Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема

Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема. [c.348]

В отличие от выражения (2.5) здесь функция f(t, х, ) не может быть вынесена из-под знака интеграла, так как каждому значению скорости Ij соответствует такая скорость чтобы в результате столкновения -молекула приобрела скорость . Далее из теоремы Лиувилля о сохранении фазового объема имеем [c.36]

Теорема Лиувилля (о сохранении фазового объема). Интеграл [c.286]

Замечание. В силу теоремы Лиувилля о сохранении фазового объема с постоянной плотностью, условия леммы 2.5 являются достаточными для отсутствия сохранения интегрального инварианта. [c.83]

Мера X может иметь сингулярности на Т . Предполагаем, что мера всего тора конечна. Это условие заведомо выполнено для биллиардов с гладкой регулярной выпуклой границей. Предложение 7 было известно еще Биркгофу [42, гл. VI]. Оно является следствием теоремы Лиувилля о сохранении фазового объема в теории гамильтоновых систем. [c.146]

Во-вторых, отметим, что из теОремы Лиувилля о сохранении фазового объема [16] следует, что det X (2я) = 1. [c.39]

Пусть 6 и р — начальные значения Т и / , лежащие в этом кольце. Проинтегрировав систему (6.14) от i = 0 до = 8я, получим отображение кольца, которое сохраняет площадь, так как система (6.14) гамильтонова (теорема Лиувилля о сохранении фазового объема [16]). При малых а это отображение имеет вид [c.66]

ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ О СОХРАНЕНИИ ФАЗОВОГО ОБЪЕМА [c.162]

Канонические системы не могут быть асимптотически устойчивы асимптотическая устойчивость требует, чтобы объем, занятый в фазовом пространстве начальными значениями, соответствующими возмущенным движениям, стягивался при t оо в точку, а это противоречит теореме Лиувилля о сохранении для канонических систем такого объема во Временя. [c.134]

Непосредственным следствием теоремы о сохранении фазового объема является уравнение движения для плотности вероятности ад(д, р, <) Чтобы нагляднее сформулировать его, договоримся сначала о способе изображения функции ад(д, р, <) в фазовом пространстве. Обычно мы привыкли рисовать графики, вводя кроме осей, по которым откладывается аргумент функции в нашем случае х = (я,р)), еще и ось изображаемой величины те. Но мы уже использовали плоскость чертежа для изображения б У-мерного пространства (д,р) как двумерного. Этот хотя и двумерный простор фазовом пространстве нам хотелось бы сохранить, чтобы рисовать траектории движения точек, изображающих состояния системы, и т. д. Так что для изображения функции р, <) придется использовать другой (но ничуть не худший) способ плотность вероятности У) д,р,1) для данного момента будет фиксироваться в пространстве (д, р) плотностью фиктивных точек в этом пространстве. Тогда газ этих точек (или ад-жидкость ) вследствие теоремы Лиувилля ведет себя в б У-мерном фазовом пространстве как несжимаемая жидкость. [c.290]

Если же функция Н не является знакоопределенной или зависит от времени, то задача об устойчивости становится весьма сложной. Для системы (1) справедлива теорема Лиувилля о сохранении фазового объема, поэтому невозмущенное движение не может быть асимптотически устойчивым в системах, описываемых дифференциальными уравнениями Гамильтона, возможна либо устойчивость, либо неустойчивость. Следовательно, если линеаризованные уравнения не дают строгого решения вопроса об устойчивости (как, например, в случае установившихся движений при наличии у характеристического уравнения хотя бы одного корня с положительной вещественной частью), то возникает необходимость рассмотрения нелинейных членов в уравнениях (1), т. е. мы имеем критический случай теории устойчивости. [c.543]

Региение вопроса об устойчивости по Ляпунову региения qj = pj = = О (далее будем иногда говорить об устойчивости системы (1) ) зависит от свойств функции Гамильтона. Если система (1) автономна, то функция Я будет ее первым интегралом и может быть принята за функцию Ляпунова V при региении задачи об устойчивости движения 1]. Если функция Я будет знакоопределенной, то система (1) устойчива. Если же система (1) не автономна или автономна, но п 2, и Я не является знакоопределенной функцией, то задача об устойчивости становится весьма сложной. Для системы (1) справедлива теорема Лиувилля о сохранении фазового объема, поэтому в ней невозможна асимптотическая устойчивость, а устойчивость может быть лигиь тогда, когда характеристические показатели системы с гамильтонианом Я2 будут чисто мнимыми. Так что задача об устойчивости системы [c.114]

Одним из важнейших положений, на которых основывается статистическая механика, является теорема Лиувилля о сохранении фазового объема. Эта теорема связана с понятием о фазовом пространстве. Фазовым пространством называется воображаемое пространство 2з измерений, по координатным осям которого откладываются обоби енные координаты и импульсы р механической системы (/=1, 2,..., 5 5 — число степеней свободы). Состояние механической системы в данный момент времени изображается в фазовом пространстве одной фазовой точкой. С течением времени эта точка движется по фазовой траектории. [c.389]

Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема позволяе установить еще одно важное свойство фазового потока гамильтоновой системы — свойство почти Повторяемости фазового состояния системы в случае ограниченности в фазовом пространстве областей, определяемых неравенством Я(р, q) h. [c.164]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...