Связь линейного приближения с общей теорией

Связь линейного приближения с общей теорией. В предыдущих параграфах мы рассмотрели вопрос об устойчивости положения равновесия в связи с задачей о линейном приближении. Было найдено, что если линейное приближение показывает асимптотическую устойчивость, то к этому же результату мы приходим и в случае учета нелинейных членов. Аналогично, если линейное приближение показывает неустойчивость, то этот результат сохраняется и при учете нелинейных членов. Что же касается обыкновенной устойчивости, то она, вообще говоря, не сохраняется при переходе от линейного приближения к точным уравнениям. [c.382]

Это уравнение определяет основную процедуру вариационного метода Канторовича-Власова, являющегося развитием более общего метода Фурье разделения переменных применительно к уравнениям теории упругости. Для сведения дифференциального уравнения в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению необходимо использовать разложение (7.2) и выполнить операции в (7.5), т.е. умножить обе части исходного дифференциального уравнения на выбранную функцию ХДх) и проинтегрировать в пределах характерного размера пластины (для прямоугольной пластины это ее ширина). Точное решение получается, когда ряд (7.2) не усекается, а из (7.5) следует бесконечная система линейных дифференциальных уравнений и расчетная схема имеет бесконечное число степеней свободы в двух направлениях. При этом весьма удобно использовать ортогональную систему функций X x). В этом случае будут равны нулю многие побочные коэффициенты системы линейных дифференциальных уравнений (7.5) и она существенно упростится, а при шарнирном опирании вообще распадается на отдельные уравнения. В расчетной практике весьма редко используют два и более членов ряда (7.2), ограничиваясь только первым приближением. Связано это с высокой точностью получаемых результатов, вследствие, как представляется, незначительного расхождения между приближенной схемой и реальным объектом. Формально это выражается в надлежащем выборе функции Х х). Чем точнее она описывает какой-либо параметр в направлении оси ОХ, тем меньше погрешность результата. [c.392]

Так как в общем случае помимо неоднозначности и нелинейности связи между о,-/ и в / заранее не известны границы областей тела, в которых материал перешел в неупругое состояние, для решения задачи термопластичности приходится использовать последовательные приближения. При этом целесообразно задаваться ожидаемым распределением (М) и решать линейную задачу термоупругости относительно перемещений Uj М), далее определять по (7.1) и (7.2) полные деформации Sij. (М) и напряжения a,j (А1), а затем по соотношениям теории тер МО пластичности уточнять распределение elf (М) и снова повторять описанную процедуру. Такой подход по существу не отличается от рассмотренного в 6.4 варианта метода дополнительных (или начальных) деформаций. Его удобно применять для определения параметров напряженно-деформированного состояния конструкции при постоянных нагрузках и распределении температуры Т М) или же при их монотонном изменении во времени, когда можно выделить в программе нагружения конструкции укрупненные этапы, в пределах которых следует ожидать монотонного изменения напряжений и деформаций во всех точках рассматриваемого тела [48 ]. [c.258]

С другой стороны, приближенная теория геометрической оптики содержит ценные общие идеи, которые допускают обобщение на другие — как линейные, так и нелинейные — задачи. Теория развивается здесь на примере волнового уравнения, но указаны также обобщения на неоднородную среду и анизотропные волны. Эти обобщения хотя и выходят за рамки обсуждения уравнения (7.1), но естественно с ним связаны. Другие вопросы геометрической оптики и развитие аналогичных идей в нелинейной теории будут рассматриваться в следующих главах. [c.206]

М. А. Айзерман и Ф. Р. Гантмахер (1957) заметили, что возникающий в случае исследования устойчивости состояния равновесия неголономной системы критический случай теории устойчивости относится как раз к тому частному случаю, который был полностью исследован А. М. Ляпуновым и И. Г. Малкиным. В связи с этим Г. Н. Князев (1963) предложил считать критическими случаями лишь такие, когда число нулевых корней характеристического уравнения больше числа уравнений неголономных связей, и рассмотрел случай, когда число нулевых корней больше числа уравнений неголономных связей на единицу. Ю. И. Неймарк и Н. А. Фуфаев (1965—1966) обратили внимание на то, что неголономная система не может иметь изолированных состояний равновесия, что состояния равновесия неголономной системы образуют многообразие, размерность которого в общем случае совпадает с числом нулевых корней и числом неголономных связей. Это позволило установить условия асимптотической устойчивости многообразия состояний равновесия по линейному приближению и выяснить особенности поведения неголономной системы по отношению к постоянно действующим возмущениям. [c.177]

Теория колебаний многоатомных М., опираясь на теорию химич. строения и классич. механику связанных колебаний, вводит в качестве периодически изме-няюгцихся переменных естественные координаты — длины валентных связей и значения валентных углов. Сложное колебательное движение М. как целого разлагают на простые (линейные) движения — нормальные колебания молекулы, координаты к-рых в гармонич. приближении выражаются как линейные функции естественных координат. Строгое решение задачи о нормальных колебаниях М. позволяет провести расшифровку спектра и сделать ряд выводов о строении М., в частности определить се динамич. коэффициенты. Общее число нормальных колебаний А -атомной М. равно ЗN — 6 (или ЗА —5, если М. линейна). Колебательные спектры позволяют определять энергии диссоциации М., нопосредствснно изучать явления изомерии, таутомерии, поворотной изомерии, а такжо межмолекулярное взаимодействие и водородную связь. [c.283]

Хорошо известно, что материальные уравнения линейной электродинамики, которая описывает гармонические волны, распространяюш иеся в среде без искажений, и где имеет место принцип суперпозиции, являются приближенными. Так, линейное соотношение между поляризацией и напряженностью электрического поля Р = хЕ получается при простейшем классическом расчете на основе идеализированной модели гармонического осциллятора при более общем квантовом рассмотрении линейная связь между поляризацией и полем соответствует первому приближению теории возмущений. Степень пригодности указанных приближений зависит в первую очередь от соотношения между амплитудой поля световой волны и характерным внутренним полем Во, определяющим силы связи, действующие на оптический электрон в среде. Поле Ео связано с потенциалом ионизации / и характерным расстоянием а (на котором поле обеспечивает связь) соотношением еЕоа = 1. Для атома водорода это поле 0 = 5 10 в см. Для конденсированных сред величина Ео меньше, и, в частности, для полупроводников с относительно небольшой шириной запрещенной зоны Ей 10 в СМ сравнимую с последней величиной напряженность поля нетрудно получить при фокусировке пучка современного мощного лазера. Поэтому для описания оптических эффектов в таких полях линейное материальное уравнение должно быть замене- [c.5]

В связи с указаниями авторов настоящей работы на то, что в теории, данной в работе (1), не выполнено уравнение количества движения, были даны две приближенные теории критических режимов эжектора—теория Г. И. Таганова теория Ю. Н. Васильева, в которых уравнение количества движения уже выполняется. Г. И. Таганов дал приближенную теорию критического режима эжектора [3], приняв линейный закон изменения приведенного расхода по сечению 5 сверхзвуковой струи, коэффициент наклона которого определялся из уравнения количества движения. В своей приближенной теории Ю. Н. Васильев предположил, что иа границе струй в сечении 5 давление меняется скачком. и остается постоянным по всему сечению сверхзвуковой струи величина этого скачка определялась также из уравнения количества движения. Обе эти приближенные теории следует признать существенными из-за их простоты, однако их общим недостатком является тот факт, что они не дают различия между случаями плоского и осесимметрического эжектора, а также между осесимметрическим эжектором с центральной струей высоконапорного газа и осесимметрическим эжекто )ом с центральной струей низконапорного газа, хо я это различие, повидимому, может быть существенным. [c.41]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...