Дирихле обобщенная

Рассмотрим доказательство теоремы Лагранжа- Дирихле для системы с п степенями свободы и, следовательно, с [c.424]

Потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной (см. 49) и этим обстоятельством следует воспользоваться так, чтобы в. положении равновесия, при котором все обобщенные координаты равны нулю, потенциальная энергия также равнялась нулю. По теореме Дирихле, равновесие устойчиво, если около этого положения имеется область, н которой потеициаль-ная энергия является определенно-положительной функцией обобщенных координат. Это имеет место в нашем случае [c.438]

Напомним, что в выражение потенциальной энергии входит произвольная постоянная С, несущественная для расчетов, так как в расчетах мы всегда встречаем не саму потенциальную энергию, а ее изменение. Но все же будем так определять эту постоянную, чтобы потенциальная энергия системы при равновесном устойчивом положении, при равенстве нулю обобщенных координат, тоже равнялась нулю. Тогда при отклонении системы от равновесного положения потенциальная энергия получается положительной, потому что равновесие является устойчивым, а потенциальная энергия в этом положении (Я = 0) согласно теореме Лежен Дирихле (см. 38) должна иметь минимум. [c.265]

Потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной (см. 38) и этим обстоятельством следует воспользоваться так,, чтобы в положении равновесия, при котором все обобщенные координаты равны нулю, потенциальная энергия также рав]1ялась нулю. По теореме Дирихле равновесие [c.283]

Итак, существуют такие положительные числа и ti , определяющие область начальных значений ql и q для которых все обобщенные координаты удовлетворяют условию (gd < в, т. е. положение равновесия устойчиво. Теорема Лагранжа—Дирихле полностью доказана. [c.412]

Глубокие обобщения теоремы Лагранжа — Дирихле содержатся в работах А. М. Ляпунова. Некоторые результаты А. М. Ляпунова рассмотрены ниже. [c.217]

Второй метод является обобщением известного способа доказательства теоремы Лагранжа — Дирихле об устойчивости равновесия при условии существования минимума потенциальной энергии в положении равновесия. [c.332]

Эта теорема является непосредственным обобщением теоремы Лагранжа — Дирихле об устойчивости равновесия. [c.341]

Прежде всего отметим, что сформулированные ранее вариационные принципы в данном случае не работают, так как рассматриваемые здесь поля перемещений не являются кинематически допустимыми, поля напряжений— статически допустимыми. Поэтому первая проблема здесь — построить надлежащие обобщения классических вариационных принципов. Идею таких обобщений поясним сначала на примере классической задачи Дирихле для [c.208]

Как известно, задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа решаются с помощью потенциалов простого и двойного слоев, а при решении краевых задач для других дифференциальных уравнений применяются различного рода обобщенные потенциалы. Краевые задачи теории аналитических функций комплексного переменного, к которым приводятся задачи плоской теории упругости, [c.135]

Опишем теперь энергетическое пространство в задачах Дирихле и Неймана. Для этого потребуется использовать понятие обобщенных производных. Пусть и р) и щ(р) —две функции, суммируемые в П, и пусть функция ф(р)—бесконечно дифференцируемая в области О, равная нулю в окрестности границы. Допустим, что для любой функции ф (при введенных ограничениях) имеет место равенство [c.139]

Следовательно, минимум функционала существует и достигается на элементе vo Можно доказать, что обобщенное решение задачи Дирихле является функцией, гармонической в области П. [c.144]

Можно показать, что положения системы, для которых силовая функция принимает наибольшее значение, пред-ставлиют собой положения устойчивого равновесия. Но вопрос об устойчивости равновесия консервативной системы относится скорее к динамике, чем к статике. Мы встретимся с ним в динамике системы при обобщении теоремы Лежен-Дирихле, уже доказанной для точки (п° 147), [c.311]

Обобщенная теорема Дирихле. В связи с содержанием предыдущего пункта мы обратим здесь внимание на одно замечание, которое само по себе не имеет большого значения, однако ценно в том отношении, что лучше выясняет, при сопоставлении, сущность теоремы Дирихле для динамических задач. [c.379]

Остановимся немного на сопоставлении теоремы Дирихле с этим ее обобщением. Мы должны допустить здесь, что I) х = хн (А = = 1, 2,..., л) является решением (статическим) уравнений (16) и 2) H(x 4t) для H x t) есть действительный максимум или минимум, каково бы ни было t. Оба эти предположения не зависят друг от друга и в общей их сложности являются весьма ограничительными. [c.380]

Наоборот, в динамическом случае (теорема Дирихле в собственном смысле) предположение о том, что уравнения движения допускают статическое решение, т. е. что для системы существует конфигурация равновесия С , влечет за собой количественные словия (обращение в нуль первых производных от потенциала), необходимые для существования минимума полной энергии, так что для обеспечения действительного минимума не нужны сверх только что указанных количественных условий какие-либо другие, кроме чисто качественных. Можно сказать, что, в конце концов, большая важность теоремы Дирихле зависит от этого обстоятельства, которое вообще не встречается в случае какой угодно обобщенной лагран-жевой системы. [c.380]

Обобщенный импульс 298 Обращение теоремы Дирихле 389 Общее уравнение динамики 268, 269, 289 [c.429]

По формам свободных колебаний балки можно разлагать в обобщенный ряд Фурье любую функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле. [c.178]

Чтобы выяснить устойчивость механизма в верхнем положении, мы должны исследовать вторую производную от потенциальной энергии по обобщенной координате. Механизм в верхнем положении будет устойчивым, если выполняется условие Лагранжа — Дирихле, т. е. [c.34]

Рассмотрим вначале ретроспективу задач плоской теории упругости. В 1899 г. А. Н. Крылов в обществе корабельных инженеров в Лондоне обобщил экспериментальные результаты Хел-Шоу (плоское обтекание цилиндров) и Бруна (вырезы в плоской задаче теории упругости), охарактеризовав их как гидродинамическое и механическое решение той же самой обобщенной задачи Дирихле [27]. Этот вывод, однако, не нашел в последующем своего теоретического обоснования и развития. Совершенствование методов решения задач плоской гидромеханики и теории упругости пошло по совершенно различным путям. Задачи обтекания, действительно, решались как задачи Дирихле (разрешающее уравнение Лапласа), а задачи плоской теории упругости — как бигармонические. [c.10]

Создание теории позволило свести расчет эластомерного слоя к интегрированию обобщенного уравнения Гельмгольца для функции относительного приращения объема, причем при статических граничных условиях на боковой поверхности имеем Задачу Дирихле, при кинематических — задачу Неймана. [c.26]

Последующими преобразованиями добиваются разделения решения по каждой из взаимно независящих ве- [ичин X и 0 с тем, чтобы получить обобщенное решение. Рассмотрим следующий пример. Требуется рассчи-ать тепловой режим бесконечной пластины толщиной 6 заданным исходным распределением температуры по элщине <р(лс). На внешней и внутренней сторонах платы поддерживают постоянную температуру, равную, ример, нулю (задача Дирихле). [c.27]

Решение задачи типа Дирихле ищется в виде обобщенного потенциала двойного слоя, а задачи типа Неймана — в виде потенциала простого слоя. Из граничных условий получаются ИУ второго рода по границе области относительно неизвестных плотностей потенциалов. [c.186]

В заключение заметим, что задача конформного отображения криволинейной полосы П — уо х) <. у <. < у (х) на прямолинейную полосу Д = О < и < М с нормировкой /( оо) = оо сводится к задаче Дирихле еще проще. Из геометрических соображений (рис. 20) ясно, что гармоническая функция о = 1т / на нижней границе Го полосы О должна принимать значение у = О, а на верхней границе Г — значение а =/г, кроме того, функция и должна быть ограниченной (О у /1). Таким образом, искомую гармоническую функцию V мы знаем на всей границе области О, исключая бесконечные точки х — о°. Можно доказать, что эта обобщенная задача Дирихле имеет и притом единственное решение у в классе ограниченных гармонических функций. Интегрированием мы найдем сопряженную гармоническую к V функцию и (с точностью до постоянного слагаемого) и тогда = и- -11) будет искомым конформным отображением. [c.87]

Устойчивость положения равновесия определяется условием минимума потенциальной энергии П [или максимумом силовой функции и——П (теорема Лежен —Дирихле)] положение равновесия устойчиво при значениях обобщенных координат q , если [c.86]

Теперь виден порядок применения теоремы Лагранжа —Дирихле- нужно разложить потенциальную энергию в ряд по степеням Яъ . Яз, ограничиваясь членами второго порядка малости, определить обобщенные коэффициенты жесткости с,, и составить определители (20.15). Если все А > О, то положение равновесия устойчиво. [c.459]

Обобщения и варианты. 1. Выше мы предполагали функцию а х) положительной. Откажемся теперь от этого предположения и будем считать, что с (х) — всюду отличная от О функция из °°(S) с комплексными значениями, принадлежащими углу %= ц i < arg ц < рг . Нам не удастся в этом случае рассматривать А как оператор, близкий к самосопряженному, так что теорема 3 теряет силу. Примем для простоты, что задача Дирихле (36.11) при данном k не имеет нетривиальных решений, и преобразуем уравнение (36.7) к виду [c.359]

Обобщение теоремы Лагранжа-Дирихле. В контексте ЧУ-теории теорема Лагранжа-Дирихле получила дальнейшее развитие. [c.168]

При доказательстве теоремы Лагранжа — Дирихле будем считать для упрощения, что в положении 5 все обобщенные координаты равны нулю = 0 (/=1, к) если бы это [c.429]

Доказав теорему Лагранжа—Дирихле, мы можем утверждать, что во все время дальнейшего движения системы, выведенной нами из равновесного состояния, будут выполняться неравенства (15.15) для обоби енных координат но обобщенные координаты — это только некоторые математические величины, введенные нами для удобства исследований физическую реальность представляют точки материальной системы и величины отклонений этих точек от их равновесных положений естественно возникает вопрос можно ли утверждать, что отклонение любой точки М материальной системы от ее равновесного положения М останется малым во все время движения системы При-наших оговорках относительно связей радиус-вектор г каждой точки М является функцией только обобщенных координат, но не зависит явно от времени, т. е. г = г ди. .., Як) векторное смещение точки М из ее равновесного положения Л1 характеризуется вектором [c.431]

Этот простой пример очень поучителен он показывает, что достаточно пропустить одно слово в условии теоремы, — и она может стать неверной. В данном случае потенциальная энергия имеет минимум во всех точках наинизилей образующей, т. е. минимум в этом случае нестрогий" ), поэтому из условия малости значений потенциальной энергии не вытекает малость значений всех обобщенных координат, т. е. неверен вывод (15.17), играющий основную роль в доказательстве теоремы Лагранжа — Дирихле. [c.434]

Г. В том частном случае, когда все заданные силы являются силами тяжести, мы имеем V = MgZ . В частности, если система имеет одну степень свободы и является плоской фигурой, движущейся в своей плоскости Оху, то надо исследовать траекторию Г ее центра тяжести 1) найти прежде всего те ее точки, в которых касательная к Г горизонтальна 2) если в такой точке кривая Г направлена вогнутостью вверх, то имеем минимум ординаты центра тяжести, т. е. минимум потенциальной энергии, и по теореме Лагранжа —Дирихле равновесие устойчиво 3) если в точке М вогнутость направлена вниз (случай максимума), или если имеем точку перегиба, то по теоремам Ляпунова можно утверждать, что равновесие неустойчиво, если разложение ординаты у точки С в окрестности точки М в ряд Маклорена по степеням обобщенной координаты qi начинается с члена, содержащего q, — в противном случае необходимо рассмотрение [c.499]

Если положение равновесия системы является устойчивым, то на основании теоремы Лежен — Дирихле потенциальная энергия V принимает в положении равновесия минимальное значение. В этом случае при малых Яг, Яв функция V будет однородной положительной квадратичной формой обобщенных координат. Как уже было указано, кинетическая энергия по физическому смыслу есть величина положительная. Таким образом, V и Г —однородные положительные квадратичные [c.507]

Рассмотрим подробно задачу о течении в бесконечном сопле с параллельными стенками на входе. В силу вышесказанного, в области С получаем обобщенную задачу Дирихле для функции тока с разрывным (кусочно постоянным) граничным условием. В плоскости годографа ф удовлетворяет в точной постановке уравнению Чаплыгина, а в приближенной постановке, часто применяемой для выявления главных качественных особенностей трансзвукового характера — уравнению Трикоми. [c.91]

Обобщенность сформулированной задачи связана с наличием разрыва граничной функции в двух точках, одна из которых находится в области равномерной эллиптичности, а другая — на линии вырождения (на звуковой линии). Под решением обобщенной задачи Дирихле будем понимать, следуя [56,96], регулярное внутри области определения решение дифференциального уравнения, ограниченное в замкнутой области и принимающее заданные граничные значения во всех точках непрерывности граничной функции (с конечным числом точек разрыва). [c.91]

Существование решения сформулированной обобщенной задачи Дирихле доказывается тем же способом, которым доказывается существование [c.91]

Дадим доказательство единственности решения обобщенной задачи Дирихле для случая уравнения Трикоми. [c.92]

Рассуждение повторяет аналогичное доказательство [56, 96] для решения обобщенной задачи Дирихле в ограниченной области для уравнения Лапласа. Последнее основано на применении принципа максимума с использованием в качестве мажоранты функции [c.92]

Таким образом, если принять, что обобщенная задача Дирихле имеет единственное решение не только для уравнения Трикоми, но и для уравнения Чаплыгина, то решение этой задачи можно рассматривать как корректную процедуру профилирования дозвуковой части сопла методом годографа после построения ф в С может быть найдена нормальная производная д ф1дп дс (если дС — достаточно гладкая кривая), что позволяет далее вычислить декартовы координаты контура сопла (более подробно см. гл. 4, 2). [c.93]

Доказательство существования основано на той же идее, что и доказательство существования обобщенной задачи Дирихле (см. 7). Точнее, оно полностью идентично, если проверить выполнение следующих условий. [c.95]

Будем называть асимптотикой дозвукового течения в сопле Лаваля с прямой звуковой линией точное решение уравнения Чаплыгина (или Трикоми), определенное и ограниченное в полуплоскости эллиптичности и обладающее свойством, что линии уровня ф образуют узел в точке звуковой линии, в которой задан разрыв первого рода граничного условия обобщенной задачи Дирихле, и что значения решения на границе области определения этой задачи отличаются от граничного условия последней на непрерывную функцию (в достаточно малой окрестности точки разрыва). В силу единственности решения обобщенной задачи Дирихле в каждой фиксированной области определения асимптотика единственна. [c.95]

Положительный ответ на второй вопрос может оказаться полезным при решении задачи профилирования сопла численным методом с выделением главной части разрывного решения в окрестности точки разрыва граничного условия. Так, в теории уравнения Лапласа производится редукция обобщенной задачи Дирихле к классической путем выделения асимптотики — гармонической функции (/г/а) arg(z — го), где /г — скачок граничного условия, а — внутренний угол по области между касательными к границе в точке разрыва [56]. Однако этот прием можно применять только при а > О (если контур гладкий, то а = тг). Но так как обобщенная задача Дирихле однозначно разрешима и в случае, когда точка разрыва является точкой заострения границы [55], то это означает, что в последнем случае существует другая асимптотика (построить ее можно с помощью конформного отображения). [c.96]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...