Множество плотное по упорядочени

Теорема 3.1. Если на бесконечном множестве X задано строгое предпочтение )>, то для существования функции полезности необходимо и достаточно, чтобы X содержало плотное по упорядочению счетное подмножество. (Такое множество X называется также сепарабельным.) [c.136]

Доказательство. Рассмотрим совокупность С всех замкнутых /-инвариантных подмножеств / частично упорядоченную по включению. Так как пересечение любого числа замкнутых инвариантных подмножеств замкнуто и инвариантно, любое вполне упорядоченное подмножество совокупности С имеет нижнюю грань. Тогда по лемме Цорна С имеет минимальный элемент, т. е. замкнутое /-инвариантное множество А, которое не имеет никаких замкнутых /-инвариантных подмножеств. Таким образом, орбита каждой точки хеА плотна в А, т. е. А минимально. [c.141]

Определение 13.2.4. Пусть / С С — закручивающее отображение. Замкнутое инвариантное множество Е сС называется упорядоченным множеством, если оно взаимно однозначно проектируется в подмножество окружности и / сохраняет циклический порядок на Е. Множество Обри —Мазера — это минимальное упорядоченное инвариантное множество, взаимно однозначно проектирующееся на нигде не плотное канторово подмножество окружности 5 . [c.428]

До настоящего времени для любого данного сохраняющего площадь закручивающего отображения мы предъявляли упорядоченные (биркгофовы) периодические орбиты, которые являлись орбитами типа 1 согласно терминологии таблицы из п. 11.2 в, непериодические орбиты типа или плотные орбиты на инвариантной окружности типа и орбиты в множествах Обри—Мазера, которые имеют тип П . Таким образом, мы показали, что для закручивающих отображений существуют все типы орбит, существующие для гомеоморфизмов окружности, за исключением орбит типа Ш , которые мы сможем построить только в 4 в результате более серьезного применения вариационного подхода. [c.433]

Наиболее общая теорема о существовании функции полезности принадлежит Кантору. Для ее формулировки нам лотребуется одно определение. Множество А называется плотным в X по упорядочению, если для любых X, у Х А, х у, существует такой г А, что дг-<г<( , т. е. для любых неэквивалентных альтернатив можно найти третью, более предпочитаемую, чем худшая, и менее предпочитаемую, чем лучшая. Дать хорошую интерпретацию этому определению не удается. Однако отметим, что плотность по упорядочению нарушается при сравнении неделимых продуктов два автомобиля лучше одного, но в конкретной ситуации может не оказаться никакой альтернативы между одним и двумя автомоби- [c.135]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...