Траектории фазовые автоколебани

Траектории фазовые автоколебаний 270 [c.566]

Если ж = О, то f = /X, т. е. ось у пересекается интегральными кривыми под тем большим углом, чем больше /х. При у = 0 касательные к интегральным кривым вертикальны. Давая к различные значения, из (14.7) будем получать уравнения разных изоклин у = ж/[/х(1 — ж ) — f ]. Строя затем семейства изоклин, можно построить интегральные кривые, а следовательно, и фазовые траектории. Фазовые портреты, полученные таким методом для уравнения (14.5) при различных значениях /х, изображены на рис. 14.3. На рис. 14.4 приведены осциллограммы, иллюстрирующие характер установления и форму автоколебаний в системе. [c.301]

Если замкнутая траектория на фазовой плоскости является изолированно , она называется предельным циклом. Наличие устойчивого предельного цикла на фазовой плоскости говорит о том, что в системе возможно установление незатухающих периодических колебаний, амплитуда и период которых в определенных пределах не зависят от начальных условий и определяются лишь значениями параметров системы. Такие периодические движения А. А. Андронов назвал автоколебаниями, а системы, в которых возможны такие процессы, — автоколебательными [ 1 ]. В отличие от вынужденных или параметрических колебаний, возникновение автоколебаний не связано с действием периодической внешней силы или с периодическим изменением параметров системы. Автоколебания возникают за счет непериодических источников энергии и обусловлены внутренними связями и взаимодействиями в самой системе. Одним из признаков автоколебательной системы может служить присутствие так называемой обратной связи, которая управляет расходом энергии непериодического источника. Из всего сказанного непосредственно следует, что математическая модель автоколебательной системы должна быть грубой и существенно нелинейной. [c.46]

В данной главе излагаются начальные сведения о методе точечных отображений вводятся основные понятия и приемы исследования, которые позволяют изучать поведение фазовых траекторий в двумерном и трехмерном фазовом пространстве. На конкретных примерах простейших кусочно-линейных систем рассматриваются автоколебания, вынужденные и параметрические колебания, а также скользящие движения, возможные в этих системах. [c.70]

Фазовая траектория г (г) при автоколебаниях, вызываемых [c.111]

Итак, при фрикционных колебаниях ползуна, взаимодей-ствующего с движущейся поверхностью, в зависимости от на чальных условий и параметров системы можно наблюдать три режима автоколебания, затухающие колебания и колебания а возрастаюш има амплитудами. На фазовой плоскости этим режимам соответствуют фазовые траектории в виде замкнутой траектории (см. рис. 62), спирали, накручивающейся на особую точку (см. рис. 65, а), и спирали, выходящей из особой точки (см. рис. 65,6). Фазовую траекторию при фрикционных авто колебаниях можно рассматривать как граничный или предель ный случай, соответствующий переходу от режима с затухаю щими амплитудами колебаний к режиму с возрастающими амч плитудами. [c.230]

Но при малом коэ( -)фициенте А, когда фазовая траектория не имеет горизонтальных участков медленных движений, период автоколебаний упрощенной системы может быть и меньше периода автоколебаний точной системы (1, 2). Заметим, что третий и четвертый изломы фазовой траектории в упрощенной системе появляются при меньших значениях коэ( )фициента А. [c.75]

Использование электронно-моделирующей машины позволило выделить устойчивые фазовые траектории и всесторонне изучить поведение колебательной системы в различных условиях, в том числе при наличии рассеивания энергии в системе. В статье даны результаты исследования влияния параметров упругой системы и процесса резания на амплитуду и частоту автоколебаний. [c.77]

Сопоставляя демпфирующее влияние нелинейного члена уравнения и дестабилизирующее влияние линейного члена, мы, в сущности, имеем в виду изменение энергии системы вследствие работы, совершаемой различными составляющими силы трения. Линейная составляющая совершает положительную работу, т. е. вносит энергию в систему, а нелинейная составляющая совершает отрицательную работу, т. е. уменьшает энергию системы. При стационарных автоколебаниях приток энергии компенсирует ее расход (в среднем за один колебательный цикл) и система внешне ведет себя так, как если бы она была консервативной здесь полезно напомнить, что фазовые траектории консервативных систем также представляют собой замкнутые кривые, геометрически похожие на кривую предельного цикла, изображенную на рис. VI. , б. Но, конечно, сходство это только внешнее предельный цикл представляет собой изолированную замкнутую фазовую траекторию, и в ее окрестности нет других замкнутых траекторий, тогда как замкнутые фазовые траектории свободных колебаний консервативных систем сплошным][образом заполняют фазовую плоскость . [c.287]

Новые динамич. свойства систем с О. с. возникают при увеличении числа степеней свободы. Так, для систем, описываемых двумя ур-ниями (1), на фазовой плоскости наряду с особыми точками — состояниями равновесия, могут также возникать особые траектории — предельные циклы, отвечающие автоколебаниям. Примером механич. системы с автоколебаниями являются часы с анкерным устройством, к-рое осуществляет О. с. между источником энергии (пружиной, гирей) и маятником. [c.386]

Предельный цикл называют устойчивым, если любая фазовая траектория, начинающаяся в достаточно малой окрестности этого цикла, неограниченно к нему приближается (табл. 8, пп. 11, 15) соответствующее предельному циклу движение механической системы представляет собой установившиеся автоколебания. В противоположном случае предельный цикл называется неустойчивым движение механической системы, соответствующее неустойчивому предельному циклу, физически нереализуемо (табл. 8, п. 12). [c.25]

Исследование автоколебаний, возможных в динамической системе (24), сводится к изучению свойств точечного отображения (см. п. 5 гл. II) плоскости if = О в себя в трехмерном фазовом пространстве, разбиение которого на траектории симметрично относительно начала координат [12]. [c.182]

О, либо есть одна точка пересечения. Условие перехода от одного случая к другому даст условие появления из отрезка покоя периодического движения Наличие устойчивой точки соответствует существованию устойчивого периодического движения, составленного из кусков фазовых траекторий, принадлежащих пластинкам, и кусков траекторий между плоскостями ф = d= ij5 . Значения параметров Л и S, при которых возникают автоколебания, определяются из уравнений [c.185]

Рис. 6.5.20. Фазовая траектория при фрикционных автоколебаниях

Следует также отметить, что описанные выше уравнения движения и интегральные кривые позволяют исследовать переходные процессы при больших отклонениях и автоколебания системы в тех случаях, когда их размах достаточно велик. В хорошо стабилизированных системах размах колебаний может быть настолько небольшим, что могут применяться идеализации, позволяющие значительно упростить задачу. Например, при малом размахе автоколебаний вполне можно считать при любом виде механической характеристики, что в пределах изменения скорости выходного вала, вызванного автоколебаниями, момент изменяется незначительно и может быть принят постоянным. Однако для определения процесса установления автоколебаний при значительном начальном отклонении необходимо иметь полученные выше уравнения и фазовые траектории с учетом нелинейности механической характеристики. [c.26]

Первый тип автоколебаний, который мы в дальнейшем будем называть двухзонным , характеризуется тем, что в процессе движения происходят только включение и выключение реле. Такое движение отображается в фазовом пространстве траекторией, расположенной в двух областях плюс-области и нуль-области (зоне нечувствительности). Предельный цикл составляется из двух отрезков траекторий типа Т+ и Р, а реле совершает два переключения за цикл. [c.94]

Граница в пространстве параметров является геометрическим местом их бифуркационных значений. На границе скачкообразно меняются свойства системы — в рассматриваемом случае вид автоколебаний. Изменению вида автоколебаний эквивалентно изменение предельного цикла фазовой траектории. Поэтому определение границы сводится к определению областей существования предельного цикла того или иного вида. [c.95]

На рис. 39 показаны установившиеся циклы, соответствующие Из = 0,3 и остальным параметрам, определяемым точками N1 и Л 2 на рис. 38. Точка расположена выше границы автоколебаний двухзонного типа. Соответствующие этой точке автоколебания отображаются на фазовой диаграмме предельным циклом, состоящим из отрезков траекторий 7+ и Г , проходящих через равноудаленные от оси 6 точки и Ва (рис. 39,а). Несмотря на то что траектория Г" начинается в точке А , находящейся вне зоны нечувствительности, включение траектории Т произойти не может, так как за время запаздывания изображающая точка попадает в зону нечувствительности. Иначе говоря, траектория Т не пересекает полупрямую 5 , начинающуюся в точке Е. Рис. 39, соответствует несколь 104 [c.104]

Третья область, как уже указывалось, является весьма интересной с теоретической точки зрения. Здесь возможны и двухзонные и трехзонные автоколебания. Этому соответствует наличие в фазовом пространстве двух устойчивых предельных циклов. Разумеется, что одновременно они существовать не могут. Существуют или один или другой. Какой именно тип автоколебаний установится в системе и соответственно какой из предельных циклов фазового пространства будет существовать, зависит от предшествующего движения. Оба предельных цикла имеют свои области притяжения, причем в них нет участков взаимного проникновения, и поэтому, задавшись начальными условиями движения, можно однозначно определить, к какому предельному циклу придет фазовая траектория системы. [c.117]

Поскольку в рассматриваемом случае аналитического выражения для фазовой траектории и линий переключения не имеется, не может быть получено и аналитическое выражение для границ в пространстве параметров. Однако возможность построения предельного цикла на фазовой поверхности графическим методом позволяет исследовать влияние параметров на тип автоколебаний в любом конкретном случае. [c.121]

Таким образом, графическое определение возможности существования автоколебаний двухзонного типа осуществляется очень легко и не требует построения фазовой траектории и предельного цикла. [c.122]

В нелинейных системах возможны режимы автоколебаний. Поэтому характер особых точек для нелинейных систем еще не определяет поведения изображающей точки на всей фазовой плоскости. В таких случаях требуется дополнительно выяснить характер движения изображающей точки вдали от точки равновесия. Для нелинейных систем имеется три типа особых траекторий точка равновесия, предельные циклы, усы седел. [c.24]

На фазовой плоскости этому режиму соответствуют два предельных цикла меньший — неустойчивый и больший — устойчивый при жестком режиме возбуждения (рис. 1.15). Такая картина будет получаться при некотором конечном интервале смещений точки О. При еще большем ее смещении влево будем иметь картину по рис. 1.16 а — накопление энергии меньше, чем рассеяние б — только рассеяние энергии. Автоколебания в системе в этих случаях невозможны, что следует из характера фазовых траекторий, наматывающихся на особую точку. [c.50]

Можно сказать, что в подобной системе имеются периодические колебания, не зависящие от начальных условий. Такие периодические колебания называются автоколебаниями, а сами системы— автоколебательными системами. На рис. ПП.8 показана фазовая диаграмма системы, имеющей неустойчивый предельный цикл, т. е. замкнутую траекторию, с которой все соседние траектории как изнутри, так и снаружи сматываются. До тех пор пока изображающая точка находится на предельном цикле, она с него сойти не может, и, следовательно, в системе будут происходить периодические колебания. [c.228]

Изолированная замкнутая траектория на фазовой плоскости, соответствующая автоколебаниям системы, называется предельным циклом. [c.531]

Если фазовые траектории, близкие к предельному циклу, как внутри, так и вне его наматываются на него, т. е. изображающая точка приближается к предельному циклу, то такой предельный цикл называется устойчивым и У соответствует автоколебаниям. [c.532]

Итак, в только что изложенном материале начато рассмотрение модельного варианта задачи о свободном плоскопараллельном торможении тела в среде. В нем проводится вспомогательный качественный анализ систем дифференциальных уравнений, описывающих данное движение для некоторой области ненулевой меры в пространстве параметров. На основе этого получено новое двухпараметрическое семейство фазовых портретов, состоящее из бесчисленного множества различных типов портретов. В системе при этом отсутствуют автоколебания, и почти при любых начальных условиях все траектории стремятся к асимптотически устойчивым положениям равновесия. [c.229]

Основные отличия многомерных систем проявляются уже при переходе от двумерной системы к трехмерной, от двумерной фазовой плоскости к трехмерному фазовому пространству. Поведение фазовых траекторий в трехмерном фазовом пространстве может быть запутанным и не поддающимся непосредственному восприятию. Поэтому рассмотрение трехмерного фазового пространства во многих случаях следует сводить к двумерному точечному отображению, геометрическое изображение которого с помощью инвариантных кривых столь же наглядно, как и разбиение на траектории фазовой плоскости. Эти геометрические каргинки могут быть такими же, как и в случае дифференциальных уравнений без предельных циклов, либо с существенными отличиями, которые вызываются пересечениями сепаратрисиых кривых седловых равновесий, образующими голюоинцческце структуры 4, 45]. Эти отличия существенны, так как соответствуют совершенно разным типам поведения системы. При наличии гомоклинической структуры установившиеся движения системы могут иметь стохастический характер. В частности, как некоторые аналогии периодического движения появляются так называемые стохастические синхронизмы. Стохастический синхронизм —- это автоколебание со стохастически меняющейся фазой. Соответствующая ему фазовая картина изображена на рис, 18. [c.96]

Автоколебания 267, 331, 469 — Амплитуды 269, 480 — Траектории фазовые 270 — Уравнення 268, 270 — Условия появления 268 — [c.549]

Из физических определений известно, что если система является автоколебательной, то в ней должен существовать стационарный колебательный процесс, который на фазовой плоскости соответствует замкнутой фазовой траектории, так как автоколебательную систему можно рассматривать как квазиконсервативную. Если автоколебания в системе устойчивы, то и замкнутая фазовая траектория также должна быть устойчива, т. е. к ней должны сходиться все фазовые траектории в близкой ее окрестности. Подобные предельные фазовые траектории называют предельными циклами. [c.197]

На рис. 62 дан график скорости ползуна х в зависимости от координаты А, т. е. решение уравнения движеиия механизма на ф ззовой плоскости. Из этого графика видно, что фазовая траектория рассматриваемого механизма представляет собой постоянно повторяющуюся замкнутую кривую, характерную для режимов движения, известных под названием автоколебаний. [c.221]

Прсдельньге циклы. Замкнутая траектория, к которой асимптотически приближаются при / оо все фазовые траектории, находящиеся в окрестности этой Kpi-iBofl, называется устойчивым предельным циклом (рис. 6). Устойчивые предельные циклы являются математическими образами автоколебаний. [c.38]

Но дело, пожалуй, не только в этом. Примеры консервативных динамических систем с весьма сложным поведением фазовых траекторий (тех самых, которые сегодня, не задумываясь, назвали бы хаотическими и стохастическими) были известны довольно давно, как и отдельные примеры неконсервативных систем, сводимых к точечным отображениям с хаотическим поведением последовательных преобразований. Более того, Д. Бирк-гоф [88] предложил общую классификацию движений динамических систем, включавшую эти сложные движения. Схема такой классификации приводилась в работе А. А. Андронова Математические проблемы теории автоколебаний 1933 г. [12], где, в частности, отмечалось, что совокупность всех движений может образовывать сложную систему. Читая поистине пророческие строки в работе А. А. Андронова и глядя на классификацию Д. Биркгофа, трудно понять, что же собственно мешало сделать [c.81]

Второй тип автоколебаний будем называть трехзонным . В этом случае в процессе движения происходят включение, выключение и нротивовключение двигателя. Траектория расположена во всех трех областях фазового пространства, предельный цикл состоит из четырех отрезков траекторий Т+, Р, Т , Р, а реле совершает четыре переключения за цикл. [c.94]

Это обстоятельство часто позволяет при определении автоколебаний с достаточной степенью точности полагать момент исполпительпого элемента не зависящим от скорости и использовать разработанную выше методику определения границ и в случае произвольной механической характеристики. Такое допущение равносильно замене реальной фазовой траектории системы параболой. Очевидно, что чем меньший участок траектории заменяется, тем точнее может быть произведена такая замена. Иначе говоря, чем лучше с точки зрения авто-9 123 [c.123]

Предыдущий метод часто сочетается с геометрическим представлением процессов с помощью фазовых траекторий и общим анализом расположения этих траекторий. При этом существенной частью анализа является исследование зависимостей между координатами точек входа фазовых траекторий в каждую из областей фазового пространства и координатами точек выхода их из этой области. Этот метод, называемый методом точечных преобразований, был создан и применен к ряду задач А. А. Андроновым и его школой [4. 5], Для исследования устойчивости и нахождения автоколебательных режимов систем с любыми нелинейностями удобным приближенным приемом является метод эквивалентной линеаризации, впервые примененный к одной из задач регулирования скорости А. И. Лурье [59 ] и подробно разработанный Л. С. Гольдфарбом [28 ]. Тот же метод был применен несколько ранее В. А. Котельниковым [52] к задаче об автоколебаниях самолета с автопилотом. Связь этого метода с общими исследованиями нелинейных уравнений, произведенными А. Пуанкаре [124], была установлена Б. В. Булгаковым [10, 11], [c.154]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...