Энтропия в каноническом ансамбл

Энтропия в каноническом ансамбле 177 [c.515]

Экстремальное распределение (1.3.64) совпадает с большим каноническим распределением, если Т — температура, а /х — химический потенциал в расчете на одну частицу. Чтобы подтвердить правильность интерпретации параметров Т и /х, запишем энтропию большого канонического ансамбля [c.60]

Напомним, что величина S в соотношении (1.3.82) — информационная энтропия большого канонического ансамбля, а Т = 1//5 вводится как множитель Лагранжа. Таким образом, мы приходим к выводу, что энтропию большого канонического ансамбля можно отождествить с термодинамической энтропией, выраженной через переменные Т, /I и а . Кроме того, мы видим что параметр Т в (1.3.82) совпадает с температурой термостата. [c.64]

В каноническом ансамбле (энтропия 82) величина является внутренней энергией 17 [c.61]

В случае статистики Ферми интерпретация дополнительного члена весьма проста он представляет собой формулу больцманов-ского типа для энтропии дырок, которую следует добавить к классическому члену для получения правильного выражения. В случае бозе-статистики интерпретация менее ясна. Можно показать,, что эта формула для энтропии дает правильный результат, совпадающий с выражением, которое получается с помощью функции распределения большого канонического ансамбля. [c.271]

Следовательно, функция s t) (12.2.4), эволюция которой описывается кинетическим уравнением (12.2.3), обнаруживает корректное поведение, свойственное энтропии системы, находящейся в неравновесном состоянии, а когда достигается конечный пункт эволюции — состояние равновесия, она переходит в равновесную энтропию, вычисленную для канонического ансамбля. Таким образом, столкновения обеспечивают необратимый переход системы в состояние равновесия. [c.58]

При дальнейшем развитии темы мы встречаемся и с другими величинами, которые при очень большом числе степеней свободы в основном совпадают с модулем и с средним показателем вероятности канонического ансамбля, взятым с обратным знаком, и которые, следовательно, также можно считать соответству-юш ими температуре и энтропии. Однако, если число степеней свободы не очень велико, то соответствие является неполным II введение этих величин не имеет никаких оснований кроме того, что они могут считаться более простыми по определению, нежели величины, упомянутые выше. В главе XIV это последование термодинамических аналогий развивается несколько подробнее. [c.16]

Величина, которая в этом уравнении соответствует энтропии, есть log V, где V определяется, как фазовый объем, в котором энергия меньше некоторого граничного значения а. Эта величина, конечно, представляет собой более простое понятие, нежели сроднее по каноническому ансамблю значение показателя вероятности фазы, log V имеет то свойство, что когда он постоянен, [c.169]

Как и в классическом случае, свободная энергия и равновесная энтропия квантовой системы определяются выражениями (1.3.51) и (1.3.49), но теперь Z — не статистический интеграл, а статистическая сумма (1.3.59). Термодинамические соотношения для квантового канонического ансамбля будут получены в разделе 1.3.7. [c.59]

Рассмотрим теперь систему с фиксированным объемом V, находящуюся в контакте с термостатом, который служит также резервуаром частиц. Равновесное состояние такой системы описывается большим каноническим ансамблем а соответствующее статистическое распределение (классическое или квантовое) называется большим каноническим распределением. Мы получим это распределение, исходя из принципа максимума информационной энтропии. [c.59]

В данном случае энергия и число частиц в системе не фиксированы, а флуктуируют около равновесных значений, поэтому большой канонический ансамбль характеризуется средними значениями (Я) и N). Итак, для классических систем равновесная функция распределения соответствует максимуму информационной энтропии [c.59]

Теперь воспользуемся тем, что микроканонический и канонический ансамбли термодинамически эквивалентны друг другу. В данном случае это означает, что энтропия микроканонического ансамбля S H) N V) практически равна энтропии канонического ансамбля S T, N, V), если средняя энергия U = (Я) и температура связаны термодинамическим уравнением состояния U = U T N V). Тогда с учетом термодинамических соотношений [c.70]

Для определения энтропии канонического ансамбля, описывающего состояние с заданными средними значениями а- мы используем принцип максимума информационной энтропии. Рассмотрим обобщенные ансамбли Гиббса, в которых средние значения удовлетворяют условиям [c.72]

В большом каноническом ансамбле (энтропия 5д) величина г/д есть среднее число частиц п, и, следовательно, [c.61]

Последний член пренебрежимо мал при N— -00. В этом предельном случае соотношение А —и — Т8 является точным. Соотношение (8.23) показывает, что энтропия, определенная в каноническом и микроканоническом ансамблях, отличается на члены порядка 1пЛ/. [c.180]

В 9, в заключении статьи, Пуанкаре доказывает, что если начальная плотность вероятности была канонической функцией квадрата скорости, то при любых, как адиабатических, так и неадиабатических, изменениях внешних параметров кинетическая энергия в любой, более поздний (в частности, сколь угодно близкий) момент будет больше. В этом выводе Пуанкаре использует свойство тонкой энтропии сохранять свою величину. Следовательно, рассуждения Пуанкаре относятся к Г-пространству (так как только в Г-пространстве можно гово-рить об этом свойстве). Но в Г-пространстве величина, рассматриваемая им как кинетическая энергия системы, не имеет ничего общего с кинетической энергией данной системы,. а является средней кинетической энергией ансамбля. Доказываемое же им утверждение оказывается тривиальным следствием предположения о плотности распределения ансамбля в начальный момент, не имеющим никакого отношения к изме- [c.51]

Однако координационное число на самом деле не представляет собой хорошо определенной геометрической величины, которая давала бы точную информацию о расположении атомов. Настоящие величины, пригодные для описания статистического ансамбля, это только канонические функции распределения атомов, определенные в 2.7. Через них выражаются последовательные слагаемые в групповом разложении избыточной энтропии [50] [c.286]

Перейдем теперь к рассмотрению наиболее тонкого понятия в теории термодинамических функций — энтропии. В классическом каноническом ансамбле она определйется следующей формулой (см. табл. 4.4.1) [c.262]

II дает наилучший способ получения совершенно определенных величин. Эти средние, будучи взятыми для микрокано-нического ансамбля, могут представляться с некоторых точек зрения более простыми и естественными понятиями, нежели средние, относящиеся к каноническому ансамблю. Более того, энергия и величина, соответствующие энтропии, не имеют знака усреднения в этом уравневии. [c.169]

Рассмотрим теперь важный для приложений случай, когда динамические переменные соответствуют полу макроскопическим величинам ). Тогда можно воспользоваться термодинамической эквивалентностью ансамблей и считать, что энтропия S ai , N,V) микроканонического ансамбля является такой же функцией от а-, как энтропия 5( (аЛ, А , К) канонического ансамбля от а-) при условии, что а-) = а-. Это предположение фактически лежит в основе так называемой квазитермодинами-ческой теории флуктуаций впервые развитой Эйнштейном [76], который исходил из интуитивных соображений. [c.72]

Итак, в соответствии с термодинамической эквивалентностью статистических ансамблей, энтропию микроканонического ансамбля в (1.3.125) можно заменить энтропией обобщенного канонического распределения Гиббса (1.3.130), которое описывает состояние с заданными значениями флуктуаций Аа . Считая флуктуации малыми, мы можем разложить S a N V) по отклонениям Аа- = а- — (fljeq- С учетом равенств (1.3.132) запишем [c.73]

Это уравнение имеет форму термодинамического уравнения для обобщенной функции Массьё — Планка. Если флуктуации около значения XJ достаточно малы, то не возникает вопроса об идентификации Х1 н XJ с соответствующими термодинамическими переменными. Это нетрудно показать для систем с большим числом степеней свободы. Таким образом, нам надо показать, что и обладают свойствами соответствующих термодинамических интенсивных параметров. Подробности этого доказательства можно найти в общих курсах статистической механики, поэтому здесь мы их опустим. В результате мы приходим к выводу, что является статистическим аналогом функции Массьё — Планка Ф (Р , Х . Тем же путем мы можем, применяя микроканониче-ский ансамбль, обнаружить соответствие между А1п2 и энтропией, а применяя канонический ансамбль, — соответствие между и свободной энергией Гельмгольца. [c.64]

Пусть теперь система находится в состоянии описываемом ансамблем систем с неканонической функцией распределения по энергии и пусть — соответствующая средняя энергия. Покажем, что в этом случае теряется согласие определения по формуле. s — —krj (назовем его для краткости определением П) с обычным больцмановским определением энтропии (назовем его определением I). В силу установленного Гиббсом минимального свойства канонического распределения (см. Гиббс, гл. XI теор.2), соответствуюндееансамблю значение энтропии II удо]]летворяет неравенству [c.47]

В своем обзоре Эренфесты [1, стр. 63] обращают внимание на некоторую математическую нестрогость рассуждений Гиббса из приближения 2 к минимуму Гиббс неявно заключает об установлении канонического распределения с достаточной степенью точности. В то же время Эренфесты оставляют неотмеченной принципиальную ошибочность заключения стремление S к минимуму выражает некоторое свойство релаксации (размешивания) при заданной энергии. Это свойство не может привести к изменению величины т] вследствие изменения распределения по энергиям, так как вообще не может привести к изменению распределения по энергиям. Эренфесты нигде не указывают также на отмеченные выше свойства величины 2, отличающие ее от энтропии. По этому вопросу они ограничиваются тем, что приводят замечание Планка о преимуществе больцмановского выражения для энтропии (как дающего возможность определять зависимость энтропийной константы от концентрации различных сортов молекул) и замечание Лоренца [12, стр. 83] о неясности определения ансамбля, служащего для определения энтропии неравновесного состояния. [c.50]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...