Связи интегрируемые и неинтегрируемые

Дифференциальные уравнения, в том числе гамильтоновы, принято разделять на интегрируемые и неинтегрируемые. В то же время, как заметил Дж. Биркгоф [13], если, однако, мы попытаемся сформулировать точное определение интегрируемости, то оказываются возможными многие различные определения, каждому из которых присущ известный теоретический интерес. В этом высказывании Биркгофа, считавшего динамическую проблему решенной, если предъявлен некоторый алгоритм для описания поведения всех ее траекторий, содержится указание на связь интегрируемости с особым, регулярным характером движения в фазовом пространстве. [c.72]

Конечные связи и дифференциальные интегрируемые связи составляют класс голономных механических связей, а дифференциальные неинтегрируемые связи —класс неголономных связей. Соответственно системы, содержащие лишь конечные или дифференциальные интегрируемые связи, относятся к классу голономных систем., а системы, содержащие дифференциальные неинтегрируемые связи, — к классу неголономных систем. Далее мы не будем заниматься неголономными связями, и поэтому опускаем их классификацию (рис. IV.7). Что же касается голономных связей, то их можно подразделить далее в зависимости от того, содержат ли равенства, выражающие эти связи, в явной форме время. В тех случаях, когда эти равенства не содержат время явно, механическая связь называется стационарной или склерономной. В тех случаях, когда время явно входит в эти равенства, связь называется нестационарной или реономной. Обычно стационарные связи имеют место в тех случаях, когда поверхности или кривые, на которых должны находиться материальные точки, либо расстояния между этими точками не меняются со временем. Наоборот, в тех случаях, когда материальные точки должны находиться на кривых или поверхностях, которые сами меняются со временем, связи оказываются реономными. [c.148]

Все геометрические и интегрируемые кинематические связи называются голономными, Неинтегрируемые кинематические связи, кою- [c.370]

Отметим только качественные отличия в движении систем с интегрируемыми и с неинтегрируемыми (неголономными) связями. Кинематические связи в обоих случаях не изменяют конфигурационного многообразия системы, и система может находиться в любой точке многообразия. Однако если в случае неголономных связей систему можно из любой точки многообразия перевести подходящими силами в любую другую, то для случая вполне интегрируемых связей система из точки q° может быть переведена в точку только, если [c.131]

Если СВЯЗЬ С номером I интегрируема, т.е. // = йФ/(И, где Ф(д,i), то соответствующее выражение (7) тождественно равно нулю 5fi = 0). Выражения (7) (или (8)) для неинтегрируемых связей могут также обращаться в нуль в силу уравнений движения при нелинейной зависимости от обобщённых скоростей или при специальном выборе вариаций 6qi (см., например, [101]). В этих случаях варьированные состояния удовлетворяют уравнениям связей. [c.72]

Замечание 5.1. Если ввести те или иные обобщенные координаты (например, углы Эйлера, определяющие ориентацию подвижной системы координат по отношению к неподвижной, и координаты центра масс тела в неподвижной системе координат), то системе (60)-(62) будут отвечать уравнения движения в форме уравнений Лагранжа первого рода при этом роль неопределенных множителей играют проекции вектора R, а уравнения (63) представляют собой уравнения связей (одно интегрируемое + (г у) = О и два неинтегрируемых). [c.448]

В первой половине XX века интерес к поиску интегрируемых случаев несколько упал. Во многом это связано с пониманием широкими слоями математиков результатов А. Пуанкаре о неинтегрируемости типичной гамильтоновой динамической системы [144]. В сознании математиков это обесценило многие результаты классиков и привело к разработке новых методов теории возмущений принцип усреднения, КАМ-теория и пр. [c.15]

Основным различием между уравнениями Лагранжа первого и второго рода систем с конечным числом степеней свободы является то, что уравнения Лагранжа первого рода содержат компоненты реакций связей, а уравнения Лагранжа второго рода эти компоненты не содержат. Достигнуть исключения компонент реакций геометрических и интегрируемых кинематических связей из уравнений движения системы с конечным числом степеней свободы можно, введя соответствующим образом выбранные обобщенные координаты. Если выразить позиционные координаты системы через целесообразно выбранные обобщенные координаты, уравнения геометрических и кинематических интегрируемых связей должны быть тождественно удовлетворены. Это позволяет отделить задачу определения закона движения системы от задачи определения реакций связей [40]. Если на систему наложены кинематические неинтегрируемые связи, задача осложняется, хотя и здесь можно локально достигнуть исключения компонент реакций связей посредством введения неголономных координат (квазикоординат), но полное разделение исследования движения несвободной системы на определение закона движения и определение реакций связей возможно лишь в частных случаях. [c.56]

В книге в доступной форме излагаются основные идеи и методы динамики систем с односторонними связями. Явление удара о связь рассматривается с точки зрения общего лагранжева формализма, С позиций конструктивного подхода проводится обоснование различных моделей ударного взаимодействия. Исследуются вопросы существования и устойчивости периодических траекторий в системах с ударами. В консервативном случае широко используются вариационные принципы и методы. Особое место занимает исследование с качественной точки зрения различных биллиардных задач. В частности, обсуждается широкий набор интегрируемых биллиардов (в том числе и многомерных), а также приводятся результаты о неинтегрируемости типичного биллиарда. Книга содержит исторический очерк развития основных идей теории удара. [c.2]

Связи интегрируемые и неинтегрируемые. В том случае, когда левая часть равенства (27.12) может быть при помощи некоторого множителя обращена в полную производную от некоторой функции по времени, рассматриваемая дифференциальная связь равносильна некоторой конечной сиязи, содержащей произвольную постоянную. В самом деле, пусть существует такая функция от времени и координат, что для неё [c.278]

Геометрические и интегрируемые дифференциальные связи называют связями голономными, а неинтегрируемые дифференциа ь-ные связи — неголономными. [c.357]

Когда ур-ние (2) может быть проинтегрировано по времени, соответствующая кинематич. связь наз. и в-тегрируемой и эквивалентна геом. связи. Геом. к интегрируемые кинематич. связи носят общее название голономных С. м. (см. Голономная система). Кинематич. неинтегрируемые С. м. наз. н е г о лo-E о м н ы м и (см. Неголономная система). [c.472]

Однако внимательное изучение основополагающего труда Лагранжа Аналитическая механика , Том I, ч. I (отдел четвертый, стр. 60—61), где были выведены уравнения с множителями, названными именем их автора, показывает, что Лагранж уже имел представление о неинтегри-руемых СВЯЗЯХ в механике, что вытекает из следующего его высказыв -ния Вообще с помощью уравнений йЬ = 0, с1М = 0, ( N = 0, —.. <...> мы будем выражать условные уравнения независимо от того, будут ли эти уравнения сами по себе полными дифференциалами или же нет, при условии, что дифференциалы будут линейными . Ясно, что Лагранж подразумевает ПОД вышенаписанными дифференциалами линейные (в современной терминологии) дифференциальные формы, как интегрируемые, так и неинтегрируемые. [c.3]

Кинематические связи (1.6) могут быть интегрируемыми и неин-тегрируемыми, соответственно тому, вполне интегрируема или нет соответствующая система дифференциальных уравнений (1.6). Интегрируемые кинематические связи — это по существу геометрические связи. Напротив, неинтегрируемые связи, вообще говоря. [c.11]

Если уравнение связи можно записать в виде /(г , t) = 0, не содержащем проекщ1И скоростей точек системы, то связь называется геометрической конечной, голономной). В примерах 1, 2 связи геометрические. Если же в уравнение связи /(iv, Vv, t)=0 входят проекции скоростей Vv, то связь называется дифференциальной (ки-нелшгаческой). Дифференциальную связь /(г,, Vv, i)=0 называют интегрируемой, если ее можно представить в виде зависимоспи между координатами точек системы и временем (как в случае геометрической связи). Неинтегрируемую дифференциальную связь называют еще неголономной связью. [c.24]

Часто и сами дифференциальные неинтегрируемые связи называются неголономными. Иногда дифференциальные интегрируемые связи называются полуголономними. [c.13]

Дифференциальные связи, допускающие интегрирующий множитель ji, мы будем называть интегр.ируемыми связями, в отличие от других, неинтегрируемых связей, для которых множитель ц нельзя найти. Примером неинтегрируемой связи может служить связь (27.14). Конечные связи, а также дифференциальные интегрируемые связи иначе называются г о л о н о м н ы м и дифференциальные неинтегрируемые связи называются неголономными. [c.278]

Поскольку движение точечных вихрей на сфере является обобщением случая плоского вихревого течения, приведем кратко известные результаты для задачи о взаимодействии вихрей на плоскости. Простейший пример движения двух вихрей рассмотрен Гельмгольцем [23]. Г. Кирхгоф [27] установил гамильтоновость уравнений движения N точечных вихрей, а также нашел четыре первых интеграла этой системы, которые связаны с независимостью гамильтониана от времени и его инвариантностью относительно параллельного переноса и поворота системы координат. Интегрируемость задачи трех вихрей отметил А. Пуанкаре [32] (существуют три первых интеграла, находящихся в инволюции). В работе [18] система точечных вихрей рассматривалась в качестве модели двумерной турбулентности. Там же получено решение задачи о взаимодействии трех одинаковых вихрей. Авторы работы [19] на основе численных расчетов устанавливают стохастические свойства системы четырех вихрей и тем самым показывают, что двумерное течение идеальной жидкости в общем случае не является вполне интегрируемой системой. Как уже было отмечено, аналитическое доказательство неинтегрируемости системы четырех точечных вихрей на плоскости дано в работах Зиглина [9, 33]. Отметим также работы [20] и [22]. В [20] проинтегрирована в эллиптических функциях система трех одинаковых вихрей и показана хаотизация движения четырех вихрей равной интенсивности. В [22] рассматриваются интегрируемые случаи движения четырех вихрей. [c.376]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...