Задача Дирихле однородная

Мы получили интегральное уравнение внешней задачи Дирихле однородное уравнение, как известно, имеет единственное нетривиальное решение и потенциал простого слоя с плотностью ф(у), равной решению союзного однородного уравнения, есть постоянная в Поэтому условие разрешимости неоднородного уравнения [c.408]

Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле при однородных краевых условиях. Представим само уравнение (6.37) в форме [c.111]

Рассмотрим теперь в изложенной постановке задачу Дирихле для неоднрродного уравнения Лапласа при однородном краевом условии. Пусть 5 — граница области (2 (размерность которой т), в которой ищется решение. [c.130]

При рассмотрении задачи Дирихле следует положить равными нулю значения функции на гранях 0 = а, после чего приходим к однородной системе [c.309]

Таким образом, решение однородной задачи Дирихле для. клина представляется в виде ряда [c.309]

Решение указанных задач сводится в простейших случаях к совокупности задач Дирихле или смешанных задач Келдыша — Седова теории аналитических функций комплексного переменного. Процедура нахождения решения оказывается принципиально не более сложной, чем для аналогичных задач статики и стационарной динамики. Вначале выводятся общие представления решения через аналитические функции комплексного переменного для произвольного индекса автомодельности и дано описание общего метода решения. Затем метод демонстрируется на некоторых конкретных задачах из указанного класса. Рассмотрение ограничено плоскими задачами для однородного и изотропного тел, однако метод нетрудно обобщить на случай анизотропного кусочно-однородного тела, когда верхняя и нижняя полуплоскости имеют различные упругие постоянные. [c.113]

В описанном решении использованы только экспоненциально затухающие интегралы. Поэтому можно считать, что все члены суммы (П.13.1) у края Pi = Рц по модулю мало отличаются от нуля, и значит при Pi = Рц приближенно выполняются однородные условия вида (П. 12.3) или условия непрерывности (если Pi = Рц стягивается в точку). Таким образом, предлагаемый подход является приближенным методом решения задачи Дирихле для случая, когда неоднородность содержится только в граничных условиях на краю Pi = Р] . [c.495]

П.9, где было показано, что по своим свойствам оин впачне аналогичны интегралам, соответствующим характеристикам оператора L, поэтому, повторив приведенные здесь рассуждения, легко убедиться, что есть ровно /2 существенно различных интегралов, соответствующих характеристикам N и таких, что они удовлетворяют граничным равенствам вида (П. 12.12), а также условию чкспоненцнального затухания вблизи Pj = Pj вида (П. 12.14). Учитывая все это, можно утверждать, что решение задачи Дирихле с граничными условиями вида (П. 12.3) при Pi = PiQ и с однородными граничными условиями при Pi = Pij будет иметь вид [c.496]

Задача Дирихле. Если вдоль конечной регулярной границы Г однородной теплопроводящей среды, заполняющей область Q iR , задано распределение температуры, то, совершая предельный переход на Г в формуле представления температуры (6.2.17), получим для случая изотропной среды следующее ГЙУ с симметричным ядром [c.232]

Граничные условия (17), (18), (21) показывают, что в случае идеально гладких границ инструмента (o=0 (на всех границах расчетной области), а ifi — заданная функция координат на этих границах. Следовательно, в этом случае ставится задача Дирихле для системы дифференциальных уравнений (12), (15) с фиксированными граничными условиями для и и. Зависимость коэффициентов уравнения (12) и его источникового члена от скоростей деформации показывает, что при граничных условиях о) = 0 течение в пластической области может быть безвихревым ( =0) только в отдельных частных случаях. Например, при осадке полосы между идеально гладкими плитами возникает однородное напряженное состояние и скорости являются линейными функциями координат [c.59]

Следовательно, в рассматриваемом случае имеем на замкнутой границе области расчета ш=0 и фиксированные значения функции тока (29) — (33), т. е. задачу Дирихле для дифференциальных уравнений (12), (15). При решении задачи методом конечных разностей область интегрирования (см. рис. 2) покрывается прямоугольной сеткой с конечными размерами по оси х. Поэтому граничные условия в жестких областях прих->—ооих- 4"°° выполняются приближенно. В результате этого численные расчеты показывают, что во всех узлах сетки имеется неоднородная пластическая деформация. Но малые значения скоростей деформаций, соизмеримые с погрешностями вычислений, приводят к неустойчивости итерационного процесса, так как коэффициенты и источниковый член в уравнении для вихря (12) вычисляются с большой погрешностью. Такие малые значения скоростей деформаций возникают вблизи левой и правой границ сетки, где неоднородное поле скоростей пластического течения не-црерывно переходит в однородные распределения скоростей жестких зон. Пусть функция гр вычислена с некоторой ошибкой е. Тогда, обозначая через к среднее значение шага сетки вблизи ее левой или правой границы, определим возможную среднюю ошибку б эффективной скорости деформации Ве по формулам (7), (16), (23) При введении условия [c.64]

Предыдущий результат может быть применен к решению задач Дирихле и Неймана для круга. Первая функция f (0) берется как заданные значения потенциала на единичной окружности с центром в начале координат это кусочно-непрерывная однородная функция, т. е. кусочно-непрерывная неразрывная функция с кусочно-непрерывными неразрывными производными. Если необходимо найти потенциал, который удовлетворяет данному граничному условию, является однозначным и не имеет особенностей внутри круга (внутренняя задача), в уравнении (70) можно принять величины Л =1, В = а = с = 0] если необходимо решить наружную задачу, можно принять величины Л = 0 и В=1. В любом случае, когда г=, граничное условие дает [c.102]

Предлолсение 1. Число A = О является собственным значением оператора А при тех и только тех (вещественных) k, при которых внутренняя однородная задача Дирихле [c.350]

Внутренняя однородная задача Дирихле (36.11) не имеет нетривиальных решений. [c.362]

Все рассмотренные выше методы решения задач теории решеток в той или иной форме содержали решения линейных краевых задач (Дирихле, Неймана или смешанных) для гармонических функций, в большинстве случаев однородных или кусочно-однородных задач, причем, как правило, выбор искомой функции, вид канонической области и способы вычислений специально не обосновывались. Между тем именно от этой стороны вопроса зависят успех решения задач и эффективность результатов, что, в частности, наиболее ясно показали работы московской школы в задачах теории решеток из тонких профилей и струйных течений. [c.122]

Задача Дирихле, Метод Грина. Требуется пайти в некоторой области функцию, удовлетворяющую однородному уравнению эллиптического тина д-г д-2 дх ду [c.176]

Нетрудно также показать, что [c.365]

Проиллюстрируем конструкцию двойственной задачи на примере уравнения теплопроводности. Даже в этом простом случае она может оказаться полезной. Разумеется, эта же конструкция реализуется для весьма общих нелинейных задач. Рассмотрим однородную задачу Дирихле для однородного уравнения теплопроводности в односвязной области D, D Z R - В этом случае в соответствии с общей схемой 13 возникает система однотипных функционалов [c.179]

В силу теоремы 6. IV, если для решения задачи Дирихле справедлива теорема единственности, то справедлива и теорема существования. Единственность имеет место не только тогда, когда выполняется (10.2), но также и тогда, когда с(л ХО в Л. Действительно, в этом случае для любого решения однородного уравнения Lu = 0 имеем ы (дс) К [c.63]

Чтобы применить теорию интегральных уравненнй к первой краевой задаче (задаче Дирихле), нужно рассмотреть классическую систему дифференциальных уравнений теории упругости как однородную систему с неоднородными граничными условиями и представить решение в виде потенциала двойного слоя, соответствующего фундаментальной матрице решений, которую для этой системы дифференциальвых уравнений построили лорд Кельвин [14] и Сомильяна [40]. [c.143]

В этом параграфе рассмотрим асимптотические разложения по е решений задачи Дирихле для системы теории упругости в перфорированной области с периодической структурой в случае однородных краевых условий на границе полостей 5 . [c.141]

Задача (1.2.15) называется однородной задачей Дирихле для операгора и— — Аи- -аи, так как формально она поставлена точно гак же, как и в классическом смысле, где обычно ищется решение в просграистве i " (Q) П Действительно, когда дан- [c.28]

Если Г = Г() (или соответственно Г = Г1), то мы имеем формальное решение однородной задачи Дирихле (или соответственно однородной или неоднородной задачи Неймана) для оператора из (1.2.29) (во втором случае для обеспечения существования решения необходимо потребовать выполнения неравенства вида а а >0 почти всюду на 2). [c.33]

Таким образом, исходя из теоремы 2.1.1, будем использовать пространство конечных элементов = если решается однородная задача Дирихле второго порядка, или = если решается однородная или неоднородная задача Неймана второго порядка. [c.50]

Г0 требование регулярности—действительно не слишком ограничивающее условие Например, однородная задача Дирихле и однородная задача Неймана, соответствующие данным (1.2.23) [c.140]

Для облегчения изложения будем рассматривать однородную задачу Дирихле для оператора — Д, соответствующую следующим данным- [c.149]

Для определенности на протяжении разд. 4.2 предполагается, что мы решаем однородную задачу Дирихле, поставленную на [c.174]

Эта задача соответствует (см. (1.2.28)) однородной задаче Дирихле для оператора [c.178]

Как и в разд. 4.1, мы рассматриваем однородную задачу Дирихле второго порядка, соответствующую следующим данным [c.245]

Замечание 5.3.1. Для р=2 эта задача минимизации сводится к хорошо знакомой нам однородной задаче Дирихле — Ды=/ в 2, = 0 на Г. [c.306]

Замечание 5.3.2. Из соотношений (5.3.8) непосредственно следует, что задача минимизации (5.3.2) формально эквивалентна однородной задаче Дирихле [c.310]

Дpyгli пI словами, задача аппроксимации решения задачи четвертого порядка (бигармонической задачи) сводится здссь к последовательности дискретных задач второго порядка", а именно задач (7.2.34) — (7.2.35) и (7.2.36), отвечающих дискретизации соответственно неоднородной и однородной задачи Дирихле для оператора —А. Как будет показано ниже, решение задачи (7.2.37) в принципе требует проведения сравнительно меньшей работы [c.389]

Смешанная формулировка. Пусть 12 С R — выпуклый многоугольник с границей Г. Рассмотрим однородную задачу Дирихле для бигармонического уравнения [c.259]

Таким образом, можно записать ГИУ и в том случае, когда область ограничена несколькими поверхностями 5о, Si,. ... .., Sk или тело кусочно однородно (см., например, [1—3]). Если известна функция Грина краевой задачи типа Дирихле или Неймана для области, внешней по отношению к поверхности 5j (пусть 5] — внутренняя граница), и в исходной краевой задаче на Si заданы нулевые условия, то, используя при выводе ГИУ не фундаментальное решение дифференциальных уравнений (как обычно делается), а функцию Грина, можно получить ГИУ, в котором интегралы по Si отсутствуют. Именно так в [4] преобразовано ГИУ двумерной задачи теории упругости для тела с трещиной. [c.183]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...