Характеристические показател

Двигаясь по этим траекториям при значении С > О, изображающая точка приближается к замкнутой траектории (3.5) изнутри, а при значениях С < О — снаружи. Следовательно, замкнутая траектория (3.5) представляет собой устойчивый предельный цикл. К этому результату можно также прийти, вычислив величину характеристического показателя h предельного цикла (3.5) по формуле (3.3). В рассматриваемом случае h = —2 < 0. [c.47]

Отсюда следует, что значения характеристических показателей определяются но значениям мультипликаторов неоднозначно. [c.129]

Числа аг называются характеристическими показателями уравнения (И.293). [c.311]

Здесь а1 и 2 — характеристические показатели, С] и С2 — постоянные интегрирования, ф1 и ф2 — периодические функции времени. [c.312]

Свойства закона движения системы, определяемого уравнением (11.293), зависят от характеристических показателей а,-, или от корней характеристического уравнения (11.297). Общая теория характеристических показателей в настоящее время получила широкое развитие ). [c.312]

Для определения характеристических показателей можно воспользоваться методом последовательных приближений ). [c.312]

Для дальнейшего введем некоторые определения. Собственные числа "kj матрицы В называются характеристическими показателями системы (6). Собственные числа р, матрицы Х(2л) называются мультипликаторами системы (6). Из формулы (10) следует, что [c.394]

Б этом решении и С2 — произвольные постоянные интегрирования, pi (t) и фз t) — некоторые периодические функции, период которых равен периоду Т возбуждающей функции-ф (О, а ai и 2 — характеристические показатели, определяемые равенством (7.68) [c.242]

Общий характер устойчивости стационарных решений для параметрических генераторов всех типов следует из анализа вещественной и мнимой частей характеристического показателя Я. Если вещественная часть для ненулевых решений отрицательна, то соответствующий стационарный режим является устойчивым по Ляпунову, причем наличие или отсутствие мнимой части характеристического показателя выявляет характер этой устойчивости. [c.181]

Каждый из этих пределов равен вещественной части одного из собственных значений оператора А (и называется характеристическим показателем Ляпунова для уравнения в вариациях). Множество векторов задаваемых любым из неравенств и представляет собой плоскость без 0. Раз- [c.129]

Малые колебания около стАтического решения. Характеристические ПОКАЗАТЕЛИ. Критерий неустойчивости. Простой и в то же время очень важный для механики случай будем иметь, когда функции X не зависят явно от [c.384]

Различные между собой характеристические показатели определяют столько же решений вида (22), линейно независимых между собой, системы (21). Здесь нет необходимости останавливаться на рассмотрении того, как находятся путем алгебраических операций другие необходимые частные решения для построения основной системы в том случае, когда число этих различных между собой характеристических показателей окажется меньше л [ ] обратимся прямо к малым колебаниям около статического решения о. [c.385]

Легко интуитивным путем прийти к заключению, что в предполагаемом здесь случае устойчивости решения о характеристические показатели не могут иметь положительную действительную часть, если говорить об устойчивости в будущем. [c.385]

Аналогичным образом, если рассмотрим только прошедшее время, то увидим, что нельзя допустить характеристических показателей с отрицательной действительной частью. [c.386]

Для того чтобы статическое решение уравнений (20) было устойчивым, необходимо, чтобы все его характеристические показатели были чисто мнимыми (за исключением разве лишь одного, равного нулю) ). [c.386]

Некоторые авторы полагают z = i2s и называют характеристическими показателями Zs, так что необходимое условие устойчивости будет заключаться в том, чтобы характеристические показатели были все действительными (за исключением разве одного, равного нулю). [c.386]

Статическое решение уравнений (20) будет наверное неустойчивым, если по крайней мере один из его характеристических показателей имеет действительную часть, отличную от нуля. [c.387]

Отметим попутно, что из самой формы характеристического уравнения (28), которое действительно для всех дифференциальных систем вида (27) и, в частности, для уравнений малых колебаний, следует, что если 2 есть его корень, то корнем будет также и — 2. Отсюда имеем характеристические показатели статического решения дифференциальной системы типа (26) и, в частности, динамической задачи попарно равны по модулю и противоположны по знаку. [c.389]

Следует, однако, заметить, что всякий раэ, как оно выполняется, т. е. всякий раз, как все характеристические показатели статического решения о чисто мнимые, удается показать, что отклонение решений о и о друг от друга, вначале весьма малое, хотя и не остается неопределенно долго бесконечно малым, но обнаруживается только после более длительного промежутка времени, чем во всех других случаях, т. е. мы имеем в этом случае устойчивость в первом приближении, которую можно назвать линейной, поскольку принимается во внимание только линейная часть дифференциальных уравнений, [c.391]

В дальнейшем нам придется часто рассматривать вопрос об устойчивости или в строгом смысле, когда задача допускает это, или ограничиваясь первым приближением, на основе исследования характеристических показателей. Здесь же, продолжая следовать дальше в развитии идей обш,его порядка, мы покажем, как сама физическая реальность во многих случаях подсказывает рассмотрение линейной устойчивости в будущем. [c.391]

За отсутствием более точных критериев для состояния равновесия системы в С , мы можем разобрать только линейную устойчивость, применяя метод характеристических показателей. [c.398]

Если мы хотим обратиться к теории характеристических показателей, то достаточно принять во внимание, что характеристическое уравнение будет иметь здесь вид [c.204]

Седловые движения гомоклинической структур)ы могут быть сжимающего или расширяющего типов в зависимости от того, происходит ли уменьшение или увеличение фазового объема в их окрестности. Седловое периодическое движеиие сжимающее, если сумма его характеристических показателей отрицательна, и расширяющее, если эта сумма положительна. [c.332]

Составляя определитель для этой системы и требуя для нетри-виальности решения равенства его нулю, получаем для характеристического показателя Я. следующее выражение [c.128]

Исследование устойчивости стационарных речений можно, как и в предыдущей задаче, провести методом возмущенпи. Тогда для случая нулевой стационарной ами,титулы нужно составить определитель для нахождения характеристического показателя А. Если правые части укороченных уравнений (4.5.9) обозначить через фд (п, V) н Фг(п, п), то для рассматриваемой задачи имеем [c.170]

Видно, что квадратный корень при любых у, Р, Е является мнимой величиной, а вещественная часть характеристического показателя X всегда отрицательна, ибо по определению потери в системе всегда больше нуля, т. е. д>0. Следовательно, состояние покоя рассматриваемой системы всегда устойчиво, стггиюнарной амплитуды о в системе не существует ни при каких значениях параметров. [c.174]

В болыннистве реальных случаев, когда действует одновременно несколько механизмов ограничения амплитуды, т. е. в системе имеется несколько ршлинейных элементов, полное решение задачи удается провести только численными методами с помощью ЭВМ. Однако характер переходного процесса можно качественно (а иногда и количественно) определить на основании исследования характеристического показателя X. [c.181]

Если ReЯ< 0 и отсутствует мнимая часть Я(1тЯ = 0), то возмущения в области устойчивости апериодически затухают если же характеристический показатель Я комплексен, то затухание происходит в осцилляторном режиме. Поэтому выход на стационарную амплитуду в случае диссипативного механизма ограничения (ограничение за счет нелинейного сопротивления) всегда имеет апериодический характер (рис. 4.33, сплошная кривая). На том же рисунке пунктирной линией показан процесс установления стаиионар .ой амплитуды в ламповом генераторе. Осо- [c.181]

При ограничении параметрических колебаний за счет нелинейной реактивности (расстроечиый механизм ограничения) система приходит к своему стациоияриому состоянию осцилляторно (рис. 4.34). Колебательный процесс установления колебаний может возникать за счет инерционности реактивного параметра. В этом случае характеристический показатель >. является комплексной величиной, н которой действнтель.чая часть (Нел) определяет скорость уменьшения амплитудных вариаций, а мнимая часть (1т Я) — частоту (период) осцилляций при выходе на стационарную амплитуду. [c.182]

Следовательно, для того чтобы решение о было устойчивым как в прошедшем, так и в будущем, необходимо, чтобы действительные части всех характеристических показателей были ргвны нулю. Пови-димому, можно было бы думать, что предыдущим интуитивным рассуждениям можно дать совершенно строгую форму но в действительности аналитическое исследование устойчивости до сих пор было в состоянии установить лишь более или менее косвенные результаты. А. М. Ляпунов пришел к следующему результату, формулировкой которого мы здесь ограничимся. [c.386]

Необходимо добавить, что предыдущий результат, к сожалению, вообще говоря, необратим, так как можно показать на конкретных примерах, возможность статических решений со всеми характеристическими показателями чисто мнимыми и тем не менее неусто(.-чивых ) [c.387]

Далее, иногда при схематической постановке конкретных задач оказывается возможным считать удовлетворительным такое приближенное представление явлений, которое сохраняет свое значение если не на все время, то по крайней мере в течение конечного, но достаточно длительного промежутка времени. Это и является основанием того, что в конкретных приложениях, если не удается прийти к устойчивости в строгом смысле, удовлетворяются лишь решением вопроса, 01сазывается ли данное статическое решение строго неустойчивым, или же оно устойчиво в только что рассмотренном линейном смысле. А для этой цели достаточно применить так называемый метод малых колебаний (т. е. решение уравнений в варигциях) и критерий, даваемый рассмотрением характеристических показателей. [c.391]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...