Произведение скаляриое

Производные от векторной суммы, произведения скаляра на вектор, скалярного и векторного произведений [c.62]

Аналогичные формулы можно найти, рассматривая скалярное произведение или произведение скаляра на вектор. [c.64]

Это пример применения общего правила дифференцирования произведения скаляра a t) на вектор Ь(0 [c.44]

Итак, мы ВИДИМ, что для тела произвольной формы и с произвольным распределением массы момент импульса J представляет собой не просто произведение скаляра на вектор ш угловой скорости. Поэтому в общем случае направление вектора J не совпадает с направлением вектора ш. Это обстоятельство является причиной сложного поведения вращающихся тел. Сравнительно просто обстоит дело с задачами динамики твердых тел сферической формы, в которых, как мы увидим, вектор J всегда параллелен вектору сэ. В отсутствие момента вращения вектор J сохраняет постоянство, в общем же случае для тел произвольной формы вектор (О будет прецессировать вокруг вектора J. [c.248]

Первое слагаемое как произведение скаляра (1/3)/1 иа тензорную единицу Р, обладает тем же свойством изотропии, что и Е. Компоненты тензора Р< не зависят от изменения системы координат, т. е. от поворота осей они удовлетворяют условию сферической симметрии, и поэто.му тензор Р называется сферическим или шаровым . Тензор Р представляет собой отклонение (девиацию) тензора Р от сферической части и носит наименование девиатора тензора Р. [c.125]

Дивергенция от произведения скаляра на вектор (уЛ) равна [c.525]

Если появляются релаксационные явления (или химическая реакция), то мы имеем дополнительный член (25) в приросте энтропии. Так как он является произведением скаляров, мы должны рассматривать его вместе с членом объемной вязкости. Это дает следующие феноменологические уравнения [c.12]

Изотропным называют тензор, компоненты которого сохраняют неизменные значения во всех координатных системах, получающихся одна по другой преобразованием поворота. Примером изотропного тензора второго ранга может служить произведение скаляра на единичный тензор ХЕ, а произведение скаляра на тензор Леви-Чивита есть изотропный тензор третьего ранга. Можно доказать, что других изотропных тензоров второго и третьего ранга не существует. Наиболее общий вид компонент изотропного тензора четвертого ранга представляется формулой, содержащей три скалярных множителя к, р., v [c.814]

Лапласиан произведения скаляров определяется соотношением У [рф = фУ ф + фУ ф + 2 Уф Уф. (II. 4.20) [c.846]

Этим уравнениям при отсутствии объёмных сил можно согласно 5 удовлетворить, вводя симметричный тензор функций напряжений Фгг- > фср- Компоненты тензора напряжения а ,. .выражаются через функции напряжений так же, как соответствующие компоненты тензора а выражались через компоненты тензора деформации, т. е. с помощью формул (7.9). Возьмём, например, за тензор функций напряжений шаровой тензор, т. е. произведение скаляра Ф и единичного тензора [c.40]

Мы воспользовались формулой для вычисления дивергенции произведения скаляра на вектор А [c.445]

Здесь мы учли, что ротор берется в точке Р, а интегрирование должно проводиться по линиям тока Г. Эти две операции являются взаимно независимыми, поэтому можно поменять их порядок. Так как следует вычислить ротор от произведения скаляра и вектора, можно использовать тождество [c.122]

Произведение скаляра т на вектор о есть вектор, коллинеарный с а, имеющий длину I т 1 I а I и направление, совпадающее с а при т > О и противоположное а при т < 0. [c.208]

В случае декартовых координат г,, и г совпадают с ортами в,, различать верхние и нижние индексы нет необходимости, г = Э, = Э/Эх,. Декартовых координат достаточно для установления многих соотношений тензорного анализа. Например, фадиент произведения скаляров [c.26]

Градиент произведения скаляров, скаляра на вектор, на тензор [c.469]

Многие макроскопические свойства кристаллов можно описать с помощью тензоров. К числу таких свойств относится, например, электропроводность, которая связывает вектор напряженности электрического поля с вектором плотности тока. В случае изотропного вещества (такого, как металл, т. е. состоящего из многих зерен) электропроводность задается скаляром, или, что то же самое, произведением скаляра на единичный тензор. Для более сложных систем величина тока все еще пропорциональна величине приложенного [c.21]

Умножение па скаляр. Произведением матрицы А на скаляр Я, называется матрица [c.631]

Произведения трех векторов. Комбинированные произведения из трех векторов могут иметь вид а Ь с), а (Ь X с), аХ ЬХс), aX lp с). Прежде всего замечаем, что первая комбинация есть произведение вектора а на скаляр Ь с, четвертая же не имеет смысла, так как нельзя векторно множить вектор а на скаляр Ь с. [c.33]

Произведение трех векторов типа а Ь X с) называется смешанным произведением векторов и есть, очевидно, скаляр. [c.33]

Определим угол а между векторами и / . Для этого образуем их скаляр-ное произведение, которое выразим в двух следующих формах [c.81]

Матрица умножается на скалярную величину. В этом случае на скаляр умножаются все элементы матрицы. Две матрицы перемножаются, если число столбцов одной матрицы равно числу строк второй матрицы. Если матрица А имеет порядок т х п, а матрица В — п X д, то их произведение определяет матрицу С = А В, порядок которой равен т х д. Элемент матрицы С определится по правилу [c.50]

Скалярным произведением, двух векторов а и 5 называется скаляр [c.8]

Если каждую диаду в (1.44) заменить скалярным произведением, то получим скаляр диадика [c.13]

Умножение матрицы [Aij] на скаляр X дает матрицу [КАц. Произведение двух матриц [Aij] и определено только в том случае, если число столб- [c.18]

Произведением вектора а на скаляр Я назовем вектор [c.19]

Поэтому vt/ формально можно рассматривать как произведение символического вектора V на скаляр U. [c.95]

Под произведением вектора а на положительный скаляр т мы будем понимать вектор Ь, параллельный вектору а и направленный в ту же сторону, что и вектор а, причем модуль Ь связан с модулем а [c.27]

Пример. Докажем, что скалярное произведение а-Ь — инвариант ортогонального преобразования системы координат, т. е. является абсолютным скаляром. [c.42]

Этот скаляр, как видно из формулы (1.615), является скалярным произведением векторов а и Ь. Действие свертывания с метрическим тензором, приводящее к подниманию или опусканию индексов, установлено пока лишь для мультипликативных тензоров. Однако каждый тензор можно представить в форме суммы мультипликативных тензоров соответствующего ранга. Это утверждение не требует доказательства, так как мы не ограничиваем количество мультипликативных составляющих тензора. Поэтому действие поднимания и опускания индексов распространяется на тензоры произвольного ранга и строения. Это подтверждается также тем, что метрический тензор принадлежит к так называемым единичным тензорам, так как его смешанные компоненты совпадают с символами Кронекера. [c.58]

Заметив, что d p — скаляр, приходим, согласно формуле (1.61а) к выводу, что он равен скалярному произведению вектора dr на вектор с ковариантными компонентами . На основании 204 можно [c.385]

В правой части равенства (е) второе и третье слагаемые — скаляры. Левая часть — тоже скаляр. Следовательно, первое слагаемое правой части тоже должно быть скаляром. Вспоминая действие свертывания тензоров, видим, что коэффициенты при произведениях Л В являются ковариантными компонентами тензора второго ранга Эт от тензор можно назвать абсолютным дифференциалом тензора Тщ. Следовательно, можно написать [c.387]

Чтобы найти обобщенные силы, рассмотрим работу активных сил, произведенную на возможных перемещениях. Как известно, элементарная работа — абсолютный скаляр и не зависит от выбора системы координат. [c.122]

Здесь os (А, В) обозначает косинус угла между векторами А и В. Очевидно, что определение скалярного произведения совсем не связано с системой координат, т. е. скалярное произведение векторов представляет собой скаляр. Заметим, что os (А, В) = os (В, А), и поэтому скалярное произведение коммутативно [c.49]

В физике широко применяется и другой вид произведения двух векторов. Это произведение является вектором, а не скаляром, но вектором в несколько ограниченном смысле. По определению векторное произведение — это вектор, нормальный [c.53]

Скалярное произведение векторов имеет свойства, аналогичные свойствам произведения скаляров. Так, согласно формуле (1.9) имеет место переместительный (коммутативный) закон, т. е. [c.7]

Применим вновь предыдущую формулу дивергенции произведения скаляра на вектор, полагая в ней а grad ф тогда получим [c.166]

Рассмотрим скалярное произведение Уд-р.. Это произведение—скаляр, инвариант (проекция Уд на р, не зависит от системы координат). Для скалярного произведения, так как Уд = = grad F, имеем [c.29]

При этом, конечно, VxVp = 0, а вычисление остальных слагаемых, представляющих произведения скаляра на вектор, основывается на правиле [c.284]

Свойства тензоров второго ранга. Отметим некоторые важные свойства тензоров второго ранга. Произведением тензора ац на скаляр X называется тензор bij, компоненты которого bij = Xaii. Суммой тензоров aij и bij называется тензор сц, компоненты которого ij — aii + bij. [c.13]

Смешанное, или векторно-скалярное, произведение трех векторов является скаляром и численно равно объему параллеле-педа, построенного на этих векторах [c.244]

Знак скаляра V может быть положительным и отрицательным. Если Е>0, то систему векторов а, Ь и с будем называть правой, при У-<0 векторы а, Ь и с образуют левую систему. Если произвести перестановку двух из трех рассматриваемых векторов, то знак V изменится на обратный. Абсолютная величина V при этом сохранится. Следовательно, при этом правая система векторов перейдет в левую и наоборот. Это видно из приведенной выше геометрической интерпретации смешанного произведения. Направления векторов а, Ь н с, от которых зависит знак V, определяют их пзаимную ориентацию. Поставим в соответствие векторам а, Ь п с точки окружности, расположенные в случае правой системы векторов против хода часовой стрелки. Эти точки будут фиксировать относительную циклическую последовательность векторов а, Ь и с. [c.34]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...