Другие доказательства теорем об энергии

Для доказательства второй части теоремы учтем, чю при движении консервативной системы и выполнении других условий теоремы о связях справедлив закон сохранения полной механической энергии [c.422]

Изложенное свидетельствует о том, что принцип минимума кинетической энергии, определяющий единственно возможное значение радиуса Xi, при условии, что n(x,) - неизвестная величина, является следствием теоремы 7 и принципа виртуальных перемещений классической механики. Его доказательство совершенно не зависит от того, является поле скоростей в потоке вихревым или потенциальным, и он будет справедлив как в том, так и в другом случае, лишь бы для потока удовлетворялось условие 3 теоремы 7. Теорема 7 является как обоснованием принципа минимума кинетической энергии, так и его ограничением. [c.99]

Для доказательства этой важной теоремы рассмотрим столкновение системы свободных частиц 2 с другой произвольной физической системой 221 при котором определенное количество энергии и импульса переходит из системы 2 в 2 2- Частицы в системе 21 до и после столкновения — свободные, поэтому полная энергия и полный импульс системы до и после столкновения преобразуются в соответствии с (3.32) и (3.37). Вычитая преобразование для энергии и импульса системы после столкновения из соответствующего преобразования для энергии и импульса до столкновения, получаем [c.61]

Параметры Ламберта. В литературе можно найти очень краткие доказательства теоремы Ламберта, обладаюш,ие тем недостатком, что они разделяют эллиптические и гиперболические случаи и основаны на очень таинственных алгебраических манипуляциях. Можно сравнить представления Лапласа [4], Адамса [1], Дзёбека [2], Рута [2], Пламмера [1] и Баттина [1]. Эти неудобства — естественное следствие сложности функциональных соотношений между Н и Ai. Как обнаруживается, при расчетах возникают промежуточные величины, мы решили выделить их, назвав параметрами Ламберта. Мы будем доказывать теорему Ламберта, последовательно удлиняя список параметров Ламберта, пока не дойдем до Ai. Отметим, что другие параметры Ламберта, которые можно найти в той же статье Ламберта, появлялись в упомянутых нами доказательствах. Напротив, параметр, который мы обозначим 3, кажется нам новым и интересным. Одновременно в нашем представлении показано, что теорема Ламберта не свойственна для пары время-энерги. [c.43]

При иных условиях могут быть получены другие неравенства их доказательства, однако, часто являются более тонкими. Гриффитс получил неравенство, столь же общее, как и неравенство Рашбрука, поскольку оно основано только на теореме о выпуклости для свободной энергии [c.363]

Другая теорема такого же характера гласит, что если потенциальная энергия при той же конфигурации уменьшается, а кинетическая остается неизменной, то периоды всех свободных колебаний возрастают, и наоборот. Результаты подобного рода, как и сама теорема стационарности, строго говоря, доказаны Рэйли только для конечного числа степеней свободы и для малых изменений соответствующих параметров, но он пользуется ими в общем случае и основывает на них способ приближенного вычисления собственных периодов или частот. Только значительно позже, почти через полвека, успехи в разработке вариационных методов и созданная в начале XX в. теория интегральных уравнений были использованы для строгого доказательства этих положений. [c.279]

Отметим попутно, что было бы ошибкой пытаться представить возмущение как действие внешней среды на изучаемую систему, получая таким образом равновероятность собственных состояний полной энергии системы. Причины этого те же, что и указанные в 20 п. г главы I задача доказательства Я-теоремы, составляющая одну из наиболее важных частей Teopiin, может быть поставлена лишь по отношению к изолированной системе. Главное же заключается в том, что, привлекая внешнюю среду для обоснования статистических свойств системы, мы просто переносим трудности в другое место — в определение вероятностной характеристики действия внешней среды (в частности, в излагаемой теории внешнее возмущение должно будет удовлетворять второму и третьему из только что приведенных требований). Как показывает строгое, основанное на уравнении Шредингера решение квантовомеханической задачи, для любой заданной начальной Т-функции и любой [c.147]

В случае газа мы можем конкретизировать зависимость энер-1 ии состояния от определяющих это состояние переменных величин. Принимаем Г и F за независимые переменные и сначала докагкем, что энергия является функцией температуры Г и не зависит от объема. Подобно лшогим другим свойствам газов это свойство лишь приближенно верно для реальных газов. Предполагается, что точно оно выполняется для идеальных газов. В разделе 14, исходя из второго закона термодинамики, мы сделаем вывод, что энергия любого тела, подчиняющаяся уравнению состояния идеального газа (7), не должна зависеть от объема V. Сейчас, однако, мы приведем экспериментальное доказательство этой теоремы для газа зксперименты были выполнены Джоулем. [c.25]

Рассмотрим систему с фиксированной энергией Е. Будем предполагать, что энергетическая поверхность Е (р, q) = = onst является инвариантной неразложимой областью Q в Г-пространстве. Это означает, во-первых, что для любой точки Р вся траектория, проходящая через Р, целиком лежит в Q и, во-вторых, что данная область не может быть разделена на две части Q и Q", каждая из которых является инвариантной. Без доказательства отметим тот факт, что неразложимость Q эквивалентна транзитивности движения это означает, что траектория, проходящая через любую точку Р в будет проходить сколь угодно близко к любой другой точке Р в Q. Более того, если предположить, что полный объем Q конечен, то траектория, проходящая через точку Р, будет пересекать ячейку 6Q в Г-пространстве снова и снова теорема возврата Пуанкаре). [c.610]

Производных Фреше, теорему о неявной функции и другие теоремы из функционального анализа, многие из которых приведены с полными доказательствами. Во второй главе дан вывод основных уравнений и граничных условий статической теории упругости. В последующих главах этой части обсуждается структура системы уравнений теории упругости, её зависимость от свойств упругого материала. Часть В под названием Математические методы трёхмерной теории упругости посвящена в основном доказательству теорем существования решений краевых задач нелинейной системы теории упругости. В этой части две главы. В первой даны доказательства теорем существования, основанные на применении теоремы о неявной функции, получены оценки отклонения решения от соответствующего решения линейной задачи, доказана сходимость метода приращений. Во второй главе теоремы существования установлены вариационным методом, на основе минимизации энергии, приведены доказательства замечательных теорем Болла о существовании решений. [c.6]

В первой работе получено дифференциальное уравнение малых колебаний математического маятника. Повый общий принцип, излагаемый в работах 1748-1749 гг., состоит в том, что из всех положений, которые последовательно занимает система тел, связанных между собой нитями, рычагами или любыми другими средствами и двигающихся под действием некоторых сил, положение, в котором система имеет наибольшую сумму произведений масс на квадраты скоростей, то есть наибольшую живую силу, является именно тем положением, в которое необходимо в первую очередь поместить систему, чтобы она оставалась в покое [182]. Пз определения принципа с достаточной ясностью следует его аналогичность принципу возможных перемещений, сформулированному ранее П. Бернулли. Однако эта аналогичность может быть установлена только с помощью теоремы об изменении кинетической энергии, тогда уже известной отдельным ученым, но еще не вошедшей в общепринятый арсенал теоретической механики. Поэтому принцип Куртиврона можно считать новым. Строгое доказательство своего принципа Куртиврон не приводит, ограничившись его демонстрацией на конкретных примерах. [c.249]

Таким образом, мы получили общее доказательство (см. [1, 2]) теоремы Саксона — Хатнера, которая первоначально была сформулирована [3] и доказана [4] в следующем виде любой области спектра, которой отвечают запрещенные зоны в спектрах как беспримесной цепочки типа А, так и беспримесной цепочки типа В, соответствует и запрещенная зона в спектре решетки, построенной из произвольной смеси атомов А и В. Фактически, однако, эта общая теорема применима и к ряду других задач. Рассмотрим, например, состояния электрона в жидкости Кронига — Пенни, в которой одинаковые дельтообразные пики потенциальной энергии бг = бо отстоят друг от друга на разных расстояниях [c.353]

Внешние задачи для уравнения Гельмгольца первоначально изучались методами теории потенциала в соответствии с классической схемой, развитой для уравнения Лапласа (см. Гюнтер [ 1], Келлог [1]). Здесь принципиальную трудность представляет доказательство теорем единственности, так как при вещественных со мы имеем дело с точками непрерывного спектра. Фактически мы вынуждены искать решения, не принадлежащие обычному пространству L , Теоремы единственности следуют тогда из условия излучения Зоммерфельда, которое означает, что поток энергии направлен в бесконечность, а не из бесконечности (см. Зоммерфельд [ 1], Реллих [ 2], а также Розо [ 4] по поюду других ситуаций). Другая интерпретация условия излучения да-нав 8 (возможность согласования невозмущенной зоны с волновым фронтом). [c.389]

СТВО сходимости для двух наиболее важных смешанных элементов, в которых моменты соответственно постоянны и линейны в каждом треугольнике. Его доказательство устанавливает после исключения неизвестных перемещений и определения неизвестных моментов как функций, минимизирующих положительно определенное выражение (дополнительную энергию), особое свойство. Это свойство совпадает с известным условием Ритца пробные моменты в дискретном случае содержатся в пространстве допустимых моментов (тех, которые достигают равновесия для предписанной нагрузки) полной непрерывной задачи. Поэтому, как и в методе Ритца, сходимость основана на теории приближений и ее можно доказать. Для других смешанных (и гибридных) элементов естественное доказательство проверяется из согласованности (или аппроксимируемости) и устойчивости. Тогда общая теорема Бабушки [Б5] дает сходимость, Бреззи доказал устойчивость для одного гибридного элемента, и его прием распространяется на общую теорию. [c.151]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...