Положительное предельное множество

ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ПРЕДЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО 387 [c.387]

Множество таких точек I называется положительным предельным множеством или множеством предельных точек для рассматриваемой траектории обозначим его через Л. Точки I множества Л называются Л-точками. Л-точки кривой С являются предельными точками (точками сгущения) этой кривой, но не все предельные точки С принадлежат к числу Л-точек. [c.387]

Рассмотрим теперь основные свойства положительного предельного множества Л. К ним относятся следующие свойства 1) множество Л не является пустым 2) множество является замкнутым 3) множество является связным [c.387]

Результаты, изложенные выше, можно сформулировать в виде следующей теоремы. Пусть I — обыкновенная точка множества Л, которое является положительным предельным множеством траектории С, а S — отрезок без [c.391]

Докажем сначала, что С есть циклическая траектория. Пусть р — обыкновенная точка, ская ем, положительного предельного множества Л кривой С. Множество Л составляет часть Л (поскольку С принадлежит Л и это множество замкнуто), так что р А. Пусть S будет отрезок без контакта, проходящий через точку р. Тогда S пересекает Л в единственной точке р. Таким образом, S пересекает С в одной-единственной точке р, и, следовательно, траектория С является циклической. [c.391]

Выше мы видели, что положительное предельное множество траектории С может состоять из одной-единственной особой точки I и при г оо траектория стремится к I или, возможно, входит в нее. Этот результат можно трактовать как частный случай теоремы Пуанкаре — Бендиксона, если особую точку I рассматривать как вырожденную форму предельного цикла. [c.392]

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку р О и решение Ф(р, ). проходящее через эту точку при ==0. Пусть 2 — предельное множество положительной полутраектории Ф(р, 1). Ясно, что 2сО покажем, что справедливо и более точное соотношение 2 0. Предположим, напротив, что существует точка 2. лежащая на границе области О. Рассмотрим точку Ф д, где < 0. Множество 2 есть предельное множество для Ф(р, потому оно инвариантно, следовательно. Ф(д, 1) 2сО. По условию теоремы имеем Ф Ф д, ), — 1) = д Это противоречит предположению, сделанному о точке д. Полученное противоречие и доказывает, что 2 с О. Отсюда и из теоремы 18.2 следует, что существует точка г 2, через которую проходит периодическое решение Ф(г, () системы (.18.1). [c.292]

Множество К всех предельных точек полутраектории L+ называется предельным множеством или предельным континуумом L+. В случае положительной (отрицательной) полутраектории это множество называют также (о-предельным (а-предельным) множеством или континуумом. Аналогично множество всех а (ш)-предельных точек траектории L называют а (ш)-предельным континуумом траектории L. Для обозначения предельных континуумов траекторий или полутраекторий мы будем иногда пользоваться символами К а и К , или Ка (L) и К а, (L). [c.106]

В случае 2) положительная полутраектория L системы (6) остается в ограниченной части плоскости и, следовательно, имеет со-предельное множество. [c.365]

Пусть — какая-нибудь положительная полутраектория, выделенная на траектории Ь. В дальнейшем рассматривается е-окрестность полутраектории. Эта окрестность, как легко видеть, непременно содержит е-окрестность предельного множества этой полутраектории. [c.51]

ЛЕММА 3.25. Ни одна точка локальной компактности R не может принадлежать предельному множеству движения, не устойчивого по Лагранжу в положительном направлении. [c.105]

ТЕОРЕМА 7.25. Для того, чтобы т-пределЬное множество устойчивого по Лагранжу в положительном направлении движения /(р, 1) было траекторией особого движения, необходимо и достаточно существование для каждой точки такой относительно плотной на последовательности < , что [Др, t ) -->q. [c.109]

Объединение гиперболического множества, возникающего при гомоклиническом касании, и всех траекторий, которые к нему притягиваются, вообще говоря, имеет в фазовом пространстве меру нуль. Однако множество траекторий положительной меры находится вблизи гиперболического чрезвычайно долгое, по сравнению с периодом цикла, время (с точки зрения физического наблюдателя это время можно считать бесконечным). Поэтому при потере устойчивости предельным циклом вблизи сильного резонанса следует ожидать возникновения хаоса. [c.62]

Согласно широко распространенной гипотезе, предельное поведение траекторий типичной динамической системы на компактном многообразии описывается следующим образом. За конечное время каждая положительная полутраектория попадает в окрестность притягивающего множества — аттрактора. Если аттрактор достаточно массивен — отличен от конечного объединения особых точек и предельных циклов, — то поведение фазовых кривых на аттракторе и вблизи него хаотично. Аналогичная гипотеза имеется для диссипативных систем, фазовое пространство которых — компактное многообразие с краем, а поле системы направлено внутрь на краю. [c.156]

Эти гипотезы не доказаны. Более того, общепринятого определения аттрактора не существует. Проблема предельного поведения траекторий исследуется с двух сторон. С одной стороны, определения аттрактора даются так, чтобы каждая диссипативная система (для простоты ниже речь идет именно о таких системах) имела аттрактор. При этом аттрактор не должен содержать лишних точек и должен совпадать с тем пространством установившихся режимов , которое наблюдается в численном или натурном эксперименте. Например, максимальный аттрактор диссипативной системы — пересечение всех сдвигов поглощающей области преобразованиями фазового потока за положительное время — может быть гораздо шире пространства установившихся режимов . На рис. 58а показана динамическая система с поглощающим кольцом, максимальный аттрактор которой — окружность, содержащая два положения равновесия — седло и узел. Фазовые кривые стремятся к седлу из множества начальных условий меры нуль почти все (в смысле меры Лебега) фазовые кривые стремятся к узлу, который и следует считать физическим аттрактором . [c.156]

Множество предельное положительное 387-389 [c.633]

Из определения 11 следует, что если точка М является предельной точкой положительной полутраектории то либо а) существует последовательность различных точек полутраектории Ь+, соответствующих значениям времени к =1, 2,. . . ) таких, что М —>М, а >оо при к- оо, либо б) сама точка М соответствует бесчисленному множеству значений 1=1) таких, что — -1-оо при к—> оо. Аналогично обстоит дело с предельной точкой отрицательной полутраектории. [c.103]

Разделим М на большое число малых областей, диаметром не больше е, где — выбранная нами положительная константа (первая сеть). Среди движений, принадлежащих Е, найдется такое, которое проходит через наименьшее число этих малых областей, когда t изменяется от —ос до -Ьос. Пусть Ei будет соответственное замкнутое множество, состоящее из кривых предельных движений. Это множество составляет часть Е и лежит целиком в тех же областях. Разложим эти маленькие области на еще более мелкие области, диаметром не больше г/2 (вторая сеть). Среди движений, принадлежащих Ei, будет такое, которое проходит через наименьшее количество этих новых областей при изменении t от —ос до +00. Определим Ег, как соответствующее замкнутое множество, состоящее из кривых предельных движений Ег будет частью El. [c.205]

Пусть Р — рассматриваемая совокупность ш-предельных точек движения точки Р. Допустим, что она не связна. Тогда она представляется как сумма двух непустых замкнутых множеств Р1 и Рг, не имеющих общих точек. Эти множества находятся па положительном расстоянии друг от друга. Обозначим через С, совокупность точек, находящихся [c.396]

Пусть Р произвольная точка множества Е, е произвольное положительное число. Согласно предположению кривая движения, проходящая через Р, не может быть замкнута, так как иначе множество X состояло бы только из этой кривой. Следовательно, при tl ф 2 имеем Pf ф Р<2. Кроме того, согласно сказанному (см. 2-й абзац 7) каждая точка Р является ш-предельной для рассматриваемой кривой движения. [c.397]

Теорема 14.1.1 (теорема Пуанкаре — Бендиксона). Пусть М— поверхность, являющаяся открытым подмножеством сферы 5 либо проективной плоскости, и пусть X —векторное поле на М класса СЧ Тогда все положительно или отрицательно рекуррентные орбиты являются периодическими. Кроме того, если множество ш-предельных точек некоторой точки не содержит неподвижных точек, то оно состоит из единственной периодической орбиты. [c.455]

В. Ф. Лазуткин доказал [25], что если граница r = dQ является достаточно гладкой, то существует бесконечное семейство каустик, имеющее положительную меру (в Q), для которого Г является предельной точкой. При этом мера (в М) множества траекторий, касающихся каустик, также положительна. Из этого результата вытекает, что биллиард в области на плоско- [c.178]

Положительное предельное множество. Рассмотрим ограниченную положительную полухарактеристику С, расположенную в области D ( 19.3). Будем отмечать положение изображающей точки на полухарактери-стике С в момент t посредством вектора р (t), р t) = х t), у (t) , так что p t) D ж I р (О <С. К при >.0. Обозначим через I точку такую, что [c.387]

Л-точка кривой С может лежать на этой кривой, а может и не лежать на ней. В некоторых простых случаях положительное предельное множество находится без труда. Если при tоо р (t) стремится к устойчивой особой точке Pq, то л = Pq. Если полухарактеристика С циклическая, то каждая ее точка является Л-точкой и других Л-точек не существует. Таким образом, если С — циклическая полухарактеристика, то Л = С. В дальнейшем мы увидим, что во многих случаях множество Л само составляет циклическую траекторию, а С представляет собой спираль, приближающуюся к Л, когда t стремится к бесконечности. [c.387]

Остается рассмотреть исключительный случай, когда множество Л не сводится к особой точке, но таково, что каждая траектория, полностью лежащая в Л, обладает тем свойством, что ее положительное предельное множество является особой точкой и ее отрицательное предельное множество является особой точкой. В этом исключительном случае множество Л является псевдоциклической траекторией, т. е. представляет собой замкнутую кривую, составленную из траекторий, каждая из которых начинается и заканчивается в особой точке. Эти особые точки являются седловыми. Простейшим случаем псевдоциклической траектории является тот, когд одна траектория выходит из седловой точки и возвращается в нее. В другом простом случае имеются две различные седловые точки, которые соединяются двумя различными траекториями. Выше были приведены примеры обоих этих случаев сепаратриса на рис. 89 дает пример первого случая, а сепаратриса на рис. 83 — пример второго случая. [c.392]

Теорема Пуанкаре — Бендиксона. Результаты, полученные выше, можно представить в виде следующей теоремы. Рассмотрим ограниченную положительную полухарактеристику С, расположенную в области D, и предположим, что положительное предельное множество А этой полуха-рактеристики не сводится к особой точке. Тогда либо полу характеристика С является циклической и А = С, либо А представляет собой циклическую траекторию (е исключительном случае псевдоциклическую) и С является спиралью, приближающейся к А, когда оо. [c.392]

Наконец, А.С. Андреев [1991] вывел общие аналитические свойства типа непрерывности и инвариантности у-положительных предельных множеств [Hatvani, 1979b], позволяющие исследовать предельное у-поведение решений исходной системы (1.2.1). [c.86]

Определение (Ю. С. Ильяшенко, 1985). Пусть динамическая система на компактном гладком многообразии с краем диссипативна и m — гладкая мера на этом многообразии с положительной плотностью. Открытое множество и называется существенным, если положительна мера множества тех точек, положительные полутраектории которых проводят в среднем положительное время в области U. Статистическим предельным множеством называется дополнение к максимальному несущественному открытому подмножеству фазового пространства. [c.158]

Предположим противное. Пусть некоторая точка статистически предельного множества не принадлежит вероятностно предельному. Возьмем окрестность U этой точки, замыкание которой не пересекается с вероятностно предельным множеством. Эта окрестность существенна следовательно, существует множество положительной меры, положительная полутраекто-рия любой точки которого проводит в и в среднем положительное время со-предельное множество каждой такой точки имеет непустое пересечение с областью U, что противоречит выбору этой области. > [c.159]

Структура множества Л. Предположим снова, что предельное множество Л положительной полухарактеристики С не сводится к особой точке. Теперь мы знаем, что траектория, начинающаяся в точке множества Л, целиком принадлежит этому множеству. Предположим, что множество Л содержит траекторию С, предельное множество которой (положительное или отрицательное) не сводится к одной особой точке. Тогда траектория С является циклической и А = С. [c.391]

Доказательство. Во-первых, множество неподвижных точек поля X конечно, так как седла изолированы и поверхность М компактна. Существует конечное число положительных полуорбит, а -предельные множества которых состоят из неподвижных точек. Эти орбиты — входящие (устойчивые) сепаратрисы седел. Действительно, ш-предельное множество любой сепаратрисы состоит из единственного седла. [c.459]

Положительная (соответственно, отрицательная) полутраектория называется устойчивой по Пуассону, если она содержится в стоемш-пределмюм (соответственно, а-предельном) Множестве. ДЛй" траекторий прйхоДйтся различать устойчивость ио Пуассону в положительном направлении, т. е. устойчивость какой-нибудь (и тогда любой) ее положительной полутраектории, устойчивость по Пуассону в отрицательном направлении, т. е. аналогичное свойство отрицательных полутраекторий, и просто устойчивость по Пуассону, означающую наличие обоих этих свойств (при необходимости резче подчеркнуть различие, можно в последнем случае говорить о двусторонней устойчивости по Пуассону). Точка х устойчива по Пуассону (в том или ином направлении или двусторонне), еслн тем же свойством обладает ее траектория иными словами, д х при —с [c.220]

ЛЕММА 1.8. о> а.)-предельное множество движения, устой-ятого по Лагранжу в положительном отрицательном) направлении, не пусто. [c.34]

Рассмотрим условие в). Пусть даны два различных предельных континуума К г И 5 (не являющихся СОСТОЯНИЯМИ равновесия). Мы рассматриваем односторонние предельные континуумы (см. главу ]Х), поэтому различные предельные континуумы могут 1) лпбо не пметь общих точек 2) либо иметь не все точки общими 3) либо, наконец, онп могут совпадать как точечные множества, но тогда один из этих континуумов является континуумом А+, а другой К , так что все отличные от состояний равновесия траектории, входящие одновременно в оба континуума, будут в одном из них предельны с положительной стороны, а в другом — с отрицательной стороны. В случае, когда континуумы К и Ку не имеют общих точек — выполнимость условия в) очев1Щна. [c.456]

Рассмотрим случай 1). Пусть для определенности оба континуума ку и ку являются со-предельными. Предположим сначала, что не все точки этих континуумов общие, так что континуумы КУ и Ку различны как точечные множества. Так как все траектории, проходящие через точки любой канонической окрестнос П К и ограничивающего ее цикла без контакта С , имеют КУ своим со-предельным континуумом, а псе траектории, проходящие через точки канонической окрестности /Г и ограничивающего ее цикла без контакта, имеют Ку своим предельным континуумом, то очевидно, что в рассматриваемом случае эти канонические окрестности и ограничивающие их циклы без контакта не могут иметь общих точек. Предположим теперь, что континуумы КУ и Юу совпадают как точечные множества, так что один пз этих континуумов является континуумом КТ, а другой К1. Пусть — какая-нибудь отличная от состояния равновесия траектория, входящая в состав зтих континуумов. Если канонические окрестности континуумов К и К имеют общие точки, то траектория Ьа для всякой траектории Ь, проходящей через такую общую точку, является предельной как с положительной, так и с отрицательной стороны. Но это невозможно (см. следствие 2 леммы 2 4). Таким образом, канонические окрестности двух различных со (а также двух различных а)-предельных континуумов не имеют общих точек. [c.456]

Множество точек, соответствующих бифуркационной картине 169,7—S с двойным полуустойчивым предельным циклом, на рис. 167 образует непрерывную кривую 7.S с положительным наклоном. Кривая 7.8 начинается на прямой Я = 1 и заканчивается в точке пересечения кривых 6.7 и 6.8 , служащих продолжением одна другой, с кривой 04 = О (точка Е на рис. 167). [c.322]

Доказательство очевидно. Выберем малую окрестность данного минимального множества рекуррентных движений. Из рассуждений предыдущего параграфа следует, что будет существовать движение, входящее в некоторой точке Р в эту окрестность и остающееся в ней после этого при безграничном возрастании Ь. Если при сколь угодно малом е в совокупности -предельных точек этого движения будут другие минимальные множества, кроме данного, то высказанное выше утверждение справедливо. В противном случае движение, проходящее через Р, будет положительно полуасимптотичным к данному рекуррентному движению, тоже в согласии с высказанным утверждением. [c.209]

М ,. Таким образом, предельная функция к совпадает на множестве положительной меры с функцией, модуль производной которой больше чем М . Так как множества положительной меры имеют точки накопления, то, если отображение к дифференцируемо, его производная неограничена. Таким образом, к не может принадлежать классу С и, следовательно, по предложению 12.4.3 Л не липшицево. Тем самым доказательство второго пункта теоремы закончено. [c.421]

Доказательство. Предположим сначала, что М — подмножество сферы. Обозначим через /р" поток, порожденный векторным полем X, и предположим, что р — положительно рекуррентная и непериодическая точка. Выберем короткую трансверсаль у, проходящую через р, и пусть t — наименьшее положительное число, для которого 1р р) е у. Тогда объединение отрезков орбиты (р) о , 4 и отрезка 7, соединяющего р и <рЧр), является простой замкнутой кривой С, называемой пре-трансверсалью (поскольку далее мы будем использовать такие кривые для того, чтобы стооить трансверсали). Теорема о жордановых кривых П 5.2 утверждает, что дополнение к С состоит из двух непересекающихся открытых множеств А и В. Мы можем обозначить их таким образом, чтобы вблизи 7 поток шел из А в В. Это приводит к тому, что положительная полуорбита р (р), а следовательно, и ш-предельная точка ш(р) точки р содержится в 5. Так как точка р рекуррентна, мы имеем А э <р р) 6 0 р) с ш(р) С В, что приводит к противоречию. [c.455]

Значение о положительно (см. рис. 7.16), если среднее по траектории от / больше 1. За исключением множества меры нуль, о не зависит от выбора начального значения Хо- При а>0 движение хаотическое, а при (тсО существует предельный цикл. Зависндюсть о от параметра С является обычно сложной. На рис. 7.17 представ- [c.443]

Существующий в настоящее время рецепт определения эволюции во времени для системы, бесконечно протяженной в пространстве, можно сформулировать следующим образом. Пусть 0 — подмножество множества состоящее из возрастающих последовательностей 0 , таких, что для каждой области О е найдется некоторое конечное положительное целое число Л/(О), обладающее свойством й е для всех п Ы 0). Например, в качестве Й можно было бы выбрать последовательность кубов с ребром и центром в начале координат. Предположим далее, что в однозначно определена эволюция во времени а (0- В частности, это означает, что мы ввели некоторые граничные условия в Затем для каждого элемента Я, принадлежащего некоторой области 0 8. мы изучим предел а (/)[/ ] при ->оо в подходящей топологии . Если последний существует и определяет элемент а Ц) [/ ] алгебры Э и, кроме того, если оператор щ изометрический, то его можно продолжить по непрерывности с иэ (0) на 9 . Затем необходимо проверить непрерывность отображения щ по 1. Ясно, что осуществление такой программы требует нескольких доказательств сходимости. Как мы увидим в 2, такие доказательства действительно удается провести для некоторого класса взаимодействий в квантовой решетке со спином. Но даже в пределах этого класса имеются взаимодействия с достаточно большим радиусом, для которых наблюдаемые, бывшие локальными при / = 0, утрачивают свой локальный характер в процессе эволюции во времени. В предельном случае (вандерваальсов предел) мы не можем более определять отображение щ как автоморфизм алгебры 8 , хотя по-прежнему можем определять его для интересующих нас представлений я как автоморфизм бикоммутанта я (9 )". Как мы увидим в 2, аналогичная ситуация возникает и в случае свободного бозе-газа. [c.357]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...