ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Пуанкаре о кольце из "Аналитическая динамика " Возьмем плоскость м, определяемую уравнением Хт = т эта плоскость параллельна плоскости Рис. 123. [c.619] Движение этой точки происходит в области Хт О (поскольку в точке Р Хт 0). В дальнейшем, возможно, точка перейдет из области О в область Хт i О (при этом ее траектория пересечет плоскость со в точке, не принадлежащей А), а затем вновь попадет в область Хт О, причем на этот раз пересечет плоскость м в точке Р множества А (см. рис. 123, иллюстрирующий случай т = 2). Преобразование точки Р в точку Р (обозначим его Р — ТР) является топологическим отображением области Р в область Р множества А. [c.619] Теорема утверждает, что при выполнении этих условий отображение имеет две неподвижные точки. [c.620] На первый взгляд возникает трудность в связи с тем, что функция (г, 0) определена сначала лишь по mod 2л . Однако фактически это обстоятельство не является существенным, так как если функция г (г, 0) задана в одной точке кольца, то в силу непрерывности ее значения становятся известными везде. [c.620] Теорема остается верной и тогда, когда условие о сохранении меры заменяется более слабым требованием о существовании инвариантного интеграла с положительной подынтегральной функцией. Условие о сохранении меры можно заменить еще более слабым условием, что никакая подобласть кольцевой области не преобразуется в часть себя самой. [c.620] Интуитивные соображения, которые навели Пуанкаре на мысль о связи теоремы о кольце с вопросом о существовании периодических орбит, не очень убедительны и во многих отношениях спорны, но, несмотря па это, в следующем параграфе мы приведем аргументацию Пуанкаре ввиду ее особой важности для понимания вопроса и значительного исторического интереса. [c.620] Вернуться к основной статье