Данжуа

Жужома Е. В.. Малкин М. И., О взаимосвязи между гладкими и топологическими свойствами преобразований окружности (теоремы типа Данжуа). Горьк. ун-т. Горький, 1984. 152 с., Библиогр. 44 назв. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 1984, № 3052—84 Деп.) [c.210]

Теорема 12.1.1 (теорема Данжуа) [ ]. Всякий С" -диффеоморфизм / 5 — 5 с иррациональным числом вращения т(/) eK Q, производная которого имеет ограниченную вариацию, транзитивен и, следовательно, топологически сопряжен с Rruy [c.405]

Теорема Данжуа почти оптимальна. Пример, который строится в данном параграфе, показывает, что ограничение на регулярность отображения, являющееся посылкой этой теоремы, не может быть существенно ослаблено. Мы построим нетранзитивный диффеоморфизм окружности, первые производные которого гёльдеровы с показателем Гёльдера, сколь угодно близким к единице. Идея этого построения состоит в том, чтобы начать с поворота на иррациональный угол и заменять точки одной из орбит подходящим образом подобранными отрезками. Возникающее в результате отображение не транзитивно. Пример Данжуа доказывает следующий факт. [c.407]

Докажите, что единственная мера, инвариантная относительно диффеоморфизма, построенного в этом параграфе, является абсолютно непрерывной, если мера Лебега множества Данжуа S U / положительна, и сингулярной в противном случае. [c.409]

Замечание. По теореме Данжуа диффеоморфизм / топологически сопряжен с преобразованием поворота и, следовательно, как показано выше, строго эргодичен. Как мы видели в двух предыдущих параграфах, /-инвариантная мера может быть сингулярной, так что мера Лебега может не быть эквивалентна никакой инвариантной мере (см. предложение 5.1.2). [c.424]

Доказательство. По теореме Данжуа 12.1.1 мы можем считать, что / — иррациональный поворот и х = 0. Выберем к еМ так, что щ = / (0) < < / (0) для 0< <кищ< . Тогда легко видеть, что Д(0, е) = (- , , щ) [c.425]

В настоящей главе мы расширим оба аспекта этого анализа таким образом, чтобы включить в него орбиты с иррациональными числами вращения. При этом будет интенсивно использоваться структурная теория гомеоморфизмов окружности, разработанная в гл. 11. В 13.2 мы сконцентрируем внимание на изучении свойства сохранения порядка, а в 13.3-13.4 — на вариационном описании. Наиболее впечатляющий результат, который мы получим, состоит в том, что в то время как для гомеоморфизмов окружности орбиты типа Данжуа, замыкания которых — минимальные нигде ни плотные множества, появляются только для отображений низкой регулярности (теорема 12.1.1), для закручивающих отображений подобные орбиты, замыкания которых (множества Обри — Мазера) проектируются в нигде не плотные канторовы множества на окружности, для произвольно гладких систем являются скорее правилом, чем исключением. Обоснованием этого замечания служат, в частности, результаты 13.5. [c.426]

Осложнения, которые мы встречаем в теории отображений окружности низкой (ниже С ) регулярности, а именно пример Данжуа (см. предложение 12.2.1), возникают и для торов. Так, специальный поток над отображением Данжуа, построенный в 12.2, является потоком на торе, который демонстрирует поведение в духе примера Данжуа и, в частности, не сопряжен топологически со специальным потоком над вращением. [c.461]

Пока наш список примеров минимальных множеств для потоков на поверхностях весьма ограничен. Конечно, неподвижные точки и периодические орбиты появляются у потоков на любой компактной поверхности. Кроме того, иррациональный линейный поток на торе минимален. Наконец, мы упоминали о том, что минимальные канторовы множества возникают у специального потока над примером Данжуа. Последнее возможно для гладкости С , но невозможно для потоков без неподвижных точек гладкости на торе. Оказывается, что, как мы сейчас покажем, для -потоков на любой поверхности множество всех возможных видов компактных минимальных множеств исчерпывается первыми тремя примерами. Это обобщение теоремы Данжуа, и доказательство вновь использует оценку ограниченности искажения. [c.463]

Как видно из факта существования потоков типа Данжуа на Т , предположение о принадлежности классу существенно. Мы используем его следующим образом. Минимальное множество А не содержит никаких собственных замкнутых инвариантных подмножеств, так что дА=А или дА = 0. Таким образом, если АфМ, то множество А нигде не плотно. Итак, мы должны только исключить возможность появления канторовых множеств, что будет сделано с помощью рассуждений, аналогичных применяемым в доказательстве теоремы Данжуа 12.1.1, которые используют предположение о принадлежности классу С . [c.463]

Эти интервалы попарно не пересекаются, так как множество С не содержит периодических точек, и, таким образом, их длины суммируемы. Последнее обстоятельство будет использоваться ниже в рассуждениях, сходных с доказательством теоремы Данжуа, которые в конечном счете покажут, что в множестве С должна существовать периодическая точка. [c.464]

Мы, таким образом, построили гиперболический аттрактор на Т . В определенной степени соотношение между этим аттрактором и гиперболическим автоморфизмом F подобно соотношению между минимальным множеством Данжуа для нетранзитивного гомеоморфизма окружности (см. 11.2) и со-ответствуюпшм иррациональным поворотом. [c.541]

Эта теория принадлежит Пуанкаре (второй мемуар [257]) и Бенедиксону [39]. В первой половине нашего столетня дифференциальная динамика обычно называлась качественной теорией обыкновенных дифференциальных уравнений и анализ векторных полей в случае размерности два (в частности, на плоскости и на торе) рассматривался как одно нз центральных наггоавлений в теории, как, например, это представлено в таких классических трудах, как [66] н [223]. К числу главных достижений этого периода относятся теория Данжуа для потоков (см. предложение 14.2.4), анализ структурной устойчивости двумерных потоков, данный Андроновым и Понтрягиным [13], конструкция потока Черри (п. 14.4 а) и классификация Майера орбит потоков на поверхностях высшего рода [186]. Позже, в связи с лучшим пониманием гиперболической теории, теория потоков на поверхностях отошла на второй план. [c.732]

Если мера множества Данжуа равна нулю, инвариантная мера, очевцдно, единственна. В противном случае заметьте, что на множестве Данжуа / = 1. так что ограничение меры Лебега на множество Данжуа инвариантно. [c.748]

Теорема Данжуа ((А. Оеп]оу), [8], [62])- Дважды гладкий сохраняющий ориентацию диффеоморфизм окружности с иррациональным числом вращения топологически эквивалентен пoвopoтy >. [c.48]

Для почти всех (по мере Лебега) чисел вращения сопрягающий гомеоморфизм в теореме Данжуа имеет лишь немного меньшую гладкость, чем исходный, как показывает [c.48]

В исключительных случаях сопрягающий гомеоморфизм в теореме Данжуа может быть не гладким, если даже исходный диффеоморфизм аналитичен. Это бывает, когда число вращения ненормально близко аппроксимируется рациональными числами [9 2]. [c.49]

Диффеоморфизмы окружности и векторные поля иа 5 . Данжуа построил пример диффеоморфизма окружности класса , не эквивалентного повороту окружности и имеющего иррациональное число вращения (см. [62]). Используя этот пример, Швейцер (Р. S hweitzer) дал отрицательное решение следующей проблемы Зейферта (Н. Seifert). [c.50]

Поток на торе называется сингулярным, если у него нет ни положений равновесия, ни замкнутых траекторий и его минимальное множество (гл. 3, п. 4.1) нигде не плотно на торе. Полным топологическим инвариантом сингулярных потоков на торе является число вращения (с точностью до соизмеримости), число компонент и их месторасположение [10]. Сингулярные яотоки на торе имеют гладкость не выше С (следствие теоремы Данжуа, см, статью I, гл. 2). [c.232]

Идеи, использованные для доказательства теоремы о возвращении, были усовершенствованы Биркгофом [3] и другими авторами для эргодической теории. Но возможность применения этой теории к заданной системе дифференциальных уравнений ограничена трудностями, которые еще более значительны, чем в проблеме устойчивости. В этой связи замечательны результаты, полученные Данжуа [4-6]. [c.362]

В специальном случае, когда 8 является открытым единичным диском В, имеет место следующее более точное утверждение, доказанное Данжуа в 1926 году и улучшающее более ранний результат Вольфа. [c.76]

Теорема Данжуа-Вольфа. Пусть / В Ш) — произвольное голоморфное отображение. Тогда либо [c.76]

Доказательство теоремы 5.4 Данжуа-Вольфа. [c.81]

Теорема Данжуа. Если / — диффеоморфизм класса С" , и его число вращения р = rot(/) иррационально, то / топологически сопряжен вращению i i + p(modZ). [c.190]

В вещественном аналитическом случае теорема Данжуа имеет аналог, формулируемый следующим образом Напомним, что в 11 вещественное число называлось диофантовым, если существует такое большое п и такое маленькое е, что модуль разности между и любым рациональным числом вида p/q удовлетворяет неравенству — pIq > / Следующее утверждение было доказано в локальном варианте (то есть для отображений, близких к тождественному) Арнольдом, и затем усилено Эрманом, а позднее — Иоккозом. [c.190]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...