Полярные траектории

Соотношение (1) непосредственно обнаруживает, что обе полярные траектории в каждый момент имеют в общей точке I ту же касательную. Более того, поскольку это тождество устанавливает, что элементарные смещения точки I по обеим траекториям совпадают, то каждая траектория катится по другой без скольжения. [c.224]

Заметим, что взаимное с этим движение [т. е. движение плоскости -к. относительно плоскости р (рубр. 8 предыдущей главы)] имеет те же полярные траектории. [c.225]

Понятие о полярных траекториях допускает обобщение, которое, как увидим, имеет значительный интерес с прикладной точки зрения. Положим, что некоторая твердая фигура Р движется по плоскости, а с есть некоторая (плоская) кривая, неразрывно о этой фигурой связанная. Последовательные положения, которые кривая с занимает в своем переносном движении совместно с фигурой Р, будут, вообще говоря, иметь некоторую огибающую (. Всякий раз как такая огибающая действительно существует, ее называют сопряженным профилем кривой с. [c.225]

Если мы закрепим такие вершины, как А и С (концы стороны, которая внутренне пересекается с противоположной стороной ВВ), то при помощи совершенно аналогичного рассуждения убедимся, что полярными траекториями служат ветви гиперболы, также равные между собой. [c.231]

ДВИЖЕНИЕ ПОЛЮСА ПО ПОЛЯРНЫМ ТРАЕКТОРИЯМ [c.235]

Движение полюса ио полярным траекториям. [c.235]

Эта формула дает возможность вычислить скалярное значение скорости движения мгновенного центра по полярным траекториям по данной угловой скорости, и обратно. [c.236]

Установив все это, возьмем произвольный промежуток времени, в течение которого точка I остается всегда на конечном расстоянии, и рассмотрим две полярные траектории, т. с. геометрическое место X точки I относительно фигуры Г и аналогичное геометрическое место / той же точки относительно Р ). [c.257]

Установим теперь следующее общее предложение если известна одна пара полярных траекторий р=/(Й), р =/ (6 ), то из нее можно получить бесчисленное множество других пар, которые выражаются уравнениями р=у(пО), р =у (пй ), где п есть произвольный постоянный множитель. [c.259]

Обе полярные траектории называются основными окружностями. Они представляли бы собой идеал сопряженных профилей (рубр. 2 ), если бы при пх посредстве молено было на практике осуществить правильную передачу движения с одного колеса на другое. [c.261]

Положим, что в рассматриваемый момент i обе начальные точки 8 я О совпадают с мгновенным центром I, — более того, ось 9 совпадает с общей касательной к двум полярным траекториям X и / в точке I. При этих условиях в этот момент 1, вследствие совпадения точек О и Й, а = == 0 вследствие же [c.269]

Рис. 22. Полярные траектории точечные отображения К = 0.667, 7 = 9.5

Так как касательные к пространственной кривой линии всегда направлены перпендикулярно Чс нормальным плоскостям, пространственную кривую линию можно рассматривать как траекторию точки нормальной плоскости, когда эта нормальная плоскость обкатывает без скольжения полярный торс кривой линии. [c.341]

Плоский механизм манипулятора переносит груз из одного положения в другое по траектории, определяемой полярными координатами центра схвата к задаче ы.23 [c.95]

Движение точки задано в полярных координатах уравнениями г = ае и ц> kt, где а и k — заданные постоянные величины. Найти уравнение траектории, скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки как функции ее радиус-вектора г. [c.103]

Ограничим решение задачи Ньютона нахождением уравнения траектории движения точки в полярных координатах [c.547]

Формула (7) является уравнением конического сечения в полярных координатах с параметрами р и с. При различных значениях параметров получаются разные конические сечения, являющиеся траекториями движущейся точки под действием силы тяготения Земли. В зависимости от значения параметра е возможны следующие три типа траекторий [c.550]

Так как сила F — центральная (см. 86), то траектория точки будет плоской кривой. Поэтому для изучения движения можно воспользоваться полярными координатами г=ОМ и ф, поместив их начало (полюс) [c.251]

Уравнение траектории шарика в полярных координатах, полученное исключением t из его уравнений движения (54.6) и (54.7), имеет вид [c.150]

Чтобы получить дифференциальное уравнение траектории материальной точки, движущейся под действием центральной силы, воспользуемся полярными координатами в плоскости / (рис. 171). Проведем полярную ось х через центр силы О и начальное положение точки Mq. Тогда начальные значения координат будут 0/Ио = Го и фо = 0. Проекции скорости точки на оси полярных координат г и ср можно определить по формулам из кинематики [c.200]

Все четыре произвольные постоянные ), которые войдут в выражения для г (О и ф(0> можно выразить через начальные данные — координаты и скорость точки в момент t = Q. Найдя таким образом г и ср как функции времени, можно исключить время и определить г как функцию ф, т. е. определить траекторию в полярных координатах. [c.86]

Можно, однако, найти траекторию в полярных координатах проще, избегая предварительного определения г и ф как функций времени. С этой целью перепишем равенство (35) так [c.86]

Из уравнения траектории в полярных координатах [c.94]

И. Прежде чем обратиться к дальнейшим выводам общего характера, рассмотрим несколько примеров разыскания полярных траекторий заданных плоских движений. К этого рода задачам мы приходим всякий раз, когда хотим механическим приспособлением осуществить то или иное заданное плоское твердое движение. Как мы видели, это всегда возможно выполнить (помимо чисто практических трудностей, на которых мы ниже такл- е остановимся) качением одной из двух полярных траекторий по другой. В прикладной механике особый интерес имеют так называемые эпициклические движения, соответствующие тому случаю, когда обе траектории представляют собою окружность. Этими движениями мы займемся обстоятельно й 8. Здесь же рассмотрим несколько примеров, в которых будем предполагать известной только последовательность полоясений движущейся фигуры, а не закон, которому движение следует во времени. Таким образом, по существу, речь будет итти о вопросах геометрии движения если мы при этом будем иногда вводить [c.226]

Определение сопряженных профилей (рубр. 7) моягет быть непосредственно использовано для их действительного вычерчивания из него можно вывести практические правила нанесения точек одного из двух профилей, когда дан другой и известны полярные траектории I и X. Мы, однако, не будем здесь на этом останавливаться, но вместо этого укажем симметрический прием, который по данным траекториям I и X воспроизводит, так сказать, автоматически пары сопряженных нрофилей. [c.232]

Рассмотрение сопряженных профилей пмеет особенно важное. значение с точки зрения приложений. В самом деле, когда нужно осуществить данное плоское движение, то способ образования его, который теоретически представляется наиболее простым (при помощи полярных траекторий), далеко не всегда соответствует практическим требованиям. Часто существует специальный профиль с подвижной фигуры, который целесообразнее всего поддерживать в соприкосновении с неподвижным профилем 3. Мы имеем, таким образом, дело с двуми сопряженными профилями. Однако, чтобы вполне определить геометрический ход движения, в этом случае недостаточно, как при полярных траекториях, указать два профиля. Чтобы выяснить этот суще- [c.233]

Помимо большей теоретической простоты осуществление дви-ягсния при помощи полярных траекторий имеет еще то преимущество, что этим путем устраняется пассивное влияние, обусловливаемое трение.м скольжения, которое играет тем большую роль (т. е. требует тем большей работы для преодоления сопротивления), чем значительнее скольжение профилей. Меягду тем, когда эти кривые совпадают с полярными траекториями, то н теет место только трение качения, действие которого гораздо слабее (гл. XIII). О другой стороны, скольжение пропорционально расстоянию точки соприкосновения от полюса (рубр. 4) если поэтому те или иные практические соображения заставляют отказаться от того, чтобы кривые си-/ совпадали с полярными траекториями, то во всяком случае нужно стараться выбрать их в возможно меньшем удалении от последних. [c.234]

Рассматривая вновь некоторое плоское ДБИясение, обо-еначим, как обыкновенно, через Р—подвижную фигуру, через I и >. — полярные траектории и через Си-с — какие-либо два сопряженные профиля (фиг. 62). На нашем рисунке изображены кривые а и 7 и для некоторого определенного положения фигуры Р также кривые I и с, соприкасающиеся с /. и соответственно в мгновенном центре /ив точке Л/. [c.237]

Исли 7 U Г Gijynb центры кривизны произвольных двух сопюяжен-них профилей в соответственных точках а и —центры кривизны двух полярных траекторий, то прямые и ГГ пересекаются в точке J, принадлежащей прямой 1Т", которая проходит через мгновенный центр I параллельно общей касательной двух профтлей. [c.239]

Что касается центров кривизны и двух полярных траекторий, которые оба располоягены на прямой /JV, т. е. на оси у, то мы обозначим соответствующие ординаты через г, и р по существу, это радиусы кривизны двух кривых, взятые с надлежащими знаками относительно стороны обращения IJV, принятой на нормали за положительную. [c.239]

Ограничение sin а ф о выражает, что общая нормаль в сопряженных профилях не совпадает с общей касательной к полярным траекториям. Чтобы от него освободиться, достаточно в установленном только что выводе, справедливом при sin а ф О, перейти к пределу в предполоягении, что sin а стремится к нулю это соотношение при этом остается без изменения, так как угол а в нем вовсе не фигурирует. [c.241]

Что касается формы, которую следует дать профилям, то в этом отношении, прежде всего, нужно иметь в виду общее правило, что они должны возможно менее удаляться от полярных траекторий. По этой причине стараются дать колесам такую (Ьорму, чтобы нарулшая граница каждого колеса (как учке было указано выше, волнистая) частью была расположена вне основной окруясностп, частью же внутри ее. При этих условиях она удаляется от основной окружности меньше, чем это имело бы место, если бы она была целиком расположена вне этой окружности. [c.261]

Воспользуемся теперь тем, что ось 2 совпадает с общей касательной к кривым . и / в точке / в этих условиях при элементарном движении от этого момента I до бесконечно близкого момента t- dt полюс I смещается вдоль этой именно оси поэтому Б этот момент должно обращаться такл е в нуль элементарное наращение координаты гц. а вместе с тем в момент I должна обращаться в нуль и производная Если теперь иро-диференцнруем второе из уравнений (23) по времени и отнесем его к тому же моменту 1, то убедимся, что в этот момент также а = 0. Из всего этого следует, что во всякий момент, в который скорость врагорния отлична от нуля, ускорение полюса направлено по обшей нормали к полярным, траекториям. [c.269]

Как окружность перегибов, так и окружность стационарности проходят через мгновенный. центр Й [это вытекает непосредственно из уравнения (26)], а также через центр ускорений (поскольку в нем обращается в нуль ускорение, а следовательно, и обе его компоненты). Из уравнения (26) следует еще, что окруя ность перегибов в точке 9 касается оси т. е. касается в мгновенном полюсе двух полярных траекторий окруншость же стационарности в точке 9 касается осп Т), т. е, в полюсе пересекает ортогонально обе полярные траектории. [c.270]

Предполояшм, что расстояние между центрами О п О двух окружностей равняется движущемуся отрезку АВ. Если в начальный момент отрезок АВ параллелен 00, то движение сводится к параллельному перенесепню (поступательное движение). Если же этот частный случай исключим, то полярными траекториями служат две равные гиперболы, располоагенные во всякий момент симметрично относительно общей касательной в мгновенном центре вращения. [c.271]

Кривошип 0 С длиной а/2 вращается с постоянной угловой скоростью (0 вокруг оси О]. в точке с с кривошипом шарнирно связана линейка АВ, проходящая все время через качающуюся муфту О, находящуюся на расстоянии а/2 от оси вращения 0. Приняв точку О за полюс, найти в полярных координатах уравнения движения точки М линейки, отстоящей от шарнира С на расстоянии а, ее траекторию, скорость и ускорение (в начальный момент угол ср = = Z OOi=0). [c.104]

Кривощип 0 А длины а/2 вращается с постоянной угловой скоростью 0). С кровошипом в точке А щарнирно соединен стержень АВ, проходящий все время через качающуюся муфту О, причем 00 = а/2. Найти уравнения движения стержня АВ и траекторию (в полярных и декартовых координатах) точки М, на-ходяш.ейся на стержне на расстоянии а от шарнира А. За полюс принять точку А. [c.117]

Абсолютная траектория точки М — окружность, ее уравнение в полярных координатах г = 51Пф, в декартовых координатах -f . Абсолютное ускорение точки М [c.169]

При рассмотрении движения точки под действием центральной MjH,i доказано, что траектория точки является плоской кривой, г. е. в )гом случае у точки только две степени свободы. Сила гяготения однородного шара относится к числу цен1ральных сил. Задачу о движении точки под действием гаких сил удобно решать в полярных координатах. [c.547]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...