Точка критическая для отображени

Точка критическая для отображения 156 [c.255]

М Множество особых точек полей семейства имеет вид. (х, e) v x, е)=0 . По лемме Сарда множество критических значений отображения v имеет меру нуль. Следовательно, существует вектор б произвольно малой длины, для которого —6 — некритическое значение отображения v. Множество v x, е)=—6 —гладкое многообразие по теореме о неявной функции. Но это многообразие есть множество особых точек векторных полей семейства v х, е) +6. [c.15]

Определение. Точка х многообразия N называется критической точкой для отображения /, если ранг производной [c.156]

Для описания топологических ограничений на типичные оптические каустики и их перестройки в 3-пространстве рассмотрим поверхность критических точек лагранжевой проекции оптического лагранжева 3-многообразия. Эта поверхность имеет простые (квадратичные) конические особенности в точках, где лагранжево отображение имеет особенности типа >4 в остальных местах (в точках типа А ) она является гладкой. [c.50]

Заметим, что эта теорема дает конструктивный алгоритм локализации притягивающей периодической точки, если таковые существуют, для любого нелинейного рационального отображения. Начиная с каждой критической точки и итерируя отображение много раз, будем проверять орбиту на (приближенную) периодичность. (Конечно, если получаемый период окажется слишком большим, то эта конструкция окажется непрактичной. В качестве простого примера легко проверить, что квадратичное отображение f z) = z — 1,5, см. рисунок 11, не [c.105]

Используя особенности упругой линии, мы можем довольно просто распространить полученное решение и на другие случаи закрепления стержня. Так, если стержень на одном конце жестко защемлен, а на другом - свободен (рис. 13.11), то упругую линию стержня путем зеркального отображения относительно заделки легко привести к упругой линии шарнирно закрепленного стержня. Очевидно, критическая сила для защемленного одним концом стержня длиной I будет равна критической силе шарнирно закрепленного стержня, имеющего длину 21. Таким образом, в рассматриваемом случае [c.516]

Для получения кромок конечной толщины каждый контур годографа 1 и 2 должен дважды пройти через точку V = 0, причем в целях обеспечения конформности отображения в этой точке необходимо достигнуть (путем надлежащего задания области годографа скорости) совпадения с ней всех четырех критических точек течения в области годографа. [c.140]

Далее, необходимо найти конформное отображение кольцеобразной области на кольцо в плоскости -гю (см. рис. 40). Это отображение при заданном годографе ско-< рости произвольной формы получается при помоши численных методов или с применением электрического моделирования. Ввиду практических трудностей численного отображения возможно также проведение указанных выше преобразований в обратном порядке, т. е. построение теоретических годографов некоторых специальных форм. В качестве простейшего способа построения теоретических годографов двухрядных решеток можно указать следующий. Путем дробно-линейного преобразования кольцо из плоскости w переводится в эксцентричное кольцо в плоскости С, из которого затем преобразованием типа Жуковского может быть получен теоретический годограф. Наличие свободных параметров, которыми можно распорядиться для вариации формы годографа и удовлетворения указанных выше условий положения критических точек и замкнутости профилей решетки, обеспечено возможностью выбора эксцентриситета кольца в плоскости С, положения в нем точек -5 = 1, w и а также величины циркуляции Г. Теоретические годографы общего вида можно получить, задавая коэффициенты разложения отображающей функции [c.141]

Для расчета течения в бесконечном канале используется отображение канала на полосу------ < 1т 2 < > причем критических точек нигде в потоке нет, а параметр можно полагать равным [c.169]

Из полученных здесь и выше результатов следует, что переход к стохастичности через перемежаемость аналогичен фазовому переходу второго рода, причем в качестве параметров беспорядка можпо рассматривать либо Я, либо х . Для обоих параметров критические индексы получаются одинаковыми и зависящими лишь от показателя степени 2, т. е. от характера отображения вблизи точки касания или точки перегиба. [c.258]

Для построения потока через решетку пластин можно использовать отображение области течения с разрезами по линиям тока, проходящими от критических точек 8 , на полуплоскость параметрического переменного и, введенного Н. Е. Жуковским (см. рис. 2), однако при этом, в отличие от случая струйного течения, вместо простого условия Ке ю = О на отрезках в плоскости и необходимо удовлетворять значительно более сложному условию равенства (о в совпадающих точках заранее неизвестного разреза в плоскости z. Для устранения этой трудности С. А. Чаплыгин ввел такое отображение и = и z), что контуры всех профилей переходят последовательно в равные отрезки действительной оси =. 2я), [c.108]

Доказательство. Критические точки отображения Р х Н — это условные экстремумы функции Н на многообразии уровня момента Мр (так как рассматриваемое многообразие уровня регулярно, т. е. для всех х из Мр имеем Р ,ТМх = Тоф. [c.347]

Можно ввести понятие трансверсальности критических точек функций как частный случай трансверсальности неподвижных точек отображений. А именно, пусть / М—>К является -функцией. Тогда отображение сдвига за единичное время градиентного потока является С -диффеоморфизмом относительно любой римановой метрики и его неподвижные точки — это в точности критические точки /. Таким образом, мы называем критическую точку р функции / невырожденной, если она является трансверсальной неподвижной точкой отображения сдвига за единичное время градиентного потока /. Чтобы показать, что это определение корректно, мы должны доказать, что оно не зависит от выбора римановой метрики для построения градиентного потока. Для этого выберем ортонормированный базис в пространстве и локальные координаты в окрестности точки р так, [c.297]

Необходимо вновь подчеркнуть, что критические точки L, в частности минимальные состояния, представляют отрезки орбит /. Так как наше продолжение / таково, что для больших разностей s — s значения H(s,s ) велики, функционал действия является собственным отображением, стремящимся к (плюс) бесконечности вне исчерпывающей последовательности компактных областей, и, следовательно, имеет минимум. [c.438]

Несколько более тщательное использование этих соображений показывает, что левая и правая половины орбиты периода 2" нашей переплетенной системы переставляются отображением / для любого п 6 N. Кроме того, мы можем исследовать динамику орбиты периода восемь более подробно, рассматривая действие р на любой ее половине. Поскольку эти половины переставляются отображением /, такое действие корректно определено, и мы попадаем в ситуацию, аналогичную той, что встретилась нам в приведенном выше доказательстве, так что отсюда легко получить описание действия р на левой половине. Покажем, что левая половина ж.,..., а отображается в правую половину 15,..., а так, что /( а ,, а ) = а , х ) для г = 5 или г = 7 (т. е. пакетами ). Предполагая противное, мы в конце концов заключим, что должна существовать орбита периода шесть. Орбита периода восемь определяет шесть отрезков, не содержащих неподвижную точку переплетенной системы. Обозначая их символами от 7, до Ь, мы должны показать (в порядке рассмотрения представительного случая), что отношение 7, —> 7д запрещено. Но в этом случае должно выполняться условие 75 —> 7,, так как Р известно на левой половине орбиты и 7, — I. для / = 4, 5, 6, поскольку концы 1 обязательно переходят в критические точки правой половины. Так как 7 —>7, по крайней мере для одного / = 4, 5,6, мы получаем подграф Маркова 7, —> 7б /3 —> 7 . —> 7,, который содержит цикл длины шесть, вынуждая, по следствию 15.1.4, существование орбит периода шесть. Эквивалентная формулировка этого вывода состоит в том, что ни один из отрезков, содержащих точки периода четыре, не может покрыть под действием / отрезок, содержащий точки периода два. В общем случае те же самые соображения показывают, что ни один из отрезков, определенных орбитой периода 2"+ и содержащих точку периода 2" переплетенной системы, не может покрыть под действием / отрезок, содержащий точку системы периода 2" . [c.513]

Точка X е.Я называется критической для отображения л 5Р (пространство-прообраз)- -. (пространство-образ), если касательное отображение TJ 9 -> Тц не является [c.14]

Напомним, что точка у = (а , ) е 8 называется критической для отображения л] 5, если касательное к я 5 отображение в точке г/ не является сюръективным. Это равносильно тому, что касательное отображение не является инъективным, т. е. что в точке ( существует вектор 0 О, кокасателъный к такой, что [c.110]

Можно попытаться устремить e к нулю, оставляя л фиксированным. Это означает, что все длины, измеряемые в единицах решётки, должны стремиться к бесконечности, т. е. мы должны приближаться к критической точке. Конечно, для этого требуется, чтобы отображение R(e) было в некотором смысле обратимым, и эта обратимость играет главную роль у Шрадера [2] при исследовании -моделей. [c.108]

Эргодические свойства абсолютно непрерывных мер. Наиболее общие результаты об эргодических свойствах абсолютно непрерывных мер для отображений с разрывами и с критическими точками принадлежат Ледрапье [73] и изложены Б следующих теоремах 2.3—2.6. [c.213]

Соласно терминологии главы 7, отображение f следует считать неравномерно полно гиперболическим. При этом слои укорачиваются как для траекторий, проходящих близко к критическим точкам, так и для траекторий, близких к точам разрыва (так же, как в системах, рассматриваемых в главе 8). Аналогия становится полной, если построить отображение с аттрактором, действие на котором изоморфно естественному расширению. Наиболее известный пример для отображений с разрывами— это аттрактор Лоренца (см. [92] и гл. 8). Пример для отображений с критическими точками — это так называемая перекрученная подкова (см. [69]). [c.214]

Рис. 10. Множество Жюлиа для отображения f z) = г + которое имеет критическую точку при го = —2/3 в области непосредственного притяжения супернритягивающей точки z = 0. Нарисована проходящая через точку zo большая орбита кривой

Из формулы Римана-Гурвица (7.2) для отображения f Vg Vng следует, что nxiУng) x(Уg) равно числу критических точек функции / на Vg, подсчитанных с их кратностями. Поскольку Vg, очевидно, связно для достаточно больших g, выведите, что Vg связно тогда и только тогда, когда оно содержит все п — 1 критические точки функции /. [c.127]

Если zo — неподвижная точка в локально связном множестве Жюлиа, то предыдущие две леммы и сопровождающие их рассуждения показывают, что zq должна быть отталкивающей либо параболической точкой. Обобщение на периодические точки очевидно. Рассмотрим теперь инвариантный диск Зигеля Д = /(Д). Ввиду непрерывности 7 M/Z —> J, множество X = 7 (9Д) С K/Z компактно и бесконечно. Значит, согласно лемме 18.8, отображение t ni иа X не может быть биективным. С другой стороны, из леммы 18.7 следует, что / гомеоморфно отображает дА на себя, и поэтому X отображается на себя при умножении на п. Значит, существуют два таких различных луча Rt и Rt , заканчивающихся на дА, что fiRti) = /(Jita)- Поскольку / взаимно однозначно, эти два луча заканчиваются в одной общей точке 7( 1) = 7( 2)- Очевидно, что эта общая концевая точка должна быть критической для /. Это завершает доказательство теоремы 18.5 для дисков Зигеля с периодом один. Для больших периодов доказательство аналогично. [c.228]

Приведем пример использования первых производных при получении таких оценок расстояния. (Ср. Милнор 1989, а также Фишер.) Рассмотрим рациональное отображение / С С с суперпритягивающей неподвижной точкой в начале координат. Пусть II — область притяжения этой неподвижной точки. Предположим для простоты, что эта область притяжения связна, односвязна и не содержит других критических точек функции /. Нетрудно показать, что координата Бётхера, описанная в 9, может быть определена на всем II и задает конформный изоморфизм ф и Ш с ф / г)) = ф г)) . Определим функцию Грина С и 0 Ж по формуле [c.304]

Метод конформного отображения позволяет решить задачу расчета распределения скорости на профиле при любых условиях обтекания, если известно одно распределение скорости V (5) при каких-либо определенных условиях (известных величинах Н, и aj). Напомним, что аналогичная задача была решена в 4 на основе линейной зависимости V (s) от tg aj, причем для этого требовалось знать два различных распределения скорости. Итак, пусть известна одаа функция У = 1/(5) при данных величинах и aj, и требуется определить новую функцию V (s) и угол выхода а при других величинах V, а и вообще при другом положении s задней критической точки на профиле. Отметим, что угол выхода потока aj при заданных условиях находится из уравнений неразрывности и отсутствия вихрей [c.83]

Аналогично случаю несжимаемой игидкостн для получения непрерывного отображения г(У) в критических точках течения 5,, [c.200]

Как известно, критическое напряжение сдвига Гкр, необходимое для активации источника Франка—Рида длиной /, равно т р = Gh/l, где Ь — величина вектора Бюргерса. Силу зеркального отображения, которая действует на дислокацию в точке О на рис. 57, можно выразить в виде F, =Л/25 , где Л = G6/2w для винтовой дислокации и Л = СЬ/2тг(1 — р) для краевой дислокации. Принимая Л — Сй/6, получаем Fj = GbjilS . [c.113]

Очевидно, что это значение доставляет новую критическую точку — исчерпание несущей способности для близких к исходному состояний равновесия. За значением Т на некотором участке деформирования равновесных состояний нет. Происходит ускоренное движение до состояния с зеркальным отображением. Дальнейщее поведение следует из той же схемы, но с противоположным направлением Т. [c.70]

Как известно, существует единственное решение Ф( ) для комплексного потенциала безотрывного обтекания профиля несжимаемой жидкостью с заданной скоростью на бесконечности, удовлетворяющее условию Жуковского-Чаплыгина. Аналитическая во внешности профиля G функция w z) = d /dz осуществляет отображение на многолистную, в общем случае, область D. Ввиду гладкости профиля (кроме задней кромки, в которой, по условию Жуковского-Чаплыгина w < оо, область D ограничена. Проекция ее границы L на плоскость W, выражающая зависимость F w, a.Tgw) = О, является замкнутой кривой с точками самопересечения или самоприкосновения, так как на профиле существуют две критические точки 01,2, в которых W = 0. В исключительном случае они могут совпадать, однако это, как и случай Г = О (Г — циркуляция), не будет приниматься во внимание. [c.147]

На границе Е С) имеют место условия, следующие из условия непротекания. Одно из них ф = О ф — функция тока), другое, выражающее равенство кривизн контура профиля и прилегающей линии тока (всюду, кроме критических точек), после использования уравнений движения (что предполагает непрерывность соответствующих частных производных в замкнутой области определения, кроме критических точек) дает связь между фи фу и кривизной контура крыла (см. гл. 1, 16). В прямой задаче оба эти условия заданы на заранее неизвестной, свободной границе. В задаче профилирования, когда задана граница Е С), условие ЩдР с) используется при решении краевой задачи, а второе — для построения контура крыла по найденному решению. Задача профилирования сводится при этом к задаче Дирихле в многолистной ограниченной области (однолистной после указанного выше отображения), если присоединить асимптотические условия (4), (14) в точке уо = уо о. Однако искомое решение задачи профилирования должно еще удовлетворять двум (при а ф 0) дополнительным условиям, имеющим характер условий разрешимости, вытекающих из требований физической реализуемости решения, построенного методом годографа О. (Напомним, что задание сингулярных членов асимптотики (4), (14) обеспечивает замкнутость прообраза (в физической плоскости) любого замкнутого контура в плоскости годографа, охватывающего точку и] = г оо, в том числе и контура профиля, если он при этом получается ограниченным.) [c.159]

Для получения этих дополнительных условий учтем гомеоморфность отображения достаточно малой окрестности критической точки, откуда следует, что на каждом из отрезков и О2О2 (при а / 0) существует [c.159]

Цель этой главы — познакомить читателя с использованием вариационных методов в теории динамических систем, которые позволяют находить интересные орбиты некоторых динамических систем как критические точки некоторых функционалов, определенных на подходящих вспомогательных пространствах, образованных потенциально возможными орбитами. Эта идея восходит к идее использования вариационных принципов в задачах классической механики, которой мы обязаны Мопертюи, Даламберу, Лагранжу и другим. В классической ситуации, когда время непрерывно, источником определенных трудностей является уже то обстоятельство, что пространство потенциально возможных орбит бесконечномерно. Для того чтобы продемонстрировать существенные черты вариационного подхода, не останавливаясь на вышеупомянутых технических деталях, в 2 мы рассмотрим модельную геометрическую задачу описания движения материальной точки внутри выпуклой области. Затем в 3 будет рассмотрен более общий класс сохраняющих площадь двумерных динамических систем — закручивающих отображений, которые напоминают нашу модельную задачу во многих существенных чертах, но включают также множество других интересных ситуаций. Главный результат этого параграфа — теорема 9.3.7, которая гарантирует существование бесконечного множества периодических орбит специального вида для любого закручивающего отображения. Не менее, чем сам этот результат, важен метод, с помощью которого он получен. Этот метод, основанный на использовании функционала действия (9.3.7) для периодических орбит, будет обобщен в гл. 13, что даст возможность получить весьма замечательные результаты о непериодических орбитах. После этого, развив предварительно необходимую локальную теорию, мы переходим к изучению систем с непрерывным временем, хотя мы проделаем это только для геодезических потоков, для которых функционал действия имеет ясный геометрический смысл. При этом важной компонентой доказательства оказывается сведение глобальной задачи к соответствующей конечномерной задаче путем рассмотрения геодезических ломаных (см. доказательство теоремы 9.5.8). В 6 и 7 мы сосредоточим внимание на описании инвариантных множеств, состоящих из глобально минимальных геодезических, т. е. таких геодезических, поднятия которых на универсальное накрытие представляют собой кратчайшие кривые среди кривых, соединяющих любые две точки на геодезической. Главные утверждения этих параграфов — теорема 9.6.7, связывающая геометрическую сложность многообразия, измеряемую скоростью роста объема шаров на универсальном накрытии, с динамической сложностью геодезического потока, выражаемой его топологической энтропией, и теорема 9.7.2, позволяющая построить бесконечно много замкнутых геодезических на поверхности рода больше единицы с произвольной метрикой. Эти геодезические во многом аналогичны биркгофовым минимальным периодическим орбитам из теоремы 9.3.7. [c.341]

В этой главе мы возвращаемся к анализу закручивающих отображений, который был начат в 9.2 и 9.3. Главный результат этих параграфов состоял в доказательстве существования по крайней мере двух специальных периодических орбит для любого рационального числа вращения из интервала закручивания (теорема 9.3.7). Эти орбиты (биркгофовы периодические орбиты типа (р, д)) могут рассматриваться с двух различных точек зрения. С одной стороны, они представляют собой критические точки функционала действия (9.3.7), минимум и минимакс типа перевала, на пространстве периодических состояний. Минимальные биркгофовы периодические орбиты характеризуются тем свойством, что каждый из их отрезков минимизирует функционал действия (9.3.12), определенный на пространстве состояний с теми же самыми концами. С другой стороны, эти орбиты сохраняют порядок, т. е. их угловые координаты находятся во взаимно однозначном соответствии с орбитами вращения на угол 2тр д, сохраняющем порядок (см. замечание после определения 9.3.6). [c.426]

Как было отмечено в конце 2, топологические цепи Маркова не обеспечивают достаточно богатый класс моделей даже для кусочно монотонных отображений интервала. Однако более общий класс символических динамических систем может использоваться для описания существенных черт структуры таких отображений. Идея, принадлежащая Милнору и Тёрстону, состоит в том, чтобы рассматривать кодирование критических точек в соответствии с разбиением на интервалы монотонности. Этот подход работает для произвольных кусочно монотонных отображений. Чтобы избежать чрезмерного усложнения обозначений, мы ограничимся рассмотрением самого простого класса таких отображений, а именно унимодальных отображений. [c.514]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...