Коэффициенты Клебша — Гордана

Если предполагать, что и в поле линейной поляризации имеет место только увеличение орбитального момента в процессе поглощения каждого фотона, то матричные элементы 11Г-фотонного процесса в линейном и циркулярном поле отличаются друг от друга лишь коэффициентами Клебша-Горд ана, а радиальные матричные элементы и энергетические знаменатели одинаковы. Таким образом, отношение сечений 11Г-фотонной ионизации в циркулярно и линейно поляризованном полях может быть вычислено в общем виде, не вникая в структуру атомных уровней. Это было сделано впервые в работе [5.17] [c.120]

В русское издание книги включены два дополнения, помещенные в конце второго тома. В первом из них, подготовленном сотрудницей автора профессором Р. Беренсон, излагаются полученные в последнее время результаты по применению кристаллических коэффициентов Клебша — Гордана в ряде задач спектроскопии твердого тела. Второе дополнение, написанное К. К. Ребане и В. В. Хижняковым, посвящено теории резонансного вторичного свечения кристаллов. Проблеме резонансного рассеяния в основном тексте книги уделено мало места, хотя автор подчеркивает то значение, которое она приобрела в последние годы. Указанное дополнение имеет целью на примере примесного центра в кристалле дать представление о том, каким образом при резонансном возбуждении в полосе поглощения благодаря свойственным кристаллу быстрым процессам колебательной релаксации подавляющая доля энергии трансформируется в люминесценцию и каким образом из общего потока вторичного свечения можно выделить две другие компоненты — рассеяние и горячую люминесценцию. [c.7]

В настоящем издании исправлены все найденные опечатки и дана дополнительная литература, которая поможет читателю ориентироваться в текущих публикациях. Кроме того, добавлены короткая новая глава и таблицы, содержащие последние результаты работ по применению коэффициентов Клебша — Гордана для предсказания формы тензора рассеяния при наличии внешних электрического и магнитного полей или внешнего давления. Эти результаты будут полезны при анализе новых экспериментов. [c.9]

Книга построена следующим образом. В 1—65 описываются структура, неприводимые представления и коэффициенты Клебша — Гордана для кристаллических пространственных-групп. В 66—ПО теория кристаллической симметрии с учетом сопредставлений применяется к классической динамике решетки. В 111—118 и в т. 2, 1—6 приводится квантовая теория колебаний кристаллической решетку и теория инфракрасного поглощения и комбинационного рассеяния света. Здесь же в общем виде показана полезность применения теоретико-группового анализа к задачам такого типа. Наконец, в т. 2, 7—36 дается детальное применение общей теории к оптическим спектрам инфракрасного поглощения и комбинационного рассеяния света для диэлектриков со структурой алмаза и каменной соли (пространственные группы 0 и 0 ). Даны примеры идеальных и неидеальных кристаллов обоих типов. [c.10]

Ряды вида (17.6) или (17.4) известны под названием рядов Клебша — Гордана, а числа (II т) часто называют коэффициентами Клебша — Гордана . Мы предпочитаем использовать термин коэффициенты приведения во избежание путаницы с обычными коэффициентами Клебша — Гордана (см. 18). [c.59]

Более полный анализ можно выполнить в том случае, когда прямое произведение представлений в виде (17.1) или в виде (17.2), подобном (17.1), преобразуется унитарной матрицей и при этом приводится к полностью приведенной или блочно-диагональной форме. Матричные элементы унитарной матрицы, преобразующей одновременно все матрицы к приведенной форме, называются коэффициентами Клебша — Гордана. Эти матричные элементы имеют также и другой валшый и близко связанный с предыдущим смысл они являются элементами матрицы, преобразующей пространство прямого произведения [левая часть равенства (17.5)] в неприводимые пространства [правая часть равенства (17.5)]. Другими словами, эти матричные элементы позволяют определить правильные линейные комбинации произведений функций (каждое из этих произведений содержит по одной функции из каждого пространства), являющихся базисом для неприводимого представления пространства прямого произведения. Как вскоре выяснится, коэффициенты приведения содержат меньшую информацию. [c.61]

Таким образом, для И 1")> 1 выбор коэффициентов Клебша— Гордана неоднозначен. Любые линейные комбинации этих коэффициентов одинаково правильны. [c.62]

Докажем теперь, что матрица, образованная коэффициентами Клебша — Гордана, выполняет приведение прямого произведения матриц (17.1), (17.2). Вспомним определение оператора Рл преобразующего функции согласно (14.3), (14.4). Применяя Рд к обеим частям равенства (18.4), получаем [c.63]

Таким образом, коэффициенты Клебша — Гордана являются элементами унитарной матрицы, которая преобразует прямое произведение к приведенному виду. [c.64]

Если положить в (18.24) V = V, V = V и v" = v", то можно определить, какие из коэффициентов отличны от нуля. Отыскав отличный от нуля коэффициент, скажем при V =.Vo, V = V и v" = v", можно выбрать его фазу так, чтобы он был вещественным, затем фиксировать v = vg, v = Vg и v" = v" и далее рассмотреть все возможные значения V, V и у". Такая процедура дает всю матрицу коэффициентов Клебша — Гордана для [c.66]

Следовательно, мы можем поступать так же, как в случае (И 1") = 1, находя отличный от нуля коэффициент, фиксируя у = v = v и " — у" и придавая V, V и у" все возможные значения. Это дает матрицу коэффициентов Клебша — Гордана для 7=1. Выберем теперь Vo, о совпадающие с первой тройкой и дающие другие отличные от нуля коэффициенты. Положим V = Уо, у = уц и = и пусть V, V, у" принимают [c.66]

Если матрицу коэффициентов Клебша — Гордана в исходном базисе функций ф обозначить для простоты как а для преобразованного базиса ср как К , то мы получим [c.67]

Операторы проектирования можно использовать для нахождения базисных функций представлений иДУ >, затем образовать произведения и далее использовать (18.34) для проектирования тех линейных комбинаций произведений, которые преобразуются как фУ, . Таким образом, операторы проектирования можно использовать для нахождения коэффициентов Клебша — Гордана. Поскольку в этом методе требуется сначала вычислить базисные функции, прош,е использовать (18.23), для чего требуется только знание представлений. Однако, если базисные функции известны, операторы проектирования позволяют произвести хорошую проверку коэффициентов, вычисленных с использованием (18.23), так как, согласно (18.32), должно выполняться равенство [c.68]

Теория коэффициентов Клебша — Гордана для пространственных групп ) [c.154]

Несмотря на то что кристаллические пространственные группы известны уже в течение более 80 лет [13—15], задача о нахождении коэффициентов приведения и коэффициентов Клебша— Гордана была поставлена сравнительно недавно. В этом параграфе мы изложим некоторые из последних результатов в этой области. Поскольку следует ожидать, что работа в области теории, расчетов и приложений коэффициентов Клебша — Гордана для пространственных групп будет в ближайшем будуш,ем быстро развиваться, читателю рекомендуется ознакомиться с современной научной литературой по этому вопросу. Рассмотрение в 134 посвящено вычислению некоторых из этих коэффициентов для структуры алмаза. [c.155]

Коэффициенты Клебша —Гордана определяются соотношением [c.155]

Воспроизводя вывод коэффициентов Клебша — Гордана для конечных групп в 18, получим следующее уравнение, аналогичное (18.М) [c.156]

Следовательно, коэффициенты Клебша — Гордана равны нулю, за исключением случая, когда [c.157]

Для простоты обозначений соотношение (60.10) записано для случая кратности, равной единице. Аналогично можно также проанализировать случай большей кратности [51,52], однако этого анализа мы здесь не приводим. Назовем коэффициенты Клебша — Гордана, определенные соотношением (60.10), блоком коэффициентов с индексами (111). Их можно получить тем же методом, что и в 18 [см. (18.15) и далее]. При этом следует выбрать некоторые а = а = ао, а = а = а л а" = а" = а", такие, чтобы правая часть соотношения (60.10) была отлична от нуля. Затем следует фиксировать фазу величин счи- [c.157]

Чтобы вычислить коэффициенты Клебша — Гордана блока с индексами (а, а, а"), поступим следующим образом. Выберем некоторый отличный от нуля элемент Uaaa a, a"a" и обозначим его через U Тогда имеем [c.158]

Подводя итоги, мы видим, что полный набор коэффициентов Клебша — Гордана для пространственной группы определяется с помощью соотношения (60.10) для блока с индексами (111) и с помощью соотношения (60.21) для остальных блоков, причем элементы ф [ и j определяются соотноше- [c.160]

Результаты предыдущей главы имеют много физических применений. Очевидно, что классификация собственных векторов по симметрии является полезной сама по себе. Затем свойства симметрии собственных векторов можно использовать в разного рода тензорных вычислениях аналогично более известному квантовомеханическому случаю, который будет обсуждаться ниже в гл. 11, где нужно вычислить матричные элементы, являющиеся интегралами от произведений функций. В классической динамике решетки реализуется похожая ситуация. В ней при определении свертки оператора с собственными векторами возникают величины, напоминающие матричные элементы. Такая свертка похожа на скалярное произведение, и получаются соотношения, напоминающие формулу Вигнера — Экарта. Такое рассмотрение допускает максимальное использование симметрии, в частности если имеются в распоряжении соответствующие коэффициенты Клебша — Гордана. Как следует из 18, 60 и т. 2, 16, коэффициенты Клебша — Гордана для пространственных групп стали публиковаться только в последнее время, но можно надеяться, что они будут вычислены в большом количестве в ближайшем будущем,- Использование тензорного анализа упрощает расчеты такого рода и показывает, что рассматриваемые метричные элементы можно представить в виде произведений приведенных матричных элементов на множители, полностью определяемые симметрией. [c.298]

Для определения правильных линейных комбинаций нужно использовать операторы проектирования или, если они известны, коэффициенты Клебша — Гордана для возникающих в теории тензоров. [c.349]

ВОЛНОВОЙ функции на многоэлектронную волновую функцию. Именно такая запись волновой функции в виде произведения позволяет установить симметрию собственных состояний решетки, так как наше рассмотрение пространственно-временной группы симметрии и ее неприводимых представлений и копредставлений можно перенести и на квантовый случай (см. 116— 118). Если мы знаем симметрию собственных состояний решетки, то с помощью теоремы Вигнера— Экарта и нашего рассмотрения коэффициентов приведения для пространственных групп и коэффициентов Клебша — Гордана мы можем проанализировать матричные элементы, ответственные за инфракрасное поглощение и комбинационное рассеяние света. [c.352]

Вероятность комбинационного рассеяния света на колебаниях решетки дается выражением (3.45). Это выражение можно переписать в более удобной форме, позволяющей вывести основные поляризационные эффекты. В этом пункте мы покажем, что элементы тензора рассеяния первого порядка представляют собой в действительности просто коэффициенты Клебша—Гордана. Это рассмотрение должно сделать более понятной структуру элементов тензора рассеяния, а также подготовить нас к вычислению тензоров рассеяния для новых случаев, соответствующих, например, резонансному комбинационному рассеянию света с нарушением симметрии, которое рассматривается в 6,д. [c.42]

В этом и состоит основной результат. Элементы тензора рассеяния представляют собой коэффициенты Клебша — Гордана. Постоянная с (к] ) зависит только от неприводимого представления. Такой результат поясняет физический и математический смысл элементов тензора рассеяния. [c.45]

Чтобы применить в рассматриваемом случае результат (5.13), достаточно воспользоваться имеющимися таблицами коэффициентов Клебша — Гордана для кристаллографических точечных групп [28], в частности для группы Он. Требуемые матричные элементы Рар(Г/ л) просто находятся по таблице. В данной задаче каждое из представлений в (5.14) соответствует симметрии фононов, разрешенных в комбинационном рассеянии света. [c.46]

Коэффициенты Клебша — Гордана для <" > (Э в случае структуры алмаза ) [c.134]

В соответствии с результатами предыдущих параграфов мы можем теперь считать известными все коэффициенты приведения для пространственных групп как алмаза, так и каменной соли. Следующий шаг в изучении прямых произведений — получение коэффициентов Клебша— Гордана. Напомним, что согласно определениям в т. 1, 18 и 60, коэффициенты Клеб- [c.134]

Несмотря на очевидную важность получения коэффициентов Клебша — Гордана, до настоящего времени они были вычислены лишь в нескольких случаях. Очевидно, если бы эти коэффициенты были хорошо изучены, для них нашлось бы много приложений, так как всегда желательно максимально использовать свойства симметрии, а коэффициенты Клебша — Гордана как раз и позволяют это сделать благодаря тому, что с их помощью могут быть получены правильные линейные комбинации функций. [c.135]

Воспользуемся теперь для получения коэффициентов Клебша— Гордана методом, описанным в т. 1, 60. [c.135]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...