Случай Клебша

В старых работах по гидродинамике принята следующая терминология. Если выполнено (5.5) и среди чисел ai,a2,a-s нет равных, то это — первый случай Клебша. Если aj = u2 Ф a-s, то из (5.5) вытекает, что С = С2- Это — второй случай Клебша (частный случай Кирхгофа). Наконец, при щ = й2 = аз имеем третий случай [c.91]

Положим V = (/1X1-1-/2X2-1-/3X3). Получим задачу Бруна, уравнения которой, по аналогии Стеклова, тождественны уравнениям интегрируемого случая Клебша уравнений Кирхгофа. Если поло- жить теперь /1 = а, /2 = 6, /3 = с, то гамильтониан Е будет равен С/2 - гГ. Ясно, что Е = 0 и Я = абсе — тождественные гиперповерхности в К = р, х . Покажем, что возникающие на них [c.94]

Заметим, что матрица В в интегрируемом случае Стеклова определяется условием (4.2) (см. соотношение (5.6) гл. II). Условие (4.3) дает интегрируемый случай Клебша (см. (5.5) в гл. II). Интересно отметить совпадение вида условий (4.2) и (4.3). [c.280]

Заметил аналогию между случаем Клебша и задачей Бруна. В 1909 г указал новое интегрируемое семейство для задачи о движении твердого тела с полостями, заполненными жидкостью (уравнения Пуанкаре - Жуковского). Привел два частных решения уравнений Эйлера-Пуассона (одно из них — одновременно с Д. К. Бобылевым). [c.25]

Чаплыгин, Сергей Алексеевич (5.4.1869-8.10.1942) — русский математик и механик, один из основоположников современной гидроаэромеханики. Указал частный случай интегрируемости при нулевой постоянной площадей уравнений Эйлера-Пуассона, обобщив при этом более частное решение Д. П. Горячева, а также более частные решения, характеризуемые системой линейных инвариантных соотношений. Для уравнений Кирхгофа также нашел аналогичный случай частной интегрируемости и его обобщения, исследовал винтовые движения, дал геометрическую интерпретацию различных движений, в частности, для случая Клебша). Вывел уравнения движения тяжелого твердого тела в жидкости и более подробно исследовал случай плоского и осесимметричного движения. [c.25]

Эта задача рассматривалась Бруном [198]. Ф. Тиссеран рассматривал ту же задачу в связи с движением твердого тела под действием ньютоновского гравитирующего центра [275]. При этом квадратичный потенциал в (1.4) появляется как квадрупольное приближение в разложении ньютоновского потенциала по отношению размеров тела к удалению от ньютоновского центра. Оказывается, что задача Бруна эквивалентна интегрируемому случаю Клебша в уравнениях Кирхгофа (см. 4 гл. 3). Эта аналогия (1.4) была замечена В. А. Стекловым [272]. [c.166]

Этот гамильтониан соответствует случаю Клебша (см. далее) при дополнительном условии М, 7) = О, то есть зафиксирован нулевой уровень функции Казимира F2 (1.3). Отмеченная аналогия между движением точки по сфере и движением твердого тела сохраняется и в п-мерной ситуации (см. [195]). Связь задачи Неймана и случая Клебша с автомодельными решениями уравнений Ландау-Лифшица рассматриваются в 6 гл. 5. [c.167]

Замечание 4. В работе [250] Г. Минковский указал аналогию случая Клебша с задачей Якоби о геодезических на эллипсоиде, тем самым предложив свой способ его интегрирования. Развитие этой аналогии приведено выше в п. 1 этого параграфа (см. также [195]). [c.172]

Обобщение этого семейства на уравнения Пуанкаре-Жуковского приведено в 2 гл. 3. Кроме того, это семейство, в отличие от случая Клебша, допускает также добавление линейньк по М, 7 членов (гироскопические добавки) (см. ниже). [c.174]

Комментарии. Для исследования случаев Клебша и Стеклова - Ляпунова, начиная с момента их открытия и следуя общей идеологии того времени, старались проинтегрировать в эллиптических функциях. Этим вопросом занимались Г. Вебер, Г. Г. Альфан, Ф. Кёттер. Г. Вебер проинтегрировал второй случай Клебша [282] при = О, т.е., по существу, задачу Нейма- [c.174]

Приведенные в книгах [9, 61] методы сведения к квадратурам случая Клебша, принадлежащие Коббу и Е. И. Харламовой, реально не дают возможности получить общее решение. Кобб записал гамильтониан системы в углах Эйлера, а Е. И. Харламова [172] — в сфероконических координатах. Но ни в тех, ни в других координатах случай Клебша не разделяется на ненулевой постоянной площадей. Отметим также, что в неопубликованных рукописях [180] [c.175]

Интегрируемое обобщение случая Клебша не известно, обобщение семейства Стеклова-Ляпунова получено В.Н. Рубановским [149], а соответствующее представление Лакса указано в работе [208]. Гиростатическое обобщение случая Чаплыгина (I) получено X. Яхьей [285] (приведено [c.177]

В 1891 г. Ф. Шоттки в работе [265] открыл первый интегрируемый случай системы (2.8) и заметил его связь со случаем Клебша в уравнениях Кирхгофа. При этом В = О и гамильтониан задается формулой (2.11), а коэффициенты матриц А, С удовлетворяют соотношениям (2.12) с произвольными параметрами /л = О,..., 3. Этот случай обычно также связывают с именем С. В. Манакова, который показал интегрируемость его п-мерного аналога (1976, [121]). [c.187]

При помощи ретракции алгебра во(4) переходит в алгебру е(3), при этом случай Шоттки-Манакова переходит в случай Клебша (С.П.Новиков, [133]). Действительно, выполним следующие замены переменных и параметров [c.191]

Уравнения движения для переменных [Ь, 7) соответствуют случаю Клебша на алгебре е(3) с гамильтонианом вида [c.192]

А. А. Ошемкова [140] (см. также книгу [25]). В силу линейного изоморфизма со случаем Клебша результаты этого анализа эквивалентны полученным в работе [143]. [c.192]

Случай п = —1 в (3.12), как замечено в [36], сводится к п = 1, соответствующему задаче Бруна (или случаю Клебша) при помощи линейного преобразования [c.204]

Замечание 2. Рассматривая в качестве гамильтониана и используя кватернионное представление (см. 3 гл. 5), получим интегрируемую задачу о движении четырехмерного твердого тела в квадратичном потенциале специального вида. Эта система также может рассматриваться как обобщение случая Клебша ( 1 гл. 3). [c.211]

Эта задача оказывается эквивалентной многим другим интегрируемым динамическим системам, возникающим в различных разделах механики и физики, например, случай Клебша в уравнениях Кирхгофа, 1 гл. 3. [c.216]

Редукция no интегралу Мз = onst и переменные (1.16) уже использовались нами в 4 гл. 3 для установления взаимосвязи между задачей Бруна при условии динамической симметрии и интегрируемым случаем Клебша уравнений Кирхгофа. [c.228]

Укажем дополнительные условия, при которых система (4.6) вполне интегрируема. Действительно, при b = Ь2 = = г = О мы имеем интегрируемый случай Клебша (при с = О — систему Неймана), а при Ъ =Ъ2 = = Ьз = О, с = О — случай Лагранжа для одного поля. [c.250]

При помощи любопытной линейной замены, предложенной Л. Е. Веселовой [55] этот случай интегрируемости может быть сведен к случаю Клебша. Она имеет вид [c.290]

Система (6.5)-(6.6) представляет собой случай Клебша уравнений Кирхгофа (см. 1 гл.3), который при М, д) = —а = О (т.е. для стационарного решения типа стоящей волны) изоморфен системе Неймана. Эта аналогия была указана А. П. Веселовым в [51]. [c.292]

В работе [242] указаны явные аналитические выражения для асимптотических решений к неподвижной точке в случае Клебша. Оказывается, что в общем случае (-М, 7) = с 7 О в этой задаче существует три типа неподвижных точек эллиптические, типа седло-центр и седлового типа. В последнем случае характеристические показатели при определенных с имеют вид (а + г/3), а, /3 К, а/З = О и ситуация аналогична задаче Лагранжа. Указанные двоякоасимптотические решения были использованы для изучения возмущений случая Клебша в работе [114]. Отметим, что как замечено Деванеем [203] при с = О, сепаратрисы к гиперболической точке трансверсально пересекаются, что, тем не менее, не противоречит интегрируемости системы Неймана, а условие /3 = 0, возникающее в этом случае, создает дополнительные сложности при исследовании возмущенной ситуации. [c.324]

В 1 гл. 3 показано, что при таком траекторном (вследствие замены времени) изоморфизме задача Якоби изоморфна случаю Клебша на нулевой постоянной площадей. При В = Е имеем движение по сфере 8" и гамильтониан (10.4) можно записать в виде [c.327]

В первом случае приведенные условия интегрируемости являются то1сже достаточными и оиределяюг интегрируемый случай Клебша [7]. Во втором случае, кок показывает численный эксперимент, приведенный на рис. 4 2, полученные условия недостаточны [c.23]

Как было указано, В В. Козлов обобщил случай Клебша (Бруна) на уравнения (29) Остается вопрос, не решаемый аналитическими средствами, о распространении на не-голономную систему (29) интегрируемых случаев Ковалевской, Горячева-Чаплыгина, Гес-са-Апельрота классической задачи, а также случаев Стеклова и Чаплыгина задачи Кирхгофа (случаи Лагранжа и Кирхгофа в этих задачах тривиально обобщаются) [c.39]

Мы не будем подробно рассматривать этот случай, но сошлемся на книгу Теория упругости твердого тела Клебша, в которой впервые исследована конечная деформация бесконечно тонкой пластинки. [c.376]

Проиллюстрируем приведенные рассуждения на примере оболочки, подкрепленной узкими ребрами произвольной ориентации. Оболочка описывается уравнениями в развернутой форме (гл. 4, 8), а ребра — теорией стержней Кирхгофа — Клебша. Для данного случая в вариационном уравнении (3) [c.218]

Г деформации в полой сфере, находящейся под действием равномерно распределенного внешнего или внутреннего давления. И этой задаче нет ничего нового, но Клебш пользуется ею как ключом к теории радиальных колебаний сферы, предлагая оригинальное исследование корней в уравнении частот и математическое доказательство того, что все корни его вещественны и положительны. Он пользуется этим случаем также и для доказательства того, что состояние равновесия упругого тела определяется полностью, если даны действующие силы, а тело закреплено таким образом, что оно не может двигаться как неизменяемая система. [c.310]

В следующем разделе книги мы встречаемся с задачами о деформации тонких стержней и тонких пластинок. Теория тонких стержней Кирхгоффа излагается (стр. 307) в несколько измененном виде. Значительно расширена теория изгиба нластпнок, причем предлагаются уравнения для случая больших прогибов ). Наконец, Клебш, применяет теорию малых н])огибов к изгибу круглой пластинки, защемленной но контуру и загруженной в некоторой ее точке силой, перпендикулярной к ее поверхности. [c.311]

В последнем разделе книги излагается метод расчета ферм. Впервые здесь задача ставится в общем виде. Он показывает, что если в качестве неизвестных мы примем вместо усилий в стержнях смещения шарниров, то всегда придем к такому числу линейных уравнений, сколько у нас имеется неизвестных, так что подобная задача всегда допускает решение. Клебш доказывает это на двух простых задачах 1) для случая одного шарнира, соединенного [c.312]

Клебш первый занялся исследованием задачи плоского напряженного состояния и дал решение для круглой пластинки (см. с тр. 310). Другой случай, имеющий большое практическое значе-лие, был решен Харлампием Сергеевичем Головиным (1844— 1904) ). Он заинтересовался деформациями и напряжениями круговых арок постоянной толщины. Рассматривая задачу как двумерную, он сумел получить решения для систем, представленных на рис. 170. Он находит, что в условиях чистого изгиба (рис. 170, а) поперечные сечения остаются плоскими, как это обычно и принимается в элементарной теории кривого бруса. Но найденное им распределение напряжений не совпадает с тем, которое дается элементарной теорией, поскольку последняя предполагает, что продольные волокна испытывают лишь напряжение о, простого растяжения или сжатия, между тем как Головин доказывает существование также и напряжений а , действующих в радиальном направлении. При изгибе же, производимом силой Р, приложенной к торцу (рис. 170, б), в Киждом поперечном сечении возникают не только нормальные напряжения, но также и касательные, причем распределение последних не следует параболическому закону, как это предполагается в элементарной теории. Головин вычисляет не только напряжения для такого кривого бруса, но также и его перемещения. Имея формулы перемещений, он получает возможность решить и статически неопределенную задачу арки с защемленными пятами. Проделанные им вычисления для обычных соотношений размеров арок показывают, что точность элементарной теории должна быть признана для практических целей вполне достаточной. Исследования Головина представляют собой первую попытку применения теории упругости в изучении напряжений в арках. [c.419]

В элементарной теории пластинок принимается, что прогибы пластинки малы в сравнении с ее толщиной. При больших прогибах необходимо принимать во внимание растяжение срединной плоскости соответствующие уравнения были выведены Кирхгоф-фом ) и Клебшем (см. стр. 311). Эти уравнения не линейны и с трудом поддаются решению Кирхгофф применил их лишь в одном простейшем случае, а именно в случае равномерного растяжения срединной плоскости. Дальнейшая разработка этой задачи была выполнена инженерами, главным образом в связи с практической необходимостью расчета напряжений в обшивке судов. Рассматривая изгиб длинной равномерно нагруженной прямоугольной пластинки, И. Г. Бубнов ) привел эту задачу к задаче изгиба полосы и решил ее для различных вариантов краевых условий, встречающихся в кораблестроении. Он составил также таблицы, благодаря которым весьма облегчаются расчеты и которые стали теперь повседневным пособием в судостроительной промышленности. Задача исследования больших прогибов круглой пластинки парами, равномерно распределенными по контуру, была рассмотрена автором настоящей книги ), установившим также для этого случая и границы точности элементарной линейной теории. Дальнейшее изучение этой темы провел. С. Вэй ) он исследовал изгиб равномерно нагруженной круглой пластинки, защемленной по контуру, одновременно и теоретически и экспериментально. Кроме того, он выполнил аналогичное исследование и для равномерно нагруженной прямоугольной пластинки ), показав, что если одна из ее сторон превышает другую более чем вдвое (а/Ь>2), то наибольшее напряжение в ней лишь незначительно отличается от указанного Бубновым для бесконечно длинной пластинки. [c.491]

Точное решение для этого случая было дано Сен-Венаном см. его перевод книги Клебша Теория упругости твердых тел , стр. 337. Общее изложение строгой теории изгиба пластинок было дано Мичеллом (J. Н. МI- [c.120]

Выводом уравнений изгиба пластинок, на основании молекулярной модели и обпщх уравнений теории упругости, занимались Пуассон, Навье и Коши. У Навье мы находим вполне строгое уравнение для статического изгиба пластинки как для случая нормальной нагрузки, так и для случая выпучивания пластинки под действием сил на контуре, лежащих в плоскости пластинки В случае свободно опертой прямоугольной пластинки Навье получил правильное решение, использовав двойные тригонометрические ряды. Общим анализом условий на контуре пластинки занимался Пуассон , однако он сформулировал одно лишнее условие на контуре в случае задания на нем внеш-58 них сил. Правильное число условий было указано позже Г. Кирхгофом и ясно интерпретировано физически В. Томсоном . Кирхгофу принадлежит общая теория изгиба стержней, а также теория пластинок, основанная на четких гипотезах, близких к гипотезе плоских сечений в элементарной теории изгиба, и вполне строгий вывод известных уже уравнений малых прогибов пластинок при помощи принципа виртуальных перемещений. Позже Кирхгоф и Клебш развили теорию для не слишком малых прогибов пластинок. [c.58]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...