Метод энергетический Ритца

Энергетические методы широко применяют в задачах статики и динамики тонкостенных конструкций. Наиболее распространенным из них является метод Релея — Ритца, предусматривающий представление решения в виде ряда по координатным функциям. Выбор метода решения задачи — интегрирование дифференциального уравнения (классическими методам и или методом Галер-кина) или применение энергетического метода — часто связан с определенными трудностями. Можно показать, что при условии корректного применения метода Галеркина к системе дифференциальных уравнений [22], он в математическом отношении эквивалентен методу Релея — Ритца [133]. Однако, если имеется только дифференциальное уравнение, то следует применять метод Галеркина или другие методы его решения, а если имеется только выражение, определяющее энергию системы, следует отдать предпочтение энергетическим методам. Эти соображения не помогают выбрать метод решения задач, которые сформулированы как в дифференциальной, так и в энергетической постановке. Он определяется в этих случаях предшествующими расчетами, а также наличием программ решения задач на собственные значения (для устойчивости и колебаний) для вычислительных машин. Традиционно энергетические методы получили наибольшее распространение в США и Германии, в Англии отдавалось предпочтение конечно-разностным методам решения дифференциальных уравнений, а в СССР — методу Галеркина. [c.179]

Наряду с дифференциальным может быть реализован (точно или приближенно, как в методе Галеркина) энергетический подход к решению задачи (метод Релея — Ритца). При этом используется выражение для потенциальной энергии, записанное через напряжения и деформации, ft/2 [c.223]

Эту подстановку использовали Муштари и Саченков при решении задачи устойчивости методом Галеркина, она также с успехом была применена для расчета ортотропных усеченных конических оболочек энергетическим методом Релея — Ритца [23]. [c.230]

Дано обоснование двух вариантов записи энергетического критерия устойчивости упругих тел через начальные напряжения и непосредственно через внешние нагрузки. Кроме того, в главе изложены основы метода Рэлея—Ритца и метода Галер кина применительно к задачам устойчивости упругих систем. [c.39]

Определение точек бифуркации и критических нагрузок энергетическим методом сводится к определению стационарных значений некоторых функционалов. Для решения последней задачи может быть применен метод Рэлея—Ритца. Схему использования метода Рэлея—Ритца в задачах устойчивости упругих систем рассмотрим на примере определения критической силы для сжатого прямого стержня. При этом следует иметь в виду, что задача устойчивости стержня выбрана только для наглядности изложения и все этапы ее решения, рассуждения и выводы носят общий характер. [c.65]

Заметим, что при численной реализации метода Рэлея — Ритца вместо условия б (АЭ) = О иногда удобнее воспользоваться другой эквивалентной формулировкой энергетического критерия устойчивости (см. 9), положив АЭ = О при дополнительном требовании Р = где Р — параметр, пропорционально ко- [c.181]

Как видно из приведенного в конце главы 2 примера, решения, получаемые энергетическим методом, дают в общем случае завышенные значения жесткости, а следовательно, критической нагрузки и частоты колебаний исследуемого тела, но это дает, по крайней мере, границу изменений для указанных величид. Сказанное объясняется тем, что используемая неточная форма, которой соответствует усеченный ряд (один член ряда — в методе Ре-лея или несколько членов — в методе Релея — -Ритца), может рассматриваться как точная форма при наличии дополнительных связей, которые прикладываются к телу, чтобы заставить ето принять выбранную форму, и которые несколько уменьшают прогибы и тем самым заметно увеличивают жесткость. [c.27]

В настоящее время имеется уже значительное число внублико-ванных работ [1—8, 24—32], в которых граничные интегральные соотношения выводятся из энергетических соображений при этом, в частности, используются метод моментов, метод Галёркина или метод Релея — Ритца. Хотя каждый из этих методов позволяет получать симметричные матрицы линейных систем, с инженерной точки зрения более предпочтительным, вероятно, является подход, основанный на минимизации суммы взвешенных невязок, так как он приводит к более глубокому пониманию физической сущности изучаемых процессов. [c.389]

Излагаемый в настоящей статье приближенный метод исследования динамических характеристик круговых или некруговых цилиндрических оболочек, не подкрепленных или подкрепленных шпангоутами и стрингерами и имеющих вырезы прямоугольной формы, основывается на энергетическом принципе. Исследование базируется на использовании принципа Гамильтона и классического метода Рэлея —Ритца с применением балочных функций для аппроксимации осевых перемещений и тригонометрических для окружных. Балочные функции соответствуют тем функциям, которые описывают колебания однородной балки с такими же граничными условиями, что и на краях оболочки. В исследовании рассмотрены четыре вида граничных условий, а именно шарнирное опи-рание, защемленйе —свободный край, защемление —защемление и, наконец, оба края свободные. Хорошо известно, что в методе Рэлея — Ритца аппроксимирующие ряды для перемещений должны удовлетворять кинематическим граничным условиям и не требуется удовлетворение силовых граничных условий. Поэтому как уравнения равновесия, так и граничные условия в напряжениях удовлетворяются приближенно, на основе принципа экстремума. Таким образом, это позволяет без затруднений представить граничные условия на свободном крае выреза оболочки. [c.239]

Даже беглого взгляда на оглавление достаточно, чтобы увидеть, какие темы освещаются в этой книге. Сюда входят и методы расчета элементов конструкций при продольном нагружении, кручении и изгибе, и основные понятия механики материалов (энергия преобразование напряжений и деформаций, неупругое деформирование и т. д.). К частным вопросам, интересующим инженеров, относятся влияние изменения температуры, поведение непризматических балок, большие прогибы балок, изгиб несимметричных балок, определение центра сдвига и многое другое. Наконец, последняя глава представляет собой введение в теорию расчета конструкций и энергетические методы, включая метод единичной нагрузки, теоремы взаимности, методы податливостей и жесткостей, теоремы об энергии деформации й потенциальной энергии, метод Рэлея — Ритца, теоремы о дополнительной энергии. Она может служить основой для дальнейшего изучения современной теории расчета конструкций. [c.9]

Представьте отклонения V полиномом и найдите жесткость, при которой конец С неподвижен прн приложении нагрузки Р. Решение следует получить с помощью метода Рэлея—Ритца. Соответствующий энергетический функционал составит [c.53]

Находим эквивалентные параметры однородной по толщине и защемленной по контуру пластины. Энергетический метод Рэлея — Ритца дает возможность вычислить эквивалентные параметры механической системы с распределенными постоянными, возбуждаемой на частотах ниже основной собственной частоты с точностью, достаточной для практических расчетов [c.140]

Необходимость составления выражений полной энергии для пластины возникает при использовании различных энергетических методов. Покажем применение этого понятия в методе Ритца (см. 3.5). [c.184]

В соответствии с общей теорией приходим к следующему утверждению в энергетическом пространстве всегда существует решение (вообще говоря, обобщенное) вариационных задач, соответствующих основным и смещанной задачам теории упругости. Это рещение может быть получено методом Ритца, [c.625]

Во многих случаях в книге применяется также энергетический метод решения задач теории упругости. При этом интегрирование дифференциальных уравнений заменяется исследованием условия минимума некоторых интегралов. При помощи метода Ритца эта задача вариационного исчисления сводится к простой задаче отыскания минимума функции. Таким способом удается получить приближенные решения во многих практически важных случаях. [c.17]

При втором способе линеаризации нелинейная система заменяется линейной на некотором специально выделяемом движении Или группе движений, например, на периодических. Обоснованием замены в этом случае считаются всевозможные интегральные методы усреднения на выделенных движениях (гармоническая линеаризация и гармбаланс, методы Ритца и Галеркина и т. д.). Физическим основанием для замены здесь является энергетическая близость линейной и нелинейной систем. Если линеаризуемая этими методами система все же существенно нелинейная, то линейная система получается амплитудно-частотно-зависимой от возбуждения. [c.78]

Одной из разновидностей энергетического метода является метод Ритца. При определении критических сил этим методом для упругой линии принимают выражение в виде нескольких членов ряда [c.291]

Связь между методами Бубнова—Галеркина и Ритца. Если координатные функции принадлежат области определения симметричных и положительно определенных операторов А и С, то скалярные и энергетические произведения совпадают (см. гл. IX) [c.184]

Более точная зависимость для определения жесткости гидроформованных сильфонов получена энергетическим путем см. гл. 11 [6 ] . Решая задачу в первом приближении по методу Ритца, В. И. Феодосьев получил следующую формулу для расчета жесткости сильфона под действием осевой силы [c.285]

Для построения расчетных схем, основанных на МКЭ, могут быть пспользованы различные функционалы для разрывных полей перемещений, напряжений и т. д. (см. гл. 3 б и гл. 4 6), а в более сложных случаях — комплекс полных и частных функционалов для многоконтактных задач [4.1]. Особый интерес представляют функционалы граничных условий, которые могут быть использованы как в варианте МКЭ, основанном на методе Ритца, так и в варианте, основанном на аппроксимации функционала. Первый представляет интерес для энергетических оценок погрешности он может быть реализован при достаточно простых законах распределения упругих констант и нагрузок в области, таких, что все уравнения (геометрические, физические, статические) внутри конечного элемента могут быть выполнены за счет выбора аппроксимирующих функций это возможно, например, для однородного анизотропного тела при отсутствии объемных сил. Задача о стационарном значении функционала граничных условий служит для приближенного выполнения граничных условий и условий контакта между элементами. [c.172]

Априорные оценки для метода Ритца рассмотрены в [0.11]. Основой для получения как среднеквадратичных оценок, так и равномерной в [0.11] служит энергетическая оценка вида (3). Эти результаты применимы для вариационно-разностных схем, построенных на основе метода Ритца (см. 3). [c.194]

Исходным положением нри определении нестационарных процессов деформации с помощью вариационных методов является принцип Гамильтона для упругих систем. Однако этот принцип применяется для вывода уравнений движения, но не для непосредственного построения прибли женного решения но методу Ритца, так как обобщенные координаты системы неизвестны в конечный момент интервала времени, в течение которого изучение процесса представляет интерес. Для того чтобы использовать метод Ритца, нужно к энергетическому функционалу прибавить некоторые дополнительные члены, описывающие состояние системы в конечный момент времени, но в итоге полученный функционал не обладает уже потенциалом. [c.236]

Аналитические методы, в которых варьируемыми всегда являются независимые переменные, базируются в основном на том, что бесконечно большое число степеней свободы сплошной среды заменяется конечным числом степеней свободы. При этом подбираются функции, дающие такое математическое упрощение решения, чтобы оно по возможности приближдлось к точному решению, т. е. чтобы наилучшим образом удовлетворялись условия задачи. В основе этих методов лежат преимущественно энергетические и вариационные принципы механики, и поэтому они часто называются вариационными. Основным и наиболее известным методом этого типа является метод Ритца > [c.128]

После того как на многих задачах была показана пригодность метода конечных элементов, стали обсуждаться лежащие в основе метода связи с энергетическими принципами. Обнаружилась ясная связь метода конечных элементов с классическим методом Ритца. Это привело к общим и далеко идущим постановкам, кроме того, метод получил строгое математическое и механическое обоснование и к нему могут быть применены общие теоремы о сходимости (см. [43, 44]). [c.139]

Способ Эйлера и энергетический метод (в частности, метод Ритца) позволяют найти критическую нагрузку, но не дают возможность [c.12]

Если задача решается энергетическим методом Ритца, то используется свойство минимума потенциальной энергии системы, находящейся в равновесии. В этом случае можно не рассматривать дифференциальное уравнение равновесия в перемещениях и краевые условия на границах О , где не заданы перемещения . Решение задачи заключается в выборе компонент перемещения и, V, гр в виде [c.120]

Энергетический барьер 278 Энергетический метод Ритца 120 Энергия изотропной деформации 224 Энергия на раздир 212 Эффективные константы скоростей вулканизации 77 Эффективный модуль 148 Эффект размягчения 145, 146, 150 [c.357]

Этим требованиям в значительной мере удовлетворяют известные в математике проекционные методы, к которым обычно относят метод моментов, метод наименьших квадратов, энергетический метод (метод Ритца). [c.152]

При решении поставленной задачи воспользуемся вариационным методом Ритца. Поскольку применяется энергетический подход, выражение полной потенциальной энергии в соответствии с (3) и (4) удобно выразить в перемещениях. [c.109]

Энергетический метод или метод Ритца, детально изложенный в монографии П. Ф. Папковича [6], основан на рассмотрении полной потенциальной энергии П системы (нагруженный стержень или пластина). Используя представление рассматриваемой формы равновесия в виде ряда (1), выражают энергию П как квадра-тичную функцию коэффициентов ряда Си Сг,... Как известно условием равновесия является экстремум (минимум) потенциальной энергии, откуда и вытекают зависимости вида [c.226]

Описанные выше расчеты гораздо легче можно выполнить с помощью второго метода Ритца , в котором вместо рассмотрения энергетических соотношений используется непосредственным образом дифференциальное уравнение движения. В качестве примера рассмотрим уже известный случай колебаний консольно закрепленного стержня постоянного поперечного сечения, где дифференциальное уравнение для нормальных функций имеет вид [c.423]

Р. Кук [7.5] использовал энергетический метод для вывода дифференциальных уравнений осесимметричной деформации двух соединенных трубами перфорированных (треугольной решеткой) круговых пластин постоянной толщины, рассматривая пластину как однородное тело. При этом учитывается энергия растяжения — сжатия и изгиба труб. В дальнейшем для случая нагрева и давления решение проводится методом Ритца (перемещения выбираются в форме многочленов) и для четырех вариантов граничных условий спошной пластины край оперт (защемлен) и свободен в радиальном направлении, край оперт (защемлен) и жестко фиксирован в радиальном направлении, подсчитываются прогибы по радиусу и моменты в центре. Оказывается, что для всех четырех вариантов прогибы совпадают вдоль центральной части пластины, радиус которой равен 0,6 от наружного. [c.341]

Метод Ритца дает наилучшую аппроксимацию решения линейного дифференциального уравнения Аи = f в смысле энергетической нормы тогда и только тогда, когда оператор Л — положительно определенный и самосопряженный. Хотя метод Галеркина можно использовать для приближенного решения более широкого класса задач, мы уже не получим наилучшей аппроксимации того же типа. Чтобы получить наилучшую аппроксимацию в несамосопряженных задачах, необходимо переформулировать процедуру аппроксимации и ввести так называемый метод наименьших квадратов. [c.72]

Смысл кусочного тестирования состоит в следующем. Предположим, что пространство несогласованных базисных функций содержит все полиномы такого порядка г, какой имеет старшая производная в энергетическом функционале (в обозначениях гл. 5 Рл с Кп), и пусть граничные условия вдоль периметра п1)оизвольно взятой части элементов определены как значения произвольно взятого частного решения и Рг на этой линии. Тогда кусочное тестирование считается выполненным, если приближенное решение Ун, вычисленное по методу конечных элементов в форме Ритца без учета разрывов на границах между элементами, совпадает с м на рассматриваемой части элементов. Таким образом, кусочное тестирование-выполнено, если при и Рг [c.181]

Метод конечных элементов в форме Ритца сводится к минимизации энергетического функционала [c.182]

Более общий подход к сходимости использует запись фуикционала в виде суммы вкладов. В результате производные в функционале вычисляются ие дифференцированием по области а дифференцированием на каждом элементе по отдельности, что позволяет обойти проблему разрыва производных прн пере-, ходе через границу между элементами. Поэтому сходимость даже несогласованных элементов может быть исследована иа основе того, стремится ли функционал (вычисленный описанным способом) к истинному значению по мере стремления к нулю размера элемента. Анализ сходимости наиболее удобным образом формулируется в терминах гильбертовых пространств и энергетических, норм. Оливейра [16] с использованием последнего подхода продемонстрировал, что для класса задач, рассмотренных выше, можно быть уверенным в сходимости метода Ритца, еслн и в пределах элемента аппроксимируется полным полиномом вплоть до порядка р (где р —порядок наивысшей производиои в функционале) прн условии, что требование согласованности. выполняется. То, что полнота ) и согласованность являются достаточными условиями сходимости, было подтверждено Оденом [И] с помощью более общего анализа того же самого класса задач. [c.173]

Это доказательство применяется без всяких изменений ко всем таким задачам минимизации, и нет нужды повторять его в каждом случае. Необходимое и достаточное условие для сходимости метода Ритца очевидно для всякой допустимой функции и ее расстояние до пространства пробных функций S (измеренное по энергии) должно стремиться к нулю при h->0. Из доказательства предыдущей теоремы видно, что эту сходимость можно проверять на плотном подпространстве, т. е. таком, пополнение которого в энергетической норме включает все допустимые функции сходимость тогда будет автоматически следовать для каждой функции и. Однако интересно установить скорость сходимости в энергетической норме в случае, когда и — достаточно гладкая функция. [c.63]

Для теории метода Ритца ключевой момент — эквивалентность энергетической нормы л/а а,ю) обычной норме у Иг-Это опять условие эллиптичности существует такая постоянная а > О, что для всех допустимых v [c.91]

Это означает, что в энергетической норме a v,v) функция Ри — ближайшая в S к заданной функции и. Другими словами, если бы и было решением стационарной задачи Ьи = f, то Ри было бы в точности его аппроксимацией Ф по методу Ритца. Вместе с нашим предыдущим результатом по аппроксимации (теорема 3.7) это гарантирует, что [c.265]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...