Максвелловские граничные услови

Легко проверить, что максвелловские граничные условия удовлетворяют и условию (4.11). [c.67]

Отметим, что максвелловские граничные условия ни в коей мере не являются единственно возможными, и, по нашему мнению, обычно они не очень хороши. Фактически доводы Максвелла предполагают, что зеркальное отражение приемлемо для молекул, летящих под малым углом к поверхности, которые, возможно, ударяются о полюса шаров, составляющих стенку, тогда как соотношение (4.3) распространяет это предположение на все молекулы (даже на те, которые летят перпендикулярно стенке). Удовлетворительнее было бы граничное условие [c.67]

Однако"максвелловские граничные условия часто используют из-за их простоты и приемлемой точности к этому вопросу мы вернемся позже и покажем, что условие (4.8) при а = дает разумное приближение к различным более сложным граничным условиям. [c.68]

В случае стенки, отражающей только диффузно (максвелловское граничное условие с а = 1), интеграл в (5.9) принимает вид [c.70]

При максвелловских граничных условиях сосуд может быть любой формы.— Прим. перев. [c.76]

Уравнение (13.2) было использовано автором [72] для исследования обтекания почти зеркально отражающего профиля (рис. 43) при умеренно больших числах Маха. Предполагается, что функция распределения удовлетворяет максвелловским граничным условиям (III. 5.1), а скорость набегающего потока V o направлена вдоль оси х. Коэффициент аккомодации а и угол 8(x) между поверхностью профиля и осью х считаются малыми. Точнее, предполагается, что выполнены следующие неравенства (М —число Маха набегающего потока) [c.379]

Обозначения (( )) и в определены формулами (IV. 4.5) и (IV. 4.6). Физический смысл неравенства (3.3) не очевиден, однако оно удовлетворяется, например, для максвелловских граничных условий (III.5.1). [c.441]

В соответствии с общей идеей сокращенного описания неравновесных систем, нормальным решением уравнения Больцмана (ЗА.З) можно назвать такое решение, которое в отдаленном прошлом совпадает с локально-равновесным максвелловским распределением (ЗА.19). Иными словами, нормальное решение уравнения Больцмана отбирается с помощью специального граничного условия точно так же, как неравновесный статистический оператор был найден в главе 2 с помощью граничных условий к уравнению Лиувилля. Продолжая дальше эту аналогию, введем в уравнение Больцмана бесконечно малый источник, отбирающий нормальное решение [27] [c.236]

С помощью функции (4.5) можно точно удовлетворить граничным условиям с максвелловским распределением отраженных молекул (подробнее о граничных условиях — в следующем параграфе). [c.120]

Во всяком случае справедливо следующее утверждение. Для аппроксимирующей функции типа (2.7) или (4.4), приспособленной к граничным условиям и дающей точное решение уравнения Больцмана в свободномолекулярном пределе, получающаяся граничная задача является корректной для соответствующих этой функции моментных уравнений независимо от их выбора. При этом, конечно, предполагается, что при заданных микроскопических граничных условиях уравнение Больцмана имеет решение и что аппроксимирующая функция не вносит в интеграл столкновений особенностей, несвойственных этому интегралу. К числу функций, удовлетворяющих поставленным условиям, относится, например, обобщенное двухстороннее максвелловское распределение (5.4). [c.125]

Как и в методе моментов, вместо отыскания функции распределения, зависящей от семи переменных t, х и %, задача свелась к отысканию системы функций от четырех переменных t п х. Однако уравнения, получающиеся в методе дискретных координат, всегда обладают простым линейным дифференциальным оператором, в то время как в методе моментов, как правило, получаются квазилинейные уравнения. В методе дискретных координат не возникает трудностей с установлением граничных условий для получающихся уравнений (ср. 5 настоящей главы). Правые же части моментных уравнений часто (особенно для максвелловских молекул) проще, чем в методе дискретных скоростей. В обоих методах, в принципе, могут быть использованы одни и те же аппроксимирующие функции. Пусть функция распределения представлена через моменты аппроксимацией [c.219]

В известном смысле противоположный пример граничного условия представляет собой случай диффузного отражения. При этом предполагается, что распределение частиц, отраженных от твердой поверхности, не зависит от распределения падающих частиц и, например, является максвелловским с температурой твердой поверхности Г,,. Следовательно для функции распределения отраженных частиц ьп 0) имеем [c.84]

Система уравнений (9.63) может быть получена также путем усреднения системы (9.43). Отметим, что система уравнений (9.63) в известных терминах максвелловских полей 8,В,Т> жН удобна для использования в случае задания каких-либо граничных условий. [c.291]

Отметим здесь, что если граничное условие зависит от температуры стенки, как в случае граничных условий Максвелла, то ядро В (I I х) должно обладать двумя дополнительными свойствами. Чтобы увидеть это, отметим, что если функция распределения газа — максвелловская с температурой и массовой скоростью, равной температуре и скорости стенки, то такой газ находится в тепловом и механическом равновесии со стенкой (по крайней мере локально). Поэтому число молекул, меняющих из-за взаимодействия со стенками свои скорости с — ио на [c.66]

Далее, если вновь рассмотреть состояние равновесия, то соответствующее максвелловское распределение должно удовлетворять граничному условию (4.1), т. е. [c.67]

В частности, если границы зеркально отражающие, то условие (5.7) выполнено и, следовательно, функция распределения должна быть максвелловской для любого стационарного состояния (это неверно при более реальных граничных условиях ). [c.74]

Рассмотрим случай границ, радиусы кривизны которых велики по сравнению со средним свободным пробегом, и граничные условия, не изменяющиеся существенно вдоль границы (на масштабе среднего свободного пробега) если эти условия не удовлетворяются, задача усложняется и становится двумерной или трехмерной по пространственным переменным вместо одномерной. Предположим далее, что отклонение функции распределения от максвелловской будет порядка 8 также и в окрестности границы это допущение аналогично высказанной выше гипотезе о допустимых начальных данных. [c.136]

Лемма 3. Пусть к удовлетворяет стационарному линеаризованному уравнению Больцмана уравнению (1.21) при-8 = 0) в области К, внешней к некоторой границе дЕ, на которой выполняются граничные условия обычного вида (1.15). Пусть тело имеет постоянную температуру Го, и пусть К будет возмущением максвелловского распределения /о с нулевой массовой скоростью, температурой То и плотностью роо, равной плотности газа на бесконечности. Тогда если определить [c.160]

Теорема (обобщенная Я-теорема). Если газ ограничен непористыми твердыми стенками, на которых выполняется линейное граничное условие (1.6), то величина Я, заданная формулой (9.5), удовлетворяет неравенству (9.10). В частности, если ни в одной точке границы тепло не передается от газа к твердому телу т. е. ни в одной точке дЯ не реализуется / Р<0), то Я всегда убывает со временем и может быть постоянной только при максвелловской функции распределения. [c.160]

Эти результаты вместе с тем фактом, что при наличии зеркально отражающих стенок единственными стационарными решениями являются максвелловские распределения (следствие II), показывают, как мал класс стационарных задач, для которых может применяться предположение о зеркальном отражении. Для более общих граничных условий на максвелловское распределение будут накладываться дальнейшие ограничения следовательно, это распределение при наличии реальных граничных условий является скорее исключением даже в стационарных (неравновесных) состояниях. [c.170]

Рассмотрим граничные поверхности, радиус кривизны которых велик по сравнению со средней длиной свободного пробега, и граничные условия, которые меняются медленно вдоль границы (в масштабе средней длины свободного пробега) и во времени (в масштабе среднего времени свободного пробега). Если эти условия не удовлетворяются, то анализ усложняется и задача из одномерной превраш,ается в двух- пли трехмерную (по координатам). Примем также, что отклонение распределения от максвелловского вблизи границы остается величиной порядка е это полностью аналогично случаю начального слоя. [c.283]

Относительно граничных условий предположим, что молекулы отражаются от стенки с максвелловским распределением при полной аккомодации к состоянию стенки (более общие предположения см., например, в [11]). Поэтому граничное условие для h запишется в виде [c.330]

Второй метод — это метод прямого моделирования, впервые предложенный Бердом [79—89]. Газ представляется несколькими тысячами частиц, распределенными в начальный момент равномерно со скоростями, выбранными случайным образом из максвелловского распределения с ненулевой средней скоростью. Область пространства, в которой рассчитывается течение, делится на ряд смежных ячеек такого размера, чтобы свойства газа в пределах каждой ячейки были почти постоянными на любой стадии движения. Граничные условия зависят от рассматриваемой задачи. [c.401]

Разрешимость задачи (2.3.1) — (2.3.2) на бесконечном промежутке времени доказана только для ситуаций, близких к равновесным, ограниченной области Q и однородных граничных условий (т. е. в предположении, что суш ествует максвелловское распределение М с постоянными параметрами, такое, что УИ+-=. Один из примеров соответствующей теоремы — теорема 8 из 1. Более общий результат в этом направлении получен в работе [13], [c.480]

Движение молекул в слое газа, примыкающем к поверхности тела, также не является максвелловским движением. Прежде чем переходить к решению основных уравнений неизоэнтропического потока вблизи стенки, рассмотрим граничные условия, которым должно удовлетворять течение на поверхности тела. Движение газа на поверхности зависит от переноса массы, количества движения и энергии молекулами газа к телу и от тела. [c.156]

Формируется локальное максвелловское распределение и образуются локальные характеристики n(t, г), u(t, г), 0(<, г). Непосредственная зависимость функции F от t переходит в зависимость от времени через локальные гидродинамические переменные F(t,x) = F(x n,u, 0). Через уравнения гидродинамики в задачу входят граничные условия. Решение этих уравнений определяет время макроскопической релаксации т к состоянию статистического равновесия. [c.331]

Из уравнения (1.3) видно, что /о должно быть решением уравнения Больцмана. Так как нам не известно решений, отличных от максвелловских, то мы фактически вынуждены выбрать функцию /о максвелловской в противном случае определение нулевого приближения было бы столь же трудным, как и решение исходного уравнения. Хотя имеются максвелловские функции распределения с переменными плотностью, скоростью и температурой, являюш иеся решениями уравнения Больцмана, они составляют очень узкий класс решений, пригодный только при весьма специальных условиях (специальные начальные и граничные-данные). Выберем поэтому функцию /о максвелловской с постоянными параметрами (в частности, выбирая подходяш ую систему отсчета, мы всегда можем положить массовую скорость равной нулю). Для наших целей этот выбор достаточно широк. Теперь можно положить /д = /о/г (/г 1) и написать [c.142]

Что моя но сказать в настоящее время о максвелловских граничных условиях Имеющаяся информация невелика, но можно сказать, что они дают удовлетворительные результаты при значениях а, близких к 1 кроме того, в задачах, где динамика интереснее термодинамики (большая передача импульса и малый перенос энергии), а = — довольно точное предполоя ение. [c.67]

Максвеллиан 112, 113 см. Максвелловское распределение Максвелловские граничные условия 137, 138, 144, 149, 379, 441 [c.489]

Будем называть аппроксимирующую функцию приспособ ленной к граничным условиям, если в каждой точке границы при некотором выборе входящих в нее макроскопических параметров она совпадает с ф п кциeй распределения отраженных молекул. Пусть, например, рассматривается обтекание тела равновесным потоком газа со скоростью и , плотностью п и температурой И пусть от поверхности тела молекулы отражаются с максвелловским распределением с температурой, равной температуре стенки [c.124]

Если в граничные условия не входит температура стенки ("как, например, в (4.8) при а = О — случай зеркально отрая енного газа), то максвелловская функция при любой температуре удовлетворяет и принципу детального равновесия, и условию (4.5). Если это справедливо в каждой точке границы (включая возможную границу на бесконечности), то ясно, что такие граничные условия в общем случае совершенно нереальны, поскольку они позволяют газу оставаться в тепловом равновесии при любой заданной температуре независимо от окружающих тел. Этот факт, как правило, исключает возможность использования таких граничных условий (адиабатических стенок), однако в частных случаях они могут применяться. [c.67]

Чтобы доказать эту лемму, заметим прежде всего, что из-за Быбора максвелловского распределения и в силу принципа детального баланса функция (заданная равенством (1.11)) равна нулю и граничные условия однородны. Если умножить уравнение (1.21) (при 6 = 0) на А и проинтегрировать по то из определения (6.1) получим [c.160]

Что касается граничных условий, то мы будем предполагать, что молекулы отражаются от стейки с максвелловской функцией распределения, полностью аккомодировавшей к состоянию стенки (позже мы рассмотрим и более общие предположения). Поэтому граничное условие для к запишется в виде [c.180]

Убывание Я при отсутствии обмена энергией с окружающей средой d Q = 0 в (9.10)) показывает, что уравнение Больцмана описывает эволюцию в направлении состояния с минимумом Я (совместимого с наложенными ограничениями, такими, как объем области, содержащей газ, число молекул, температура соседних твердых тел и т. д.) при условии, что притока Я извне нет. Конечное состояние (которое должно достигаться при >оо) предположительно будет стационарным состоянием, если такое состояние допускается граничными условиями и является устойчивым. Если в (9.10) О, то стационарное состояние может быть достигнуто в том и только том случае, когда имеет место знак равенства, а это, как известно, означает, что функция распределения почти всюду в пространстве скоростей представляет собой максвеллиан. Если максвелловские распределения несовместимы с граничными условиями, то никакое стационарное состояние не достигается. [c.164]

Решить уравнение (5.20) значительно труднее, чем аналогичное уравнение (5.6) (сравн. разд. 6 и 7 гл. IV) в частности, проектирование (5.20) на не дает уравнении для параметров течения так как множитель -п связывает такие параметры со всей функцией распределения. Поэтому мы не можем написать уравнения, подобные (5.14), до тех пор пока не разработана теория решения уравнения (5.20). Качественно это было сделано в разд. 7 гл. IV, но количественные результаты нелегко получить даже для максвелловских молекул. Такую теорию можно частично построить для модельных уравнений (см. гл. VI). Кроме того, решение зависит от граничных условий, которые, согласно результатам гл. III, гораздо сложнее начальных условий. [c.284]

В этой книге получены свойства течений газа, исходя из модели молекулы и распределения скоростей молекул. Макроскопические свойства невязкого, сжимаемого (изоэн-. тропического) течения выведены в предположении, что молекулы являются просто сферами и подчиняются максвелловскому закону распределения. Для соответствующих вычислений в случае вязкого, сжимаемого (мало отличающегося от изоэнтропического) течения необходимо пользоваться более сложной моделью молекулы (центральное силовое поле) и функцией распределения, которая несколько отличается от функции распределения Максвелла. Примерами таких течений являются течения со слабыми скачками и течения в пограничном слое. Молекулярные представления позволяют получить и уравнения движения газа и граничные условия на поверхности твердого тела. Рассмотрение этих вопросов приводит к понятию о течении со скольжением и явлении аккомодации температуры в разреженных газах. Такие же основные идеи были использованы для построения теории свободномолекулярного течения. [c.7]

При квантовании мы будем пользоваться результатами п. 1.122, а именно представлением электромагнитного поля посредством бегущих волн. Мы видели, что с классической точки зрения изолированное электромагнитное поле описывается как система механических несвязанных гармонических осцилляторов, причем каждой моде сопоставляется один осциллятор (осциллятор поля излучения). Мы перенесем известные для гармонического осциллятора в механике правила квантования на поля излучения. Установленная выше формальная эквивалентность между механической и электромагнитной системами как таковая еще, конечно, не оправдывает подобный образ действий. Существуют, однако, и другие важнейшие аргументы, говорящие в пользу применяемого здесь метода квантования во-первых, применение формализма квантования поля к максвелловскому полю приводит, при одних и тех же граничных условиях, к одним и тем же результатам. Во-вторых, применяемый здесь метод позволяет адекватно отобразить бозонный характер фотонов и дать правильную интерпре- [c.138]

Постановка задачи и метод решения. При исследовании характеристик сферически симметричного разлета одноатомного газа в вакуум используется кинетическое уравнение Больцмана. В качестве модели взаимодействия молекул применяется модель псевдомаксвелловских молекул, при этом полное сечение взаимодействия молекул обратно пропорционально их относительной скорости. Граничные условия для решения уравнения Больцмана ставятся на сферической поверхности радиуса Л , с которой вылетают молекулы, имеющие максвелловское распределение по скоростям. Функция распределения определяется параметрами р,, м,, Г, (плотность, скорость и температура), причем м, =. (5/3)/ 7], т.е. массовая скорость равна скорости звука. Вводятся безразмерные переменные расстояние / = г/г], плотность р = р/р , скорость ы = uhi, температура Г = Т Т. Число Кнудсена определяется как КП = = где А, - длина свободного пробега, соответствующая функции распределения вылетающих из источника молекул. Длина свободного пробега псевдомаксвелловских молекул связана с коэффициентом вязкости соотношением Я, = 4ц/(71р< ). [c.124]

З-и этап, < > 1/Г — вторая грубая шкала времени. В этой шкале случайное блуждание брауновской частицы приобретает характер диффузионного процесса, движение частицы как бы безынерционно, частица не имеет памяти (в механическом смысле) о своей скорости (распределение по скорости — всегда максвелловское). Каждое промежуточное состояние частицы в момент <о фиксируется только координатой ж(<о), которую можно посчитать за новое начальное положение Жо, из которого начнется тот же, что и раньше, процесс диффузии (временной аргумент сдвинется на <0, I = 1- о) без всякого воспоминания о его предыстории. Такие процессы называются марковскими. Эволюция системы описывается с помошью функции распределения р Ь, г), являюшейся решением уравнения Фоккера—Планка и определяющей окончательный этап релаксации на макроскопическом времени Гполн-Граничные и начальные условия для функции р 1, г) существенно определяют детали этого процесса. [c.99]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...