Матрица плотности, определени

Подставляя сюда элементы матрицы плотности, определенные формулами (14.5), приходим к следующему выражению для дипольного момента молекулы [c.197]

Матрица плотности, определение 208 [c.514]

Плотность тока для одноэлектронных функций общего вида люжет быть записана с помощью соответствующим образом определенной матрицы плотности. Подставив (19.7) и (19.9) в (19.8), получим [c.711]

Матрица плотности — положительно определенный самосопряженный оператор р, удовлетворяющий условию [c.269]

Вышеприведенные определения легко обобщаются на случай квантовых систем. Как нам известно из разд. 2.3, средние при этом определяются в форме шпура, который берется с матрицей плотности р. Единственная тонкость связана с тем, что произведение операторов yz неоднозначно, так как у ж z ъ общем случав [c.312]

У равнения Дайсона. К задаче о вычислении функций Г рина и корреляционных функций можно подойти с разных сторон. Например, дифференцируя их по временным аргументам и используя затем уравнения движения для операторов поля, можно получить так называемую цепочку уравнений Мартина-Швингера [124], которая аналогична цепочке уравнений для приведенных матриц плотности, рассмотренной в главе 4 первого тома. Расцепляя на каком-то шаге цепочку Мартина-Швингера с помощью аппроксимаций для высших функций, можно получить приближенные замкнутые уравнения для одночастичных функций Грина и корреляционных функций (см., например, [49]). Другой путь состоит в том, чтобы записать гамильтониан в виде Я = Я + Я, где Я описывает свободные частицы, и перейти в представление взаимодействия, разложив функции Грина и корреляционные функции в ряды по Я. Для суммирования бесконечных последовательностей членов теории возмущений удается построить диаграммную технику [19] (см. также [55]). В настоящее время хорошо изучена связь аппроксимаций высших функций в цепочке Мартина-Швингера с суммированием диаграмм определенных типов, поэтому выбор подхода, во многом, дело вкуса. Поскольку метод уравнений движения более удобен для исследования общих свойств временных функций Грина, именно им мы и воспользуемся ). [c.43]

Удобно ввести матрицы плотности комплексов s-частиц, определенные подобно 5-частичны. 1 функциям распределения (45.6) следующим образом [c.211]

Переходя к определению величины Е (см. (18)), нужно повторить вывод выражения для тензора (17), делая замену р + М на рГ в формулах (15), определяющих матрицу плотности и вакуумные средние. Это дает [c.224]

Поскольку строгая теория лазера достаточно сложна, мы разобьем наше рассмотрение на два этапа. В данной главе мы будем оперировать с квантовомеханическими уравнениями Ланжевена. Это даст нам возможность найти наиболее интересные и важные характеристики лазерного излучения, а именно его когерентность, шумы и статистику фотонов, способом, который достаточно легко понять и который позволит провести прямое сравнение с экспериментальными данными. В гл. 11 мы разовьем другой подход к квантовой теории лазерного излучения, на этот раз основанный на уравнении для матрицы плотности. Уравнение для матрицы плотности будет преобразовано в обобщенное уравнение Фоккера—Планка, а последнее затем будет приведено (при выполнении определенных условий) к уравнению, которым мы будем пользоваться в разд. 10.5. Читатели, которых не слишком интересуют детали такого квантовомеханического вывода, могут пропустить гл. 11. Для читателей, недостаточно знакомых с квантовой теорией, особенно с теорией квантованных полей, мы приведем следующее важное соображение. Из чтения последующих разделов читатель скоро обнаружит, что квантовые уравнения лазера очень похожи на полуклассические уравнения. Действительно, квантовые уравнения лазера имеют почти такой же вид, как полуклассические, различие лишь в наличии дополнительного члена, представляющего флуктуационные силы. Хотя соответствующие уравнения являются операторными, их физический смысл можно объяснить, оставаясь на классических позициях. [c.250]

Относительно переменных термостатов мы предполагаем, что они отвечают тепловому равновесию при определенных значениях температуры. Очевидно, что нам потребуется получить уравнение для эффективной матрицы плотности р. [c.292]

Определение и свойства. В предыдуш,ем разделе мы обосновали введение матрицы плотности как наиболее обш,его описания квантового состояния. В каждом случае, когда у нас нет достаточной информации о системе, мы вынуждены пользоваться формализмом матрицы плотности. Так, в рассмотренном выше примере мы не знали фаз амплитуд вероятности. В данном разделе кратко изучим ряд свойств матрицы плотности. [c.69]

След оператора. Операция следа определена не только для матрицы плотности, но и для любого оператора О. Так, определение следа оператора О имеет вид [c.70]

Если подставить определение матрицы плотности, то [c.72]

Определения функции Вигнера (3.1) и (3.2) сформулированы в терминах матрицы плотности или билинейной формы от волновой функции. Поэтому общая стратегия нахождения функции Вигнера заключается в том, чтобы начать с квантового состояния, заданного с помощью р или ф), вычислить эти величины в сдвинутых точках х /2 и осуществить фурье-преобразование по отклонению Такая процедура предполагает, что путь к функции Вигнера всегда лежит через [c.99]

Действительно, если вспомнить определение среднего значения оператора А через матрицу плотности [c.114]

Чтобы вычислить ( -функцию, мы подставляем выражение (12.12) для матрицы плотности в определение (12.7) функции Q и, используя формулу для амплитуды вероятности [c.369]

Определение Р-распределения. До сих пор мы представляли матрицу плотности в базисе состояний с определённым числом т). Мы нашли это представление, умножая условие полноты [c.380]

Подставляя атомную матрицу плотности (20.7) в определение (20.8), мы получаем выражение для функции Вигнера [c.644]

Однако можно с самого начала в уравнениях движения для атомных систем элементы матрицы плотности и их производные по времени заменить определенными математическими ожиданиями, для которых тогда получатся дифференциальные уравнения. Во многих случаях такой метод обладает преимуществами по отношению к обычному пути. Они заключаются прежде всего в том, что эволюция атомных систем может быть описана математическими ожиданиями таких величин, как [c.256]

Н=—дЕ). Покажем теперь, как можно перейти от этих уравнений для матрицы плотности к дифференциальным уравнениям для математических ожиданий определенных операторов. Операторы могут не зависеть явно от времени, т. е. имеет место уравнение [c.258]

Здесь о, а 2)Н) и 2) медленно меняются со временем в квазиклассическом приближении. Уравнение (2.8) является исходным для построения кинетического уравнения. В соответствии с обычными принципами получения кинетического описания системы следует ввести некоторую операцию огрубления матрицы плотности. Из (2.8) видно, что матрица р т( ) определена на множестве волновых пакетов, центры которых движутся по траекториям, удовлетворяющим определенным начальным и граничным условиям. Поэтому огрубление можно провести, напрпмер, с помощью замены [c.204]

Подчеркнем еще раз, что при выводе окончательного выражения для среднего значения физической величины системы была использованы два способа усреднения. Первый, введенный формулой (3.134), соответствует квантовомеханическому представлению. Второй (формула (3.135)) является следствием недостаточно полной информации о системе и представляет собой аналог процедуры усреднения в классической статистике. При проведении усреднения и такой форме привлекается определение матрицы плотности. [c.97]

Найдем теперь вид матрицы плотности в предельном случае когда она описывает систему с определенной волновой функцией. [c.98]

Из определения матрицы плотности (11.25) видно, что она самосопряженна, или эрмитова [c.191]

На оптических астотах необходимо описывать иоле квантовомеханически, статистическая природа функции состояния поля или матрицы плотности налагает определенные ограничения на точность и степень достоверности, с которой поле может быть измерено. Кроме того, в оптическом диапазоне важно не только как измеряется поле, но и с помощью какого прибора. [c.246]

Прежде всего из выражений (3.6.11) и (3.6.16) должно быть ясно, что вигнеровские функции представляют собой средние значения операторов (вычисленные с матрицей плотности р), которые не являются положительно определенными. Это означает, что вагнеровские функции не являются положительными или равными нулю) во всех точках, а могут принимать и отрицательные значения. Следовательно, их нельзя интерпретировать как плотности вероятностей. Это та цена, которую приходится уплатить, чтобы не нарушить принципа неопределенностей Гей-эенберга фазовое пространство не может играть такую же роль, как в классической механике. Теперь уже невозможно связывать точку с состоянием системы. Замечательно, однако, что вигнеров-ские функции дают абсолютно самосогласованный формализм вычисления средних, аналогичный вероятностному, хотя его интерпретация другая. Однако во многих случаях эта интерпретация совершенно несущественна, ибо функции распределения в фазовом пространстве не являются непосредственно наблюдаемыми физическими величинами. [c.118]

Квантовая цепочка уравнений для приведенных матриц плотности. Рассмотрим для определенности квантовую систему бозонов или фер-мионов с гамильтонианом Я = Я + Я, где Я и Н определяются выражениями (4.1.25) и (4.1.27) соответственно. Для упрощения формул мы будем часто использовать краткую форму записи квантовых чисел одночастичных состояний = 1, / = 1 и т. д. Итак, запишем гамильтониан в виде [c.266]

Работа состоит из шести глав. Первая глава посвящена разбору возможностей, предоставляемых классической механикой для решения названной основной задачи, и критике относящихся сюда работ, основанных на классической механике. Вторая глава посвящена аналогичному рассмотрению в квантовой механике. В третьей главе разбирается вопрос об описании немаксимально полных опытов, в частности об условиях применимости понятия статистического оператора матрицы плотности). В четвертой главе выводятся некоторые ограничения, которые накладываются на возможности измерений, производимых над макроскопическими системами, условием сохранения их заданной макроскопической характеристики. Значительная часть вопросов, затронутых в третьей и четвертой главах, заключается в получении свойств релаксации, Я-теоремы и т. д.— утверждений макроскопических, т. е., казалось бы, не связанных с вопросами о возможностях измерения. Поэтому, чтобы при решении поставленной в работе задачи не казалось странным возникновение этих вопросов, отметим сразу же, что самая суть поставленной задачи заключается в выяснении связи макроскопических утверждений с микромеханикой, а уравнениям последней можно, как известно, придать физический смысл лишь в связи с возможностями измерений. Пятая глава посвящена общим понятиям о релаксации физических систем, об j/У-теореме и о средних во времени значениях физических величин. В шестой главе выясняется связь между существованием релаксации и определенными свойствами гамильтониана системы. [c.16]

В то время как максимально полный опыт, заключающийся в определении собственных значений всех коммутирующих друг с другом эрмитовских операторов, описывается в квантовой механике Т-функцией, опыт немаксимально полный, по общепринятым сейчас представлениям, всегда может быть описан статистическим оператором (так называемым оператором Неймана [29] или матрицей плотности, см. 4 гл. II). Все квантовомеханические попытки интерпретации статистики исходят поэтому из описания статистических систем либо при помощи Т-функций, либо при помощи статистических операторов. В настоящей главе мы будем рассматривать возможности различных точек зрения, исходя сначала из максимально полного описания, потом — из статистических операторов. Мы переносим в главу III исследование вопроса о возможности описания немаксимально полных опытов при помощи статистических операторов, и следуем в этой главе общепринятым представлениям. [c.136]

Поскольку (г ) Ч (г) = р (г, г) представляет собой матрицу плотности в координатном представлении для чистого состояния, то, имея в виду определение (51.6), можно теперь записать следующее соотношение, определяющее правило вычисления срсдггах с помощью матрицы плотности смешанного представления [c.209]

Невозможность состояний с определенными импульсом р и координатой г может быть понята также следующим образом. Как легко пидеть из формулы (51.1), нормированная иа единицу матрица плотности в координатном представлении должна удовлетворять условию [c.210]

Случайные столкновения между атомами приводят к статистичес-кой неопределенности фаз у a t) и b t). Это означает, что для определения поляризации Р в макроскопических уравнениях Максвелла, [в частности, в (1.2.8)] необходимо провести усреднение по времени в выражении (1.2.21). Таким образом, необходимо найти <а6 > и а Ь) (здесь скобки <...> означают усреднение по ансамблю), т. е. недиагональные элементы матрицы плотности [6] [c.23]

Восприимчивости высшего порядка. Способ вычисления восприимчивостей высшего порядка аналогичен использованному для вычисления 1 <( >( о). Он основан на определении при помощи теории возмущений соответствующего порядка недиагональных элементов матрицы плотности. Хотя явный расчет достаточно сложен, он не содержит никаких особых физических рассужде- [c.244]

При квантовомеханич. описании макроскопич, систем всякая физич, величипа является оператором или соответствующей ему матрицей. Понятие статп-стич, усреднения заложено уже в самом аппарате квантовой мехапики. Роль ф-ции распределения играет здесь статистический оператор w (наз, также статистической матрицей, или матрицей плотности). Ф-ла для среднего значения к.-н. физич, величины/ принимает вид /= Sp/u , где Sp — сумма диагональных элементов матрицы. Принципиальное отличие квантовой системы, состоящей из большого числа частиц, по аналогии с классич, случаем, состоит в том, что для вычисления / нельзя пользоваться обычной квантовомеханич, ф-лой 7 = ( 1 з (q)f ( ) dg, поскольку определение волновой ф-ции системы г]) иред- [c.72]

Аналогично р выражается через Ф-ции зависят только от способа распада частицы е вся зависимость от того, каким способом она получена, содержится в величинах > играющих роль матрицы плотности частицы е. Пусть pj = 1, тогда разложение р по сферич. ф-циям содержит гармоники порядка не выше 2Sg. Т. о., по количеству сферич. гармоник, необходимых для описания углового распределения, можно определить наименьшее возможное зпачеиие спина Sg частицы е. Именно на такой оценке основано определение спина т. н. Г -мезона [4]. Для двухчастичного распада нестабильной частицы с нулевым спином, а также для аналогичного распада частицы со спином 1/2, если распад идет с сохранением четности, распределение продуктов распада — изотропное. Если Sg = 1/2, четность в распаде не сохраняется и частица е поляризована, то распределепие продуктов — не изотропное (на этом принципе основан опыт Ву). В случае, когда одна из начальных (и одна из конечных) частиц имеет спин 1/2, а остальные — нуль, существует простой способ определения, Sg [5]. При анализе трехчастичных распадов пользуются т. и. диаграммами Далица [6]. [c.224]

Уравнение (2.19) совпадает по форме с кинетическим уравне нпем Паули. Его вывод, данный выше, содержит две особенности. Во-первых, использовано свойство перемешивания Я-систем по фазам. Это свойство приводит к потере памяти о начальных условиях и к быстрому затуханию за время порядка Тс недиагонадь-ных элементов матрицы плотности. Тем самым не возникает необходимости использовать априори предположения о случайности фаз. Во-вторых, кинетическое уравнение (2.19) получено для определенным образом огрубленной матрицы плотности. Сам способ огрубления также следует из свойств Я-систем, так как операция огрубления производится по той же переменной, по которой происходит быстрый процесс перемешивания. [c.207]

Существует определенное сходство в формальных выражениях для матрицы плотности в квантовой механике и для корреляционной функции случайного классического волнового поля. Однако, по существу, эти физические объекты разительно отличаются друг от друга. Дело в том, что волновая функция квантовой механики в простейщем случае относится только к одной частице. Грубо говоря, она реальна только там, где эта частица существует, и имеет мало смысла для тех областей, где частицы нет. Можно сказать и по-другому. В квантовой механике все физические величины получаются в результате действия некоторых операторов на волновую функцию. Соответственно, средние значения этих величин можно получить путем их усреднения с весом ф . Отсюда видно, что абсолютная фаза и абсолютная амплитуда волновой функции не имеют физического смысла и могут быть выбраны для удобства расчетов по своему усмотрению. Поэтому сильные относительные изменения амплитуды в далеких по расстоянию точках не приводят к заметному изменению локальных физических величин, если градиент ф при этом изменяется ничтожно мало. По этой причине 1 / -функция приобретает смысл распределения вероятностей, а не распределения реальной плотности или волнового движения, как в случае классических полей. [c.57]

Если опять провести аналогию с классическим полем, то можно сказать, что в случае чистого состояния фазы отдельных волн скоррелированы друг с другом, т.е. не являются полностью хаотическими. Переход к тепловому равновесию сопровождается хаотизацией фаз и разрушением когерентности. При этом частица может находиться только в одном из взаимно некогерентных состояний. Соответственно, при полной хаотизации фаз недиагональные члены в (77) исчезают, и мы приходим к обычному определению равновесной матрицы плотности с больцмановским распределением вероятностей по энергиям. [c.62]

О такой системе говорят как о находящейся в чистом состоянии , в противоположность случаю смешанного состояния , когда волновая функция не известна. Ясно, что для чистого состояния все системы внутри ансамбля описываются одной и той же волновой функцией, например Р , и при определении значения физической величины фактически используется только один процесс усредие-иия — квантовомеханический. Для каждого чистого состояния можно провести полный эксперимент [3] в том смысле, что его результат является предсказуемым с полной определенностью, если он выполнен для системы, находящейся в подобном состоянии. Это можно понять, если вспомнить, что с наблюдаемым значением параметра системы связан эрмитов оператор, так что постановка полного эксперимента эквивалентна нахождению оператора, которому в качестве собственной функции соответствует волновая функция чистого состояния. Необходимое и достаточное условие того, что матрица плотности р описывает чистое состояние, выражается равенством [c.98]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...