов по полным системам функции некоторой задачи Штурма — Лиувилля. Важнейшим свойством рядов по ним является зависимость характера убывания коэффициентов разложения от локальных свойств представляемых функций. Часто это позволяет еще до решения задачи найти асимптотические выражения для искомых величин. Такая возможность используется в рассматриваемых в книге задачах и является основой получения удовлетворительной точности в рамках достаточно простых вычислений. [c.36]

Асимптотический анализ двухслойной резинометаллической оболочки дан в работах Н. Н. Рогачевой [162, 163]. Внешняя нагрузка передается на несущий металлический слой через слой резины. Автор делает вывод о том, что приближенный расчет двухслойной оболочки следует производить в такой последовательности сначала выполняется расчет металлической обо-ло 1ки без учета слоя резины В предположении, что нагрузка, приложенная к поверхности резинового слоя, передается без изменения на металлический слой затем решается задача для слоя резины, на одной поверхности которого задана нагрузка, а на другой известны перемещения из решения задачи для металлического слоя. [c.55]

Асимптотический метод, который использовался для вывода двумерных уравнений деформации эластомерного слоя при статическом нагружении, применим для построения уравнений динамики. Решение уравнений (1.1) будем искать в виде рядов по малому параметру е = Л/Л, где Л, Л — характерные размеры слоя. [c.241]

Отсюда можно сделать вывод, что утрачиваемые при переходе от системы (1.188) к системе (1.191) части общего решения должны обладать быстрой изменяемостью хотя бы по одной из криволинейных координат. Это действительно так, однако следует оговориться, что роль членов системы (1.188), имеющих малый множитель Я, , может быть иногда существенной и при достаточно гладких решениях (например, если напряжения от изгиба оболочки значительно превосходят напряжения от усилий). Для выявления и приближенного определения быстро изменяющихся решений системы (1.188) может быть использован метод асимптотического интегрирования, суть которого продемонстрируем на простейшем примере. [c.79]

Теория оболочек является асимптотической теорией, существенно опирающейся на малость относительной толщины Л. С этим обстоятельством связаны положенные в основу вывода двухмерных уравнений гипотезы Кирхгофа-Лява и их модификации [80] для случая больших деформаций оболочек из нелинейно-упругого материала. Система двухмерных уравнений теории оболочек является сингулярно возмущенной — она содержит малый параметр Л при старших производных. В результате асимптотического анализа этой системы (главным образом, в линейном приближении) получены решения многих задач статики (см. [13, 52] и др.), динамики [3, 5, 14, 30, 89] и устойчивости [16, 65, 67, 71]. [c.328]

Вторая группа задач включает такие задачи, которые не удастся проинтегрировать с помощью асимптотических разложений (хотя их математической моделью является скалярное дифференциальное уравнение 2-го порядка), но удается найти частные стационарные (равновесные) решения и исследовать устойчивость последних. Таких задач в математической литературе рассмотрено достаточно много. В зту главу включены те задачи, которые показались наиболее интересными с точки зрения выявления неожиданных фактов или оригинальных выводов. Читатель,. [c.61]

Разрешающие уравнения данной группы выводятся на основании асимптотического подхода. Сущность его заключается в определении напряженно-деформированного состояния пластины посредством разложения решений основных уравнений теории упругости в ряды по толщине с использованием итерационных процессов для определения коэффициентов разложений. Причем тот факт, что в полученные уравнения входят производные от усилий, приложенных к граням покрытия, позволяет эффективно использовать эти уравнения при изучении соответствующих контактных задач, а также исследовать асимптотический характер классических теорий. [c.460]

Вывод основных уравнений для тонких упругих покрытий (прослоек) в плоском случае путем асимптотического анализа точного решения задачи теории упругости для полосы [c.22]

Заметим, что подобно изложенному может быть получено асимптотическое при больших Л решение задачи о вдавливании в полупространство двух эллиптических в плане штампов с параболическими основаниями. Если в этом случае потребовать обращения в нуль контактного давления д(х, у) на контуре области П, то можно прийти к выводу, что области контакта П и штампов с полупространством будут эллиптическими лишь с точностью до членов (А " ), причем получаются два соотношения, аналогичные (26) и служащие для определения полуосей С1. [c.52]

В главах 5—9 излагается теория ротационного движения спутника. В главе 5 выводятся и исследуются уравнения в оскулирующих элементах, наиболее удобные для исследования такого движения. Эти уравнения описывают эволюцию вектора кинетического момента в пространстве и эволюцию эйлерова движения относительно вектора кинетического момента. Исследование возмущенного движения удобно проводить асимптотическими методами теории колебаний. Осреднение по быстрому вращению и по орбитальному движению центра масс спутника позволяет выявить вековые эффекты возмущенного движения. Более точное приближение к решению ( второе приближение ) получается осреднением только по быстрому вращению (без осреднения по орбитальному движению). Показано, что в интересном для практики случае динамически симметрич- [c.12]

Итак, для описания струйного неавтомодельного течения при помощи главных членов асимптотического разложения (27) необходимо задать не два, а три интеграла сохранения Jz, Q и Данный вывод относится к решению полных уравнений Навье — Стокса. Между тем, большинство работ по теории струй выполнено в приближении пограничного слоя. Сначала рассмотрим, что происходит с точным решением в ситуации, когда ReA- +i и, следовательно, согласно (1.3) Jz- °°. Конечный результат существенно зависит от того, каким образом изменяется расход Q при этом предельном переходе, что в свою очередь зависит от способа увеличения Re. [c.285]

Наряду с результатами экспериментальных исследований в книге приведены также данные теоретических расчетов спектральных коэффициентов ослабления лучей твердыми частицами в зависимости от параметра дифракции р и комплексного показателя преломления т в характерных для котельных установок областях спектра теплового излучения дисперсной системы и распределений частиц по размерам. Они позволяют сделать ряд общих выводов, касающихся влияния электромагнитных свойств вещества на рассеивающую и поглощательную способности частиц, а также могут быть использованы для расчетов радиационного поля в различных дисперсных системах. Для удобства и наглядности многие из данных по спектральным коэффициентам ослабления лучей твердыми частицами представлены в виде графиков. Из них отчетливо виден экстремальный характер зависимости ксэффици-ентов рассеяния и поглощения от параметра дифракции р. Видны области, в которых справедливы асимптотические решения для предельно малых и больших частиц, а также изменения в зависимости от р и п соотношения между рассеянием и поглощением. [c.6]

Циклические ползучесть и релаксация. При выводе уравнений состояния (7.38)—(7.40) игнорировалось различие диаграмм деформирования реономных и склерономных стержней. Получаемая ошибка, малозаметная в каждом этапе нагружения, в определенных условиях может накапливаться. Например, циклическое несимметричное нагружение в соответствии с указанными уравнениями дает замкнутую (неподвижную) петлю пластического гистерезиса фактически часто наблюдается постепенное сползание петли вследствие реономности материала — в зависимости от условий возникают эффекты, называемые циклической ползучестью (задаются напряжения) или циклической релаксацией (задаются деформации). При непосредственном расчете кинетики деформаций в стержнях модели (без использования допущений, принятых при выводе указанных уравнений состояния) эти эффекты находят отражение. Однако можно воспользоваться уже рассмотренными методами анализа (исследование эпюр распределения упругих деформаций) для получения асимптотических решений в общей форме, т. е. определения границ сползания петель гистерезиса, если они существуют, и определения условий, в которых циклическая ползучесть происходит неограниченно (вплоть до ква-зистатического разрушения). [c.210]

Рассмотрены статика, медленный рост и динамика трещин в сплошных линейно-, нелинейно-упругих и упругопластических телах, а также в средах со структурой — в решетках, армированных (слоистых) материалах, в средах блочной структуры, где обнаруживается отток энергии от края распространяющейся трещины. Большое внимание уделено обсуждению критериев роста трещин, связи между критериями на микро-и макроуровнях. Некоторые выводы, относящиеся к интерпретации решений задач линейной теории упругости и к состоянию у края трещины, получены на основе геометрически точных соотношений для устойчивого нелинейно-упругого материала. Приведены асимптотические решения упругопластических задач, указывающие на возможность устойчивого роста трещины. Рассмотрена двухконстантная теория роста трещин при циклических нагрузках. Представлены решения автомодельных, стационарных и нестационарных задач динамики трещин для до- и сверхрэлеевского, меж-и сверхзвукового диапазонов скоростей их распространения. [c.2]

Решение этой проблемы и оригинальный метод приводятся в книге [ ]. В настоящее время продолжают появляться публикации, посвященные выводу асимптотических формул для напряженно-деформированно-го состояния и нотенцпальной энергии деформации упругого поля, сингулярно возмущенного присутствием трещин, полостей и включений. Укажем на одну из последних публикаций подобного рода [ ]. [c.52]

Наиболее существенные результаты в динамической механике разрушения получены в рамках линеаризованной теории, в которой предполагается, что зона проявления нелинейных эффектов мала по сравнению с длиной трещины, а поле напряжений вокруг пластической области оппсывается асимптотическими формулами, полученными из решения упругой задачи. Это поле напряжений сингулярно, и главный член его разложения по степеням расстояния от конца трещины г, как п в статике, имеет вид К/У г. Угловое же распределение напряжений и перемещений в окрестности вершины стационарной трещины одинаково при статическом и динамическом нагружении, а влияние инерционного эффекта заключается в том, что коэффициент интенсивности напряжений становится зависящим от времени. Кроме того, исследования показывают, что спустя некоторый период времени после приложения нагрузки характер зависимости коэффициентов интенсивности напряжений и импульсных нагрузок от времени идентичен. Однако в течение этого периода времени коэффициент интенсивности напряжений достигает своего пикового значения, иногда значительно превышающего статическое (аналогичный вывод можно сделать и в случае гармонического нагружения тела с трещиной). [c.407]

Таким образом, можно полагать, что винклерова модель (II.3) обладает достаточно высокой точностью. К этому выводу пришли и авторы работы [3], выполнив асимптотический анализ точного решения для слоя. [c.30]

В этой главе рассматривается осесимметричная деформация тонких нелинейно-упругих оболочек вращения. Исходя из трехмерных уравнений теории упругости дается вывод приб.чиженных соотношений упругости двухмерной теории оболочек, основанный на асимптотических разложениях. Ползгченные соотношения упругости для ряда упругих потенциалов сравниваются с вытекающими из модифицированных гипотез Кирхгофа-Лява (см. гл.З). Кроме того, приводятся решения ряда частных задач о нелинейном деформировании оболочек вращения, используюыще асимптотические разложения. [c.328]

Как мы видели в гл. III, асимптотическая теории дифференциальных уравнений, использующая методы усреднепия, указывает па то, что малые знаменатели препятствуют построению точных решений уравнений движения - небесных тел в виде сходящихся бесконечных рядов для всех значений времени is s(—оо, оо). Если бы в арсенале науки имелись такие ренгепия, то из Р/их следовал бы вывод об устойчивости или неустойчивости [c.126]

В силу сингулярности решения в конце трещины его асимптотическое поведение определяетсй характером функции /(/) при 1- оо. Применяя принцип микроскопа и результаты исследования особенностей в конце трещины для линейно-упругого и степенного тел (см. 5 и 10 главы 3), приходим к следующим выводам. [c.244]

А. Амбарцумяна [7], И.И. Воровича и М.А. Шленева [86], А.К. Галиньша [92], Э.И. Григолюка и Ф.А. Когана [105], Э.И. Григолюка и Г.М. Куликова [110], А.А. Дудченко и др. [135], Г.А.Тетерса [298]. Авторы обзора [135] выделяют две группы методов получения двумерных уравнений теории пластин и оболочек — методы аналитические и гипотез. В свою очередь, группу аналитических методов можно разделить на несколько подгрупп. К первой относятся методы асимптотического интегрирования уравнений трехмерной задачи теории упругости, опирающиеся на предположение о наличии малого параметра (относительная толщина, отношения жесткостей). К другой — методы, идея которых заключается в задании характеристик напряженно-деформированного состояния рядами по некоторой системе функций поперечной координаты с последующим выводом уравнений на коэффициенты разложений из трехмерных уравнений теории упругости. Наконец, к аналитическим относят [135] также и те методы, в которых организуется сходящийся итерационный процесс уточнения решения. [c.6]

Для двумерных течений положение более сложно. Действительно, если рассмотреть, например, течение около осесимметричного тела, то можно доказать, что выводы леммы 3 справедливы, даже если отбросить условие (6.2) и требовать просто однозначности и ограниченности массовой скорости при г оо. Это следует из асимптотического анализа (Черчиньяни [5]) решения линеаризованного уравнения Больцмана для двумерных течений, когда доказывается, что условие (6.2) выполняется, если при г оо массовая скорость однозначна и ограничена. Чтобы получить нетривиальное решение для двумерных течений, приходится допустить логарифмическое поведение массовой скорости при г оо. Таким образом, при помощи линеаризованного уравнения Больцмана нельзя получить равномерную аппроксимацию распределения скорости и приходится прибегать к методу сращивания внутреннего решения (определяемого линеаризованным уравнением Больцмана) и внешнего решения, справедливого при г > ИМ. Последнее можно найти разложением по числу Маха, предварительно растягивая пространственные переменные. При формальном разложении по степеням М видно, что решение во внешней области подобно разложению Гильберта, если газодинамические переменные в приближении низшего порядка определяются несжимаемым течением Озеена (Черчиньяни [5]). [c.163]

Те же выводы косвенно подтверждаются результатами Миллера и Андреса [176], которые, стремясь сделать межмолекулярный потенциал реальным, взяли функцию распределения в форме (6.27), справедливую, согласно Виллису, Хамелю и Лину [177], только при Гц/Г1 2. В результате поведение Т ие следует закону г- вытекающему из (8.12). Законность пред положения о том, что свободную струю можно аппроксимировать сферическим источником, была подтверждена Гранди [178] при исследовании решения уравнения Больцмана для полностью осесимметричной свободной струи. Чтобы построить правильное решение уравнения Больцмана для максвелловских молекул, Гранди использовал сращиваемые асимптотические разложения. [c.427]

В первой части — главе I — дается классификация тонких упругих покрытий (прослоек). Эта глава является вводной для всей книги, из нее в дальнейшем берутся все необходимые уравнения. Здесь с помощью интегрального преобразования Фурье получено решение задачи о равновесии бесконечной упругой полосы, находящейся под действием произвольных нормальных и касательных усилий. Далее, найденное решение асимптотически упрощается с учетом того, что- упругая полоса является относительно тонкой (длина участка ее активного нагружения велика по сравнению с толщиной). Выводятся различного уровня точности уравнения для тонких покрытий (прослоек). Дается асимп- [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...