Принцип виртуальных перемещени от связей

Принцип виртуальных перемещений допускает две различные формулировки в зависимости от природы связей, наложенных на систему, т. е. в зависимости от того, будут ли связи двусторонними или односторонними. [c.285]

Системы со связями без трения,—Рассмотрим материальную систему, на которую наложены связи без трения, не зависящие от времени. Эти связи могут входить в различные категории, изученные в статике при рассмотрении принципа виртуальных перемещений, например твердые тела, имеющие неподвижную ось или неподвижную точку, твердые тела, сочлененные между собою или скользящие одно по другому, и т. д. Связи могут также выражаться не зависящими от времени уравнениями между координатами различных точек системы или между этими координатами и их вариациями. Такие связи называются связями без трения или идеальными, если работа их реакций равна нулю для всякого перемещения, совместимого со связями. Работа реакций идеальных связей исчезает из уравнения живых сил, так как действительное перемещение совместимо со связями. Достаточно поэтому учитывать лишь работу других сил, представляющих собою силы прямо приложенные, или активные. Теорема живых сил принимает в этом случае следующую форму [c.17]

Принцип виртуальных перемещений. Под положением равновесия данной материальной системы мы разумеем такое её положение, в котором рассматриваемая система может неопределённое время оставаться в покое. Не при всяких активных силах и не при всяких связях система может иметь положения равновесия. Чаще всего приходится искать положения равновесия в случае, когда ни активные силы, ни связи не зависят явно от времени. [c.353]

Если среди связей встретятся неидеальные (например, связи с трением скольжения), то, привлекая закон трения, касательную составляющую реакции такой связи мы включим в числа активных сил. При этом, чтобы вычислить нормальную составляющую, мы должны будем искусственно увеличить число степеней свободы, допуская виртуальное перемещение, запрещенное связью. Виртуальная работа нормальной составляющей реакции связи на таком перемещении будет отлична от нуля. Мы как бы освобождаемся от связи, вводя силу —реакцию связи, т. е. применяя так называемый принцип освобождения от связи. Рассмотрим пример (рис. 4.5). [c.187]

Уравнение (4.40) носит название общего уравнения динамики и представляет собой запись одного из самых общих принципов динамического принципа виртуальных перемещений. Динамический принцип виртуальных перемещений, называемый еще принципом Даламбера — Лагранжа, может быть сформулирован так пусть система материальных точек и тел с идеаль-ными связями движется под действием активных сил. Тогда в каждый момент времени обращается в нуль сумма виртуальных работ активных сил и сил Даламбера. Этим истинное движение отличается от всех мыслимых, совместимых со связями и близких к истинному. [c.195]

Для применения принципа возможных перемещений при решении задач механики стержней необходимо обобщить этот принцип так, чтобы его можно было распространить на упругие системы. Для упругих систем (или в более общем случае для деформируемых систем, например стержней) необходимо принимать во внимание не только работу внешних сил, но и работу внутренних сил (результирующих напряжений), вызванных возможными отклонениями упругой системы от состояния равновесия. Остановимся более подробно на понятии возможного перемещения для стержней. Возможным (или виртуальным) перемещением называется всякое малое перемещение точек осевой линии стержня из исходного состояния без нарушения связей, наложенных на стержень. Например для стержня, показанного на рис. 2.16, любая функция Ьу (г), мало отличающаяся от функции у (г) и удовлетворяющая ее краевым условиям, может рассматриваться как возможные перемещения для точек осевой линии стержня. Любое возможное перемещение Ьу (г) стержня является непрерывной функцией. [c.55]

Приведенная выше формулировка может быть распространена на динамические задачи о системе точек, для которой действующие силы и геометрические связи явно зависят от времени. С использованием принципа Даламбера, который состоит в том, что система может считаться находящейся в равновесии, если принимаются во внимание силы инерции, принцип виртуальной работы может быть распространен на динамические задачи аналогично статическому случаю, за исключением того, что в этом случае учитываются и члены, представляющие виртуальную работу сил инерции. Результат, полученный таким образом, интегрируется по времени i т t = ti до t = Используя интегрирование по частям и соглашение о том, что виртуальные перемещения в начальный и конечный моменты времени равны нулю, [c.16]

Вне зависимости от реологических свойств сплошной среды кинематические параметры (скорости деформаций Уч или обобщенные скорости деформаций, их выражения через перемещения) должны быть энергетически согласованы с силовыми факторами (напряжениями т - или обобщенными напряжениями и формой их связи в уравнениях равновесия или движения). Это означает, что для любой приближенной модели, так же как и для общей, должны быть выполнены баланс механической мощности и вариационное равенство, соответствующее принципу виртуальных скоростей (массовые внешние силы опущены) [c.34]

Траектории действительного движения и варьированные траектории ( окольные пути ) сравниваются при одинаковых начальных и одинаковых конечных положениях (см. (26)) на фиксированном промежутке времени, что не позволяет считать обоснованным применение уравнений движения (27) (а также (29) и (31)), полученных с помощью интегрального принципа, для определения ускорений в моменты времени 0 и 1. В противном случае возникает вопрос являются ли условия фиксированности начального и конечного положений связями, из которых следуют уравнения (26) для виртуальных перемещений, и не требуется ли рассматривать их реализацию с помощью реакций Иначе говоря, является ли область интегрирования, в которой вычисляется действие, замкнутой или открытой При применении общего уравнения динамики (15) этот вопрос не возникает, так как виртуальные перемещения на концах временного промежутка могут быть любыми из множества, определяемого ограничениями, в том числе и не равными нулю. Однако в отличие от силовой механики , действие применяется и при рещении проблем квантования, связанных с проблемой краевых условий. Эти проблемы существуют в механике, математике и физике (вообще в естествознании). [c.32]

Мысленное освобождение системы от связей на основе принципа освобождаемости расширяет множество независимых виртуальных перемещений. Возможно также мысленное наложение новых связей для реализации окольных путей . [c.32]

Второй из упомянутых принципов, т. е. принцип возможных перемещений, гласит если система находится в состоянии равновесия, то сумма работ всех сил на возможных перемещениях равна нулю. Под возможным перемещением (виртуальным перемещением) понимается сколь угодно малое отклонение системы от заданного положения, допускаемое наложенными на систему связями. Для системы, изображенной на рис. 6.17, например, возможным перемещением будет сколь угодно малое увеличение б (/) прогиба (на рисунке показано штрихпунктирной линией). [c.253]

Сделаем еще несколько сопоставлений вариационного принципа Гамильтона (65я = 0) и принципа наименьшего действия (40). Хотя в нашем изложении оба принципа относятся к механическим системам, имеющим потенциал, но пучки траекторий сравнения, охватывающие истинную траекторию в пространстве конфигураций, выбираются различным образом. Синхронная или 6-вариация соответствует виртуальным (возможным) перемещениям системы, т е. таким перемещениям, которые система может иметь в данный момент 1 — фиксировано), не нарушая связей (дозволяемых связями). Если наложенные на систему связи явно зависят от времени, то действительное бесконечно малое перемещение не принадлежит к числу виртуальных и, следовательно, могут быть такие траектории сравнения в пространстве конфигураций, на которых (Г-Ь У) =полной энергии системы не будет постоянным. Соответственные точки действительной траектории системы и траекторий сравнения проходятся в одинаковые моменты времени, но полные энергии в этих точках в общем случае не равны между собой. [c.137]

Лагранж (1736—1813). Достижения Лагранжа, этого величайшего математика XVIII века, во многих отношениях параллельны работам Эйлера. Лагранж вполне независимо от Эйлера получил решение изопериметрических задач, сделав это совершенно новыми методами. Он разработал для этой цели новое, вариационное исчисление. Он также понял преимущество вариационных принципов в связи с той свободой, которую мы получаем, описывая положение механической системы при помощи выбираемой по нашему усмотре-ншо совокупности параметров ( обобщенные координаты ). Если принцип виртуальных перемещений и принцип Далам-бера позволили рассматривать механическую систему как нечто целое, не разбивая ее на изолированные частицы, то уравнения Лагранжа добавили еще одно, чрезвычайно важное свойство — инвариантность относительно произвольных преобразований координат Это позволило выбирать системы координат, удобные для данной конкретной задачи. В своей Аналитической механике (1788) Лагранж создал новое, необычайно мощное оружие для решения любых механических задач при помощи чистых вычислений, без каких бы то ни было физических или геометрических соображений, при условии, что кинетическая и потенциальная энергии заданы в абстрактной аналитической форме. Относясь к этому выдающемуся результату со своей обычной скромностью. Лагранж писал в предисловии к своей книге Читатель не найдет в этой книге рисунков. Развитые мною методы не требуют ни каких бы то ни было построений, ни геометрических или механических аргументов — одни только алгебраические операции в соответствии с последовательными едиными правилами . Лагранж таким образом создал программу и основания аналитической механики. [c.390]

Принцип Даламбера и уравнения Лагранжа. Виртуальным (бесконечно малым) перемещением системы называется произвольное бесконечно малое изменение ее конфигурации, согласующееся со связями, наложенными на нее в данный момент t. Виртуальным это перемещение называют для того, чтобы отличить его от действительного перемещения, происходящего за некоторый промежуток времени dt, в течение которого силы и связи могут измениться. Пусть система находится в равновесии, т. е. полная сила, действующая на каждую ее точку, равна нулю. Тогда будем иметь Г,- = О и, следовательно, произведение Fi-fifi, равное работе силы Fi на виртуальном перемещении 8ги также будет равно нулю. Сумма таких произведений, взятая по всем точкам системы, также должна быть равна нулю [c.26]

М. Равенства (30) дают усилия, относящиеся к любому стер д ню, путем полного определения всех реакций узлов Р -. Когда нас интересует усилие, испытываемое определенным, сдержнем, надо обратиться к способу, указанному в пп. 40 и 41, который в настоящем случае состоит а) в том, чтобы ввести вместо рассматриваемого стержня те два усилия, с которыми он действовал на соответствующие узлы -.в) в применении к системе, освобожденной таким образом от одной связи и тем самым превращенной из неизменяемой системы в систему с полными связями, принципа виртуальных работ на перемещении, liOTopoe стало для нее возмоя ным вследствие выбрасывания этого стер кня. [c.283]

СВЯЗЯМИ без трения, для kotqphx на основании принципа виртуальных работ в его наиболее общей принятой нами форме (т. гл. XV. п. 2) сумма элементарных работ реакций R , независимо от. того, имеется ли равновесие или нет, при всяком виртуальном перемещении положительна или равна нулю, т. е. [c.268]

Укажем условия, при которых выполняется принцип Гёльдера. В каждый момент времени выбирается виртуальное перемещение бд по отношению к действительному движению составляющие бд,. являются функциями от t класса С2, обращающимися в нуль в моменты и ti- Затем выбирается функция 8t от t, также принадлежащая к классу Сг- В варьированном движении точка g + бд проходится в момент t + 8t, причем вариация не обязательно равна нулю в моменты io и ii. В случае, когда система неголо-номна, варьированный путь, вообще говоря, не будет удовлетворять уравнениям связей. Если функция 8t тождественно равна пулю, то мы снова приходим к принципу Гамильтона. [c.535]

Отсюда получается сразу более узкая форма принципа наименьшего действия для того случая, когда существует не зависящая от времени силовая функция и время не входит в уравнение связей при этом вариации положений должны быть виртуальными перемещениями, а начальное и конечное положения должны оставаться неварьированными. [c.837]

Принцип виртуальной работы. Так как этот принцип не зависит от принципа наложения, его можно использовать как для больших, так и для малых перемещений. Принн сп только утверждает, что при бесконечно малом возможном изменении перемещений работа, которую совершают нагрузки, т. е. все действующие на тело внешние силы, равна изменению энергии упругой деформации. Возможное изменение перемещения есть перемещение, изменяющееся непрерывно в зависимости от координат и не нарушающее граничные условия, что, например, случается, если рассматриваются перемещения и повороты точек, в которых наложенные связи не допускают их. Следует отметить, что действительные перемещения могут быть большими, а малыми должны быть только их изменения. Такие малые возможные пер емещения называются виртуальными перемещениями, отсюда — и наименование принципа слово виртуальное является традиционным, и в дальнейшем в этой книге ему не будет придаваться иной смысл. [c.24]

Виртуальное варьирование предполагает использование виртуальных перемещений, определяющих свойства реакций связей. Таким путём применение операций вариационного исчисления при варьировании функционала действие увязывается с физическим смыслом учитываемых ограничений. Вспомогательный характер имеет заметка 7 о дифференцировании функции при неявной зависимости от переменных и о вариационной производной. Способы синхронного, асинхронного варьирования и способ, применённый Гельмгольцем (и его расширение), а также варьирование в скользящих режимах реализации связей рассматриваются в заметке 8. В заметке 9 обсуждается составление уравнений для виртуальных вариаций неголономной связи связи, представляющей огибающую связи, зависящей от двух независимых параметров неравенства для виртуальных перемещений при неудерживающих связях. В одном из пунктов заметки 10 полностью содержится (с нашим примечанием) двухстраничная работа М. В. Остроградского Заметка о равновесии упругой нити , написанная им по поводу одной известной классической ошибки Лагранжа в других пунктах рассматривается использование неопределённых множителей при представлении реакций связей. Некоторое ограничение множества виртуальных перемещений позволило сформулировать обобщение принципа наименьшей кривизны Герца для систем с нестационарными связями (заметка 11). Несвободное движение систем с параметрическими связями (заметка 12) изучается на основе принципа освобождаемости по Четаеву, сформулированному им в задаче о вынужденных движениях составлено общее уравнение несвободных динамических систем, основные уравнения немеханической части которых имеют первый порядок (в отличие от механической части, основные уравнения которой второго порядка), предложено общее уравнение динамики систем со случайными параметрами. Центральное вириальное равенство (заметка 13) выводится с помощью центрального уравнения Лагранжа. [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...