Прямая задача Ньютона

Прямая задача Ньютона [c.173]

ПРЯМАЯ ЗАДАЧА НЬЮТОНА 1/5 [c.175]

ПРЯМАЯ ЗАДАЧА НЬЮТОНА 177 [c.177]

ПРЯМАЯ ЗАДАЧА НЬЮТОНА 179 [c.179]

ПРЯМАЯ ЗАДАЧА НЬЮТОНА 183 [c.183]

ПРЯМАЯ ЗАДАЧА НЬЮТОНА 185 [c.185]

ПРЯМАЯ ЗАДАЧА НЬЮТОНА 187 [c.187]

Обратимся к прямой задаче динамики и рассмотрим уравнение, выражающее второй закон Ньютона [c.170]

Первая основная задача динамики точки состоит в определении равнодействующей сил, вызывающих заданное движение материальной точки с известной массой. В зависимости от того, в какой форме задай закон движения точки, для определения равнодействующей сил можно применять уравнения движения в векторной, координатной или естественной форме. Во всех этих случаях задача сводится к определению ускорения из известных кинематических уравнений движения. Определение ускорения при этих условиях не связано, конечно, с какими-либо принципиальными трудностями, поэтому первую основную задачу динамики точки (прямую задачу) можно считать достаточно элементарной, хотя, решая именно эту задачу, И. Ньютон установил закон всемирного тяготения. [c.321]

Установив рассмотренным способом закон всемирного тяготения, Ньютон разрешил прямую задачу найти движение материальной точки массы т, притягиваемой неподвижным центром [c.105]

Прямая задача. После установления этого результата Ньютон обратился к следующей задаче. [c.336]

Для решения прямой задачи в общем случае второй закон Ньютона, пользуясь определением ускорения (3.2), записывают в дифференциальной форме [c.29]

Задача 77. Материальная точка массы т брошена с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью Пренебрегая сопротивлением воздуха и принимая во внимание, что сила притяжения точки к Земле изменяется по закону всемирного тяготения Ньютона обратно пропорционально квадрату расстояния точки от центра Земли и прямо пропорционально массам точки и Земли, найти скорость точки как функцию этого расстояния. [c.464]

Чтобы подойти ближе к отношению, которое имеет место для Земли, вычислим форму равновесия жидкой массы, вращающейся вокруг оси г нашей системы координат с угловой скоростью ш, частицы которой притягиваются между собой по закону Ньютона. Но эту задачу мы можем решить, и то не вполне, предполагая жидкость однородной и несжимаемой. Если т лежит между известными границами, то, как показывает вычисление, формой равновесия жидкости является эллипсоид. Считая, что жидкость ограничена эллипсоидом, можно определить его оси. Решение этой задачи много труднее, чем предыдущей, потому что здесь потенциал действующих сил не задан прямо, но зависит от искомой формы жидкости. [c.112]

Понятие об эллиптических элементах. В 2 для изучения общего решения уравнений движения точки, притягиваемой неподвижным центром по закону Ньютона, мы пользовались частной системой координат, подсказанной, так сказать, природой самой задачи (плоскость ху совпадала с плоскостью движения, полюс находился в центре силы и в эллиптическом случае полярная ось была направлена вдоль большой оси орбиты в сторону перигелия). Но иногда удобнее пользоваться общей системой координат это становится прямо необходимым, когда имеется в виду совместное изучение нескольких решений задачи, например изучение (эллиптических) движений двух или нескольких планет вокруг Солнца. [c.205]

О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ. Ограничимся простейшей задачей о движении точки по прямой под действием силы тяготения Ньютона с нулевой начальной скоростью из положения в момент о = 0. Тогда /г= —1/го<0. Функция r t) убывает и [c.273]

Если в точке излома производная слева х ) больше производной справа х ) то применение формулы Ньютона может привести к ошибкам. В этом случае следует ожидать также возникновения отрыва пограничного слоя, и реальная картина течения будет существенно отличаться от расчетной. Поэтому при решении вариационной задачи в данной постановке прямые ж = жз и = 0 следует исключить из рассмотрения. Участками краевого экстремума могут быть торец ( ж = 0) и участок постоянной толщины у = уз). Стыковка торца с экстремалью происходит в точке 1 с координатами = 0, 1, а стыковка экстремали с участком постоянной толщины — в точке 2 с координатами Ж2, У2 — Уз- [c.522]

Сформулированная задача была решена путем прямого сведения к нелинейной краевой задаче Коши (при использовании итерационной процедуры Ньютона). Для недеформированной конической оболочки были приняты размеры Гх = 39 мм, Гз = 47 мм, Н = [c.199]

Как формулируются прямая и обратная задачи динамики точки Какую при этом роль выполняет второй закон Ньютона Почему его называют основным уравнением динамики Что представляет собой уравнение движения Что такое закон движения [c.104]

Мы решили поставленную задачу и связали действие силы прямо со значениями начальной и конечной скоростей тела. Это и есть частный случай новой формы второго закона Ньютона. [c.187]

При изучении движения небесных тел — как естественных, так и искусственных — необходимо в первую очередь принимать во внимание силы взаимного притяжения тел в пространстве. Свою основную задачу классическая небесная механика видела в изучении движения тел именно под воздействием их взаимного притяжения. Отправным пунктом в построении небесной механики служит закон всемирного тяготения, открытый 300 лет тому назад, в 1665—1666 годах, великим английским физиком и математиком Исааком Ньютоном (1643—1727). Этот закон характеризует взаимодействие материальных точек (то есть геометрических точек, снабженных массами). Он гласит Всякая материальная точка притягивает каждую другую материальную точку с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между этими точками. [c.11]

Возникшая в результате проблема построения оптимальной образующей при р+ > Роо и достаточно малых Р разрешается так. Начнем с более простой задачи без задания Р. Для этой задачи необходимые условия минимума Сх получаются из найденных ранее при = 0. В рамках любой из описанных выше моделей построим 00, которая при / = О будет прямой, и определим из условия (3.5) с соответствующим выражением для р д) оптимальные угол ее наклона д = дf о и Уfo =tg дfo. Для модели Ньютона, согласно (3.9), yfo =tg дfo = -известная функция параметра N из (3.8), а для линейной модели, в силу (3.18), у о = tg г9/o = Ь. Нетрудно видеть, что галочка из построенного таким способом отрезка г/° и из его зеркального отра- [c.508]

Как упоминалось в п. 2.1 б, мы собираемся использовать метод Ньютона, чтобы дать другое доказательство локально аналитической сопряженности аналитических сжимающих отображений на прямой и их линейных частей (утверждение 2.1.3). Почти то же самое доказательство можно провести для другой задачи, которая аналитически выглядит очень похоже, но с динамической точки зрения совсем иная. [c.106]

Гюйгенс был прямым продолжателем работ Галилея и Торричелли, теории которых он, по его собственному выражению, подтверждал и обобщал [54, с. 91]. Аксиомы (закон инерции независимость вертикального движения, вызванного весом, и произвольного равномерного движения, составляющих сложное, то есть реальное движение) и первые одиннадцать теорем ( предложений ) второй части Маятниковых часов обобщают результаты Галилея в задаче о колебаниях маятника (считается, что колебания происходят в вертикальной плоскости, под действием тяжести, по траектории, являющейся предельным положением ломаной). Следующий шаг в обобщении идей Галилея-Гюйгенса сделал Ньютон, предложив систему понятий и законы , ставшие основой теоретической механики. Остановимся на некоторых из теорем Гюйгенса. [c.80]

Ньютон установил его геометрическим путем, формулы Биде появились позже. Приведенный вывод, так же как и вывод Ньютона, неполный (неточный) в силу того, что неподвижно не Сол]1-це, а центр масс системы Солнце — планета (или комета). Законы еплера являются приближенными. Мы рассмотрели обратную задачу, перейдем теперь к прямой задаче при указанном допущении неподвижности центрального тела. [c.429]

Уравнения, даваемые вторым законом Ньютона, позволяют решить целый ряд задач. Важнейшей является основная, или прямая задача динамики материальной точки, состоящая в том, чтобы в каждом конкретном случае уметь находить ее кинематический закон движения (1.2). Для решения этой задачи помимо массы т точки должны быть известны формулы для всех действующих на нее сил (о силах, изучаемых в механике, и закономерностях, которым они подчиняются, см. 10). Однако и при наличии такой информации уравнения (7.2), записанные как алгебраические соотношения между силой и ускорением, дают возможность решить прямую задачу динамики по существу лишь для равнопеременного (а = onst) движения, которое происходит под действием постоянной силы (f = onst). В этом случае кинематический закон движения дается известными из школьного курса физики формулами x i) = x +v t+a r/l (и аналогичными для y t) и г(/)), в которых проекции ускорения определяются из уравнений (7.2), а начальные координаты Х , = х(0), = > (0), =2(0) и проекции скорости = v (0), Vj,, = v (0), v,D = v,(0) точки предполагаются заданными. [c.29]

К сожалению найти точное решение уравнений движения удается лшль в редких случаях, когда формула для силы имеет достаточно простой вид. Поэтому прямая задача динамики обычно решается приближенными методами. Опишем простейшую процедуру приближенного расчета траектории материальной точки, предложенную самим Ньютоном. Движение разбивается по времени на этапы (шаги) малой длительности Д/ каждый, и траектория восстанавливается поэтапно. Пусть в начальный момент времени / = О радиус-вектор точки и ее скорость равны, соответственно г(0) Гд и (0) — Уд. Малое перемеш екие Дк точки на первом этапе согласно (2.2 ) приближенно равно Дг = Лi, так гго в конце первого этапа ее радиус-вектор i = И- Д (см. рис. 11). Скорость точки на первом этапе получит приращение, которое согласно (3.2) приближенно равно Ду = Д/, и станет равной в конце первого этапа V, = -Ь А1 Ускорение Дд на первом этапе можно считать постоянным и определить его из второго закона Ньютона , исполь-зуя значение силы в начале этапа (в улучшенных методах ускорение на этапе вычисляется при помощи более утонченной процедуры). Таким образом удается определить значения радиуса-вектора Г] я скорости V, в конце первого, т.е. в начале второго, этапа и процедура может быть продолжена. Подчеркнем, что ускорение на каждом / -м этапе определяется значением силы на этом этапе Д — )1т, поэтому для решения задачи результирующая сила должна быть известна как функция координат и скорости точки во всей области пространства, где ищется траектория. [c.30]

Заметим, что уравнения движения для поступательного (второй закон Ньютона) и вращательного (уравнение моментов) движений имеют одинаковую структуру с той лишь разницей, что. в уравнении моментов вместо линейного стоит угловое ускорение, вместо суммарной силы - суммарный момент сил, а вместо массы тела - его момент инерции относительно оси вращения. (Такое формальное и смысловое соответстзие величин и формул, описывающих поступательное и вращательное движение тела, можно проследить и далее - см. таблицу на с. 70.) Поэтому для тела, вращающегося относительно оси, можно ставить и решать такие же задачи, что и для движения материальной точки или поступательного движения тела. Например, прямая задача в случае вращательного движения, т.е. нахождение кинематического закона вращения (p t), состоит в решении дифференциального уравнения (19.11) при заданных начальных условиях <р(й)=ро и u,(0)= u . (Рекомендуем забежать вперед и сопоставить решения задач о свободных колебаниях пружинного и физического маятников в 36). [c.65]

И. Ньютон поставил и решил прямую задачу механики определить движение планета , притягиваемой Солнцем с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними, т.е. с силой Р = где т — масса планеты, ц — фавитационный [c.58]

Эта задача, поставленная еще Г. Галилеем, была решена различными методами Я. Бернулли, Г. Лейбницем, И. Ньютоном п др. Экстремалью в данном случае является циклоида, образованная качением круга по горизонтальной прямой у = h. Радиус этого круга зависит от отношения b/h. Интересно, что при (Ь /к) > л кривая наискорей- [c.50]

Настоящая задача особенно важна для комет, элементы которых во время их появления совершенно неизвестны со времени Ньютона, впервые попытавшегося разрешить эту проблему, найдется очень мало геометров и астрономов, которые не занимались бы ею. Не имен возможности строить приближение на малой величине эксцентриситета и наклонения, как в случае планет, они все принимали, что промежутки времени между наблюдениями очень малы, и дали более или менее приближенные методы для определения элементов комет на основании трех наблюденных долгот и такого же числа широт. Так как решение, предложенное мною в Memoires de Berlin ) за 1783 г., дает, мне кажется, наиболее прямое и наиболее общее решение кометной задачи, я считаю возможным изложить его здесь, но в несколько упрощенном виде и сопроводив его новыми замечаниями это решение даст нам важное применение основных формул, выведенных нами в предыдущем параграфе. [c.53]

Вспомним, например, задачу Стокса об обтекании вязкой жидкостью сферы ( 82), или расчет диффузии завихренности, образованной вихревой нитью ( 84). Во всех этих случаях влияние вязкости распространялось мгновенно, а в безграничных потоках и на бесконечно большие расстояния. Этот принципиальный факт является прямым следствием обобщенного закона Ньютона, выражавшего линейную связь между тензорами напряжений и скоростей деформаций, и сбуславливает эллиптический характер диффе- [c.440]

В теории сопротивления материалов, начальное развитие которой мы проследили в предыдущих главах, задачи определения прогибов и напряжений в балках решаются в предположении, что поперечные сечения балки в процессе ее деформирования остаются плоскими и материал балки следует закону Гука. В начале XIX века были предприняты попытки подвести под механику упругого тела более глубокое обоснование. Еще со времени Ньютона существовало убеждение в том ), что свойство упругости тел может быть объяснено силами притяжения и отталкивания, действующими между мельчайшими частицами этих тел. Это представление было развито Бошковичем ), который ввел предположение, что между каждыми двумя неделимо-мельчайшими частицами тела по соединяющей их прямой действуют силы, обнаруживающие себя как притяжение при некоторых [c.128]

Предполагая центростремительную силу какую угодно и допуская квадратуру кривых, требуется определить как скорость движущегося прямо к центру или от центра тела в любой точке, так и время, в течение которого она приходит в какое-нибудь место и обратно В этой задаче ограничение касается лишь характера силы (центростремительная), но не закона ее зависимости от времени, расстояния и т. д. На геометрическое построение наложено лишь условие существования квадратур кривых. В данном случае задача поставлена действительно в достаточно общем виде. Ньютон показывает, что скорость точки в каждый момент времени пропорциональна корню квадратному из некоторой площади, а время, в течение которого точка проходит отрезок пути, пропорционально некоторой другой площади. Таким образом, задача сведена к квадратурам кривых, что, конечно, является вполне общим результатом. Однако доказательство и этого общего результата само по себе чисто индивидуально. Прийти к нему дедуктивным путем из синтетических доказательств предыдущих Предложений невозможно. Эта задача, как и рассмотренная выше задача XXIII, требует изобретения нового доказательства. Таким образом, несмотря на однотипность применяемого аппарата и его достаточную общность, мы не имеем у Ньютона единообразной методики получения результатов. Математические средства и методы ньютоновых Начал находились на вооружении английских ученых в течение всего XVIII в. В этом одна из причин того, на первый взгляд удивительного явления, что на родине Ньютона, в стране с быстро развивавшейся промышленностью, за все это время было сделано очень немного (по сравнению с конти- [c.144]

Еще в 1878 г. Ф. А. Слудский высказал без доказательства теорему о том, что необходимым условием общего соударения свободных материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, является аннулирование всех постоянных интегралов площадей в движении системы относительно ее центра инерции. Подобную мысль высказал и К. Вейерштрасс Он показал, что при отличной от нуля нижней границе минимума взаимных расстояний точек системы координаты этих точек являются голоморфными функциями времени в полосе комплексной i-плоскости, ограниченной двумя симметричными относительно действительной оси прямыми. Исследуя вопрос о существовании соответствующих начальных условий движения, он пришел к заключению, что по крайней мере для задачи трех тел такие начальные условия не только существуют, но и представляют собой общий случай, в то время как парное и, тем более, общее соударение точек в конечный момент может произойти только при особых условиях. Вейерштрасс без доказательства также заметил, что координаты точек системы разлагаются в окрестности момента парного соударения t = в ряды по целым положи-J тельным степеням (fj — i) и зависят от бге — 2 произвольных постоянных. Эту теорему доказал П. Пенлеве . Он показал также, что если движение в классической задаче п тел, регулярное до момента ti, в этот момент нарушает регулярность, то минимум взаимных расстояний точек при t-у ti стремится к нулю. Если п = 3, то единственной особенностью движения может быть только парное или общее соударение тел в момент Если и 3, могут быть и такие особенности, когда некоторые из взаимных расстояний, не стремясь ни к каким определенным пределам при t ti, осциллируют в каких угодно границах. П. Пенлеве установил, что начальные условия движения, соответствующие парному соударению, должны удовлетворять определенным аналитическим соотношениям, однозначным относительно координат и алгебраическим относительно скоростей, если по крайней мере массы трех точек отличны от нуля. Найти эти условия удалось Т. Леви-Чивита и Г. Бискончини . Однако эти условия выражаются очень сложными рядами и могут быть использованы непосредственно только в случае, когда соударение происходит через весьма малый промежуток времени после начального момента. [c.112]

Проблема точного интегрирования уравнений динамики — одна из самых популярных тем исследования, начиная со знаменитых Математических начал натуральной философии Ньютона. Руководящей идеей в этом круге вопросов является общая идея симметрии. При решении задачи о центральном движении Ньютон уже использовал соображения симметрии факторизуя орбиты группы вращений, он свел эту задачу к изучению движения по прямой в потенциальном поле. Впоследствии Лагранж и Якоби заметили, что классические интегралы задачи многих гравитирующих тел связаны с инвариантностью уравнений движения относительно группы преобразований Галилея. Это фундаментальное наблюдение обобщено Эмми Нётер каждой группе преобразований, сохраняющих действие по Гамильтону, отвечает интеграл уравнений движения. Верно и обратное фазовый поток уравнений Гамильтона, в которых гамильтонианом служит известный интеграл, переводит решения исходных уравнений движения в решения тех же уравнений. На этой идее основано доказательство известной теоремы Лиувилля о полной интегрируемости уравнений Гамильтона фазовые потоки инволютивных интегралов попарно коммутируют и порождают абелеву группу симметрий максимально возможной размерности на многообразиях их совместных уровней. [c.6]

Но основы современной механики заложил И. Ньютон (1643—1727), дав в вышедшей в 1687 г. книге Математические начала натуральной философии полную и строгую систему задонов механики. Ньютон определяет механику как учение о движениях, производимых какими бы то ни было силами, и о силах, требуемых для производства каких бы то ни было движений . Смысл этого определения не утрачен до сих пор и отражается в прямой и обратной задачах механики. Создав принципы механики, Ньютон разрешил и большое число ее конкретных задач, в частности задачу о движении планет в поле силы тяжести Солнца. [c.29]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...