Лежен-Дирихле

Теорема Лежен Дирихле. Отметим интерес-"ь,е свойства равновесия еха и.ес х циальном поле, при которых систем В потенциальном поле потенциальная энергия си- 1) если система находится в покое [c.400]

Напомним, что в выражение потенциальной энергии входит произвольная постоянная С, несущественная для расчетов, так как в расчетах мы всегда встречаем не саму потенциальную энергию, а ее изменение. Но все же будем так определять эту постоянную, чтобы потенциальная энергия системы при равновесном устойчивом положении, при равенстве нулю обобщенных координат, тоже равнялась нулю. Тогда при отклонении системы от равновесного положения потенциальная энергия получается положительной, потому что равновесие является устойчивым, а потенциальная энергия в этом положении (Я = 0) согласно теореме Лежен Дирихле (см. 38) должна иметь минимум. [c.265]

Это как раз те уравнения, которые необходимо разрешить при нахождении макдимума а минимума функции и от трех независимых переменных х, у, г. Мы покажем в динамике (гл. X) методом Лежен-Дирихле, что если функция и действительно имеет в точке У > максимум, то эта точка является положением устойчивого равновесия. Это означает, что если материальную точку каким-нибудь образом отклонить бесконечно мало от положения и сообщить ей бесконечно малую начальную скорость, то она получит движение, при котором она удаляется от положения бесконечно мало. [c.113]

В этом случае дифференциальные уравнения равновесия совпадают с уравнениями, определяющими максимум и минимум функции и. Мы покажем в динамике, что если для определенной системы значений величин д эта функция 11 действительно имеет максимум, то соответствующее положение равновесия является положением устойчивого равновесия (Лежен-Дирихле). [c.230]

Устойчивость равновесия свободной материальной точки. Доказательство Лежен-Дирихле. Рассмотрим свободную точку Л1 (х, у, г), находящуюся под действием сил, равнодействующая которых (X, У, 2) имеет силовую функцию 11 х, у, г)-. [c.278]

Мы ХОТИМ доказать, следуя Лежен-Дирихле, что если для какой-нибудь системы значений а , 2 — 2 Функция и имеет максимум, то соответствующее равновесие устойчиво. Доказательство совпадает с данным ранее (п. 208) для свободной точки. Укажем его в немногих словах. Можно всегда предполагать, что максимум имеет место при О, 2 — 0, так как это приведет к выбору новых параметров и 2— 2> что этот максимум 7(0, 0) [c.420]

Устойчивость равновесия. Теорема Лежен-Дирихле. — Когда точка находится в положении равновесия, то может случиться, что самый незначительный толчок или смещение из этого положения, сообщенные точке, будут достаточны, чтобы привести ее в движение, которое будет все более и более усиливаться, так что точка в конце концов отойдет на конечное расстояние от своего положения равновесия. В этом случае говорят, что равновесие неустойчиво. Наоборот, равновесие ус/иой-чиво, если точка с <оль угодно мало отклоняется от своего [c.178]

Теорема Лежен-Дирихле. — Положения равновесия движущейся точки, в которых силовая функция достигает своего максимума, являются положениями устойчивого равновесия. [c.179]

Можно показать, что положения системы, для которых силовая функция принимает наибольшее значение, пред-ставлиют собой положения устойчивого равновесия. Но вопрос об устойчивости равновесия консервативной системы относится скорее к динамике, чем к статике. Мы встретимся с ним в динамике системы при обобщении теоремы Лежен-Дирихле, уже доказанной для точки (п° 147), [c.311]

Теорема Лежен-Дирихле. — Положения материальной системы, для которых силовая функция движущих сил принимает максимальные значения, представляют собой положения устойчивого равновесия. [c.19]

Рассуждения, приведенные в предыдущем пункте, и теорема Лежен-Дирихле непосредственно применяются при рассмотрении равновесия тяжелой системы, подчиненной связям без трения, если только на эту систему не действуют никакие другие движущие силы, кроме сил тяжести. В этом случае силовая функция получает наибольшее значение, когда центр тяжести системы занимает самое низкое возможное для него положение. [c.21]

На основании классической теоремы Лежен-Дирихле (п°283), материальная система находится в устойчивом равновесии во всяком положении, в котором силовая функция (в предположении, что она существует) имеет максимум. В рассматриваемом случае работу совершает только сила тяжести, и соответствующая силовая функция проходит через максимум одновременно с направленной вниз вертикальной координатой центра тяжести равновесие будет устойчивым, если при всяком виртуальном перемещении тела центр тяжести поднимается. Мы будем считать очевидным, что равновесие не может быть устойчивым, если имеются виртуальные перемещения, при которых центр тяжести опускается. [c.281]

Устойчивое и неустойчивое равновесие. Критерий устойчивости. Положения равновесия различаются по характеру движения, которое может совершать рассматриваемая система в соседстве с этими положениями. Если система, при достаточно малом начальном отклонении от положения равновесия и при достаточно малой начальной кинетической энергии, во всё время своего последующего движения будет находиться так близко от положения равновесия, как нам угодно, то положение равновесия называется устойчивым, точнее—положением устойчивого равновесия. Всякое же другое положение равновесия, не удовлетворяющее приведённым условиям, называется неустойчивым. Для консервативных систем Лежен-Дирихле (Lejeune-Diri hlet) дал следующее достаточное условие устойчивости если силовая [c.389]

Теорема была сформулирована Ж. Лагранжей и строго дока,зана П. Г. Лежен-Дирихле (см. Лагранж Ж. Аналитическая механика, — М. — Л. Гостехиздат, 1950, т. 1, Дополнения), поэтому нередко ее называют теоремой Лагранжа— Дирихле. [c.375]

Большое внимание было уделено в XIX в. исследованию простейших частных задач — о движении в жидкости сферы, эллипсоида, двух сфер ИТ. п. (Г. П. Лежен-Дирихле, А. Клебш, В. Томсон, К. А. Бьеркнес, Г. Кирхгоф, К. Нейман, А. Б. Бассет и др.). [c.76]

Доказательство теоремы Лагранжа об устойчивости состояния равновесия консервативной системы, соответствующего минимуму потенциальной энергии, было усовершенствовано Ф. Миндингом в его курсе механики 1838 г. и вполне безупречно проведено Г. П. Лежен-Дирихле в заметке 1846 г. [c.120]

Еще ранее появ.ления сочинения Томсона о движении вихрей наметилась другая весьма интересная задача о движении твердого тела в беспредельной жидкости. Если не ошибаемся, Пуассон был первым, разобравшим теоретически вопрос о колебании сферы в беспредельной жидкости. Окончательно эта задача была для колебательного движения решена Стоксом, а для поступательного — Лежен Дирихле. Клебш и Грин перешли к более трудному случаю движения эллипсоида. Общий вопрос о движении тел в жидкости разъяснил Томсон в его Движении вихрей , и я полагаю, что это исследование — одно из самых обстоятельных, хотя его как будто заслонили дальнейшие работы Кирхгофа, Больцмана, Бьеркнеса и Неймана. [c.320]

Чтобы закончить здесь очерк развития гидродинамики в нашем столетии, я должен еще указать, что задача о вращении жидкого эллипсоида, начатая Маклореном и Лапласом, получила свое дальнейшее развитие в исследованиях Якоби, Мейера, Лежен Дирихле и Римана, причем она в сочине- [c.320]

Прямой метод Ляпунова заключается в отыскании некоторых функций вещественных переменных t, хи Хч,и в изучении свойств их производных, взятых в силу дифференциальных уравнений возмущенного движения. В основе метода лежит изложенный ранее способ, использованный Леженом Дирихле при доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия. [c.573]

Устойчивость положения равновесия определяется условием минимума потенциальной энергии П [или максимумом силовой функции и——П (теорема Лежен —Дирихле)] положение равновесия устойчиво при значениях обобщенных координат q , если [c.86]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...