154 — Уравнения упругости сферические — Перемещения

Задача теории упругости неоднородного тела формулируется и решается аналогично задаче теории упругости однородного изотропного или анизотропного тела. Различие между ними состоит лишь в том, что в физических уравнениях (законе упругости) механические характеристики являются заданными непрерывными функциями координат. Здесь необходимо еще раз подчеркнуть, что при этом деформации тела считаются малыми и предполагается выполнение обобщенного закона Гука. Очевидно, что в случае неоднородного тела остаются справедливыми общие уравнения механики сплошной среды соотношения Коши между деформациями и перемещениями и т. д. Подробное изложение теории напряжений и деформаций приводится в многочисленных книгах [11, 100, 138 и др.], поэтому ниже они даются без вывода в прямоугольной системе координат х, у, z) в объеме, необходимом для дальнейшего изложения. Эти же уравнения в других системах координат (цилиндрической, сферической) можно найти в указанных выше и других изданиях. [c.32]

Применение этих основных уравнений к некоторым частным случаям приводит Дюамеля к решениям, представляющим практический интерес. Он начинает с полой сферы, температура которой выражается заданной функцией расстояния от центра. Он показывает, что изменения длин внутреннего и наружного радиусов зависят лишь от среднего значения температуры стенки сферической оболочки. Он распространяет эту закономерность на оболочку, состоящую из двух концентрических слоев различных материалов. В этой статье исследуется также и цилиндрическая труба, температура которой определяется заданной функцией радиального расстояния. В заключение Дюамель исследует перемещения, вызываемые в сферической оболочке изменением температуры. На протяжении всей этой работы Дюамель предполагает, что упругая постоянная не зависит от температуры. Во втором мемуаре ), имеющем первостепенную важность в теории теплоты, он изучает изменения температуры, возникающие в результате деформации, а также различие удельной теплоты при постоянном объеме и при постоянном давлении. [c.294]

Подчеркнем, что, как утверждалось выше, при произвольных напряжениях а( ) и т( ) выражениям (5.9) и (5.10) не соответствуют действительные перемещения точек оболочки, поскольку уравнение неразрывности деформаций (5.8) будет нарушено. Однако если эти выражения в силу условий (5.11) отождествить с действительными перемещениями граничных точек упругого шара, то тем самым будет наложено ограничение на контактные напряжения a(fl ), т(А ) и в определенном смысле будет удовлетворено уравнение неразрывности (совместимости) деформаций оболочки. В конечном итоге можно считать, что последнее уравнение вследствие указанной трактовки условий контакта (5.11) окажется нарушенным в меньшей степени. Придерживаясь этой точки зрения, примем такую постановку задачи, когда выражения (5.9) и (5.10), определяемые по безмоментной теории тонкой сферической оболочки, в силу условий (5.11) в зоне контакта отождествляются с действительными перемещениями граничной поверхности упругого весомого шара. [c.324]

Уравнения (15)-(19) с учетом условий несжимаемости в области массива и в областях (г = 1, 2,.. ., УУ) крепи представляют собой взаимосвязанную замкнутую систему уравнений для исследования устойчивости каждой рассматриваемой конструкции горизонтальной, вертикальной и сферической выработок с многослойными крепями, когда имеются границы раздела областей упругого и пластического поведения материала при нагружении в горном массиве и крепи. Система уравнений (9), (12), (13) — система дифференциальных уравнений в частных производных относительно амплитудных значений векторов перемещений и, V, ъо, щ, г г и гидростатических давлений рир , соответствующих пластической и упругой зонам массива и крепи. Нетривиальное решение этой задачи соответствует потери устойчивости основного состояния. [c.304]

А. Kalnins [3.1171 (1961) уточнил соотношения, полученные в своей предыдущей работе, применительно к исследованию неосесимметричных колебаний упругих сферических пологих оболочек введением продольной и поперечной инерции, а также поперечного сдвига, с целью расширения пределов применимости теории по частотам и толщинам по сравнению с классической теорией оболочек. Задача приведена к трем независимым дифференциальным уравнениям относительно прогиба и двух функций, определяющих перемещения вдоль линий кривизны. Приведено решение этой системы и рассмотрены свободные колебания оболочки, защемленной по краю. Частотный спектр пологой оболочки подразделяется на три части, которые соответствуют трем доминирующим формам колебаний сдвиговая по толщине, продольная, поперечная. [c.208]

Мун и Моу [118] построили теоретическую модель, описывающую рассеяние волн в композиционных материалах, наполненных частицами. При этом рассматривалась динамика отдельной частицы, находящейся в упругой среде. Такой подход представляется приемлемым первым приблияшнием для материалов с малой степенью (Fg <(0,10) и случайным характером наполнения. Дифракция упругих волн в материале с отдельными частицами обсуждалась также в работе Моу и Пао [119]. Когда плотность жесткого включения рз больше плотности окружающей среды (матрицы), т. е. рз )> pj, уравнение движения, описывающее поступательное перемещение сферической частицы U, имеет вид [c.298]

Интересной представляется работа Б. Клосовича [190], являющаяся развитием идей В. Ольшака, где сформулировано уравнение, которому должна удовлетворять функция изменения модуля упругости в толстостенной концентрической неоднородной по радиусу сферической оболочке под внутренним давлением, при условии минимума некоторого интегрального критерия качества. Им же был рассмотрен случай, когда отыскивается неоднородность, обеспечивающая минимальное перемещение поверхности сферы. [c.42]

Использование оешение уравнений теории пластин и оболочек при заданых размерах S, R, I, е, /, tfi позволяло устанавливать краевые усилия М, Q, Р, перемещения w, v и упругие напряжения в зонах сопряжения. Возникновение изгибных усилий в этих зонах приводило к повышению напряжений в 1,2—2,2 раза по сравнению с общими номинальными напряжениями в гладкой части (цилиндрическая или сферическая). [c.30]

Первичные диаграммы вдавливания можно зарегистрировать и при непрерывном нагружении индентора в координатах нагрузка Р — глубина внедрения инденгора /. Такие диаграммы дают более полную информацию о поведении материала в упругой и упругопластической областях деформирования, чем диаграммы при ступенчатом вдавливании индентора. На рис.2.22 представлены диаграммы вдавливания в координатах Р — / для двух марок стали. Эти диаграммы зарегистрированы при вдавливании сферического индентора диаметром 0 = 2,5 мм на специальном автоматическом приборе, позволяющем непрерывно измерять текущие значения Р и / путем передачи электрических сигналов датчиков нагрузки и перемещений от измерительного узла через средства сопряжения в ЭВМ. Сплошные линии диаграмм соответствуют нагружению, а штриховые — разгружению индентора. За пределами начальной упругой деформации (участок этой деформации на рассматриваемой диаграмме незначителен и им можно пренебречь) зависимость Р от / можно также аппроксимировать степенным уравнением, аналогичным уравнению Е. Мейера (2.5) [c.51]

Трудности математического и вычислительного характера были причиной того, что исследования распределения напряжений около трещин в оболочках начали развиваться лишь в последние десятилетия. Первыми были работы [321, 323], в которых рассмотрена задача о меридиальной трещине в пологой сферической оболочке. Подробный обзор исследований в этом направлении приведен в книге [160]. В появившихся в последнее время работах [127, 252, 361, 364, 366, 395, 396] продолжается изучение напряженного состояния оболочек с разрезами. В задачах об упругом равновесии оболочек с трещинами широкое применение нашел метод дистор-сий [146, 176], основанный на том, что вместо оболочки с разрезами рассматривается сплошная оболочка, находящаяся под действием дисторсий, описывающих скачки перемещений и углов поворота на линиях, соответствующих разрезам при этом получаются сингулярные интегральные уравнения для определения неизвестных скачков перемещений и углов поворота. В работах [146, 176] указан ряд исследований, в которых методом дисторсий изучались задачи о трещинах как в изотропных, так и в трансверсально-изо-тропных оболочках. До сих пор исследовались только случаи разрезов, расположенных вдоль координатных линий. [c.287]

В заключении второй части книги рассматриваются малые прогибы тонких упругих оболочек, излагается линеаризированная теория устойчивости оболочек. Приведенные здесь общие уравнения устойчивости цилиндрических оболочек в перемещениях, вызванных потерей устойчивости, известны как уравнения Тимошенко. Дается решение этих уравнений для случая внешнего поперечного давления и равномерного продольного сжатия. Последний случай особенно интересен. Автором впервые изучена теоретически неосесимметрвганая форма потери устойчивости и показано, что в этом случае при выпучивании по коротким продольным волнам выражение для продольной критической нагрузки совпадает с формулой для критической нагрузки при симметричном волнообразовании. Здесь описан также метод расчета на устойчивость оболочек за пределом упругости. Наконец, излагается общее решение уравнений малых осесимметричных деформаций сферической оболочки и их щ)имвнение к различным случаям нагружения. [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...