Ритца условия

Согласно способу Ритца, указанные коэффициенты должны быть выбраны так, чтобы формула (20.151) давала наименьшее значение для частоты о). Условием минимума, очевидно, будет следующее равенство [c.584]

Вариационный метод Рэлея-Ритца. Согласно этому методу перемещения щ представляются в виде рядов функций, каждая из которых удовлетворяет геометрическим граничным условиям. Пусть, например, [c.127]

Метод Ритца — Лагранжа. Этот метод представляет собой комбинацию метода Ритца и метода неопределенных множителей Лагранжа. В методе Ритца функции (p k выбирают таким образом, чтобы каждая из них удовлетворяла геометрическим граничным условиям. В некоторых случаях это требование выполнить трудно. Тогда можно использовать неопределенные множители Лагранжа так, чтобы граничные условия удовлетворялись не каждой из функций, а в целом всем выражениям для прогиба w. В этом случае коэффициенты Aik будут удовлетворять некоторым дополнительным соотношениям вида [c.129]

Метод Рэлея — Ритца. Зададим искомую функцию прогибов в виде ряда, удовлетворяющего геометрическим граничным условиям и содержащим неопределенные параметры Атп- [c.201]

При использовании метода Ритца решение задачи ищется в виде рядов (15.13), (15.14), удовлетворяющих граничным условиям. Задача сводится к решению системы уравнений Ритца [c.326]

Достаточным условием сходимости метода Ритца является требование того, чтобы (fj, фд, были частью полной в I/ системы функций, т. е. такой системы, для которой [c.334]

Решая задачу методом Ритца [125], надо задать выражение для прогиба Мг, удовлетворяющее краевым условиям (б), например, в форме [c.299]

Условие стационарности функционала 65 = О формулирует континуальную вариационную задачу с бесконечным числом компонент перемещений, определяющих разыскиваемые функции-экстремали. Идея метода, предложенного еще в начале века немецким ученым Ритцем, состоит в том, чтобы от континуальной формулировки перейти к дискретной, когда функционал Э = Э и, v, w), заменяется функцией Э = Э а ) (г = 1, 2,. . ., п), зависящей от конечного числа аргументов После этого задача определения экстремалей функционала перейдет в стандартную задачу исследования указанной функции дискретного числа аргументов на экстремум. Другими словами, от континуальной задачи с бесконечным числом степеней свободы в отношении формы деформирования тела мы переходим к задаче для системы с конечным числолг степеней свободы. [c.58]

Вариационные принципы чаще всего используются для получения приближенного решения задач вязкоупругости. В частности, из вариационного принципа Лагранжа следует метод Ритца. Суть его поясним на примере тела с однородными кинематическими (геометрическими) граничными условиями. [c.358]

Одним из наиболее эффективных вариационных методов является метод Рэлея — Ритца. По этому методу решение представляется в виде выражения, удовлетворяющего граничным условиям и содержащего неизвестные коэффициенты h, где k= ,2, 3, 4,. .. Затем вычисляется значение потенциальной или дополнительной энергии. Полученные таким образом выражения будут функциями коэффи- [c.215]

Метод Ритца требует от аппроксимирующих функций лишь выполнения кинематических условий на поверхности тела (сходимость процесса в общем случае не выяснена). Если же аппроксимирующие функции выбрать так, чтобы они удовлетворяли не только кинематическим, но и статическим (а в общем случае также и динамическим) условиягл на поверхности тела, то поверхностные интегралы в уравнениях (3.6.1), (3.7.1), (3.7.3) исчезают и соответствующие системы уравнений упрощаются. Для этого метода—метода Бубнова — Галёркина, решается положительно вопрос о сходимости процесса, т. е. с увеличением числа [c.74]

В большинстве исследований [48], [62] выбор аппроксимирующих функций производят в основном по методу Ритца, так как заранее удовлетворить статическим (а тем более и динамическим) условиям на поверхности тела не всегда представляется практически возможным. [c.75]

Постоянные параметры определяются согласно методу Ритца из условия минимума функционала (7.228). [c.184]

Метод Ритца. В качестве пробной функции берется линейная комбинация функций ф , которые наиболее естественным образом соответствуют условиям задачи [c.282]

Условие равенства нулю производных, вообще говоря, есть лишь условие экстремальности, однако из-за положительной определенности оператора А следует, что здесь имеет место минимум. Очевидно, что с ростом числа членов ряда (12.45) погрешность решения (в смысле энергетической нормы) не увеличивается, но имеет место, конечно, гораздо более сильный результат погрешность стремится к нулю, поскольку процесс Ритца является процессом построения минимизирующей последовательности. [c.147]

Так же как и в методе Ритца, выбираем последовательность координатных функций ф (п==1, 2,. ..), которые в соответствии с постановкой задачи имеют непрерывные производные до определенного порядка в замкнутой области и удовлетворяют краевым условиям. Представим решение в виде ряда [c.153]

Потребуем, кроме того, чтобы функции, на которых будет минимизироваться функционал, удовлетворяли также краевым условиям, поскольку они главные. Будем решать нашу, теперь уже вариационную задачу методом Ритца. Сначала покажем его классическое применение, а затем конечно-элементное . [c.163]

Как отмечалось в 12 гл. I, решение краевых задач методом Ритца может приводить к неустойчивому алгоритму. Проиллюстрируем это утверждение иа примере одной задачи об изгибе пластинки в форме кругового сектора при смешанных краевых условиях [158]. [c.629]

Дальнейшее развитие метода Рэлея представляет метод Ритца. Выберем п функций (fk z), каждая из которых непрерывна вместе со своей производной и удовлетворяет кинематическим граничным условиям. Теми же свойствами обладает линейная комбинация [c.203]

Тогда уравнения (13.8.4) линейны и однородны для существования нетривиального решения необходимо, чтобы детерминант системы был равен нулю. Это условие приводит к алгебраическому уравнению степени к относительно Вследствие неравенства Рэлея наименьший корень этого уравнения будет давать верхнюю оценку для которая может только улучшиться с увеличением к. При увеличении к корень уравнения с номером т будет стремиться к величине при этом нельзя сказать сверху или снизу. Доказательство этой теоремы мы не приводим, заметим лишь, что для ее выполнения необходима полнота системы функций fi, т. е. возможность представления любой допустимой системы перемещений Uj в виде (13.3.5). Описанная приближенная процедура определения частот носит название метода Ритца. [c.438]

Постоянные параметры а,- выбирают из условий, чтобы функция (8.1) по возможности точнее представляла искомую функцию w(x, у). Из различных методов отыскания постоянных параметров й рассмотрим два метод Ритца —Тимошенко и метод Бубнова—Галеркина. [c.153]

Таким образом, метод Ритца—Тимошенко позволяет заменить задачу о нахождении решения дифференциального уравнения (7.17) задачей о нахождении минимума потенциальной энергии. Такая замена возможна в связи с тем, что как дифференциальное уравнение изгиба пластинки (7.17), так и вариационное уравнение (з) являются уравнениями равновесия упругого тела. Покажем, что вариационное уравнение (з) включает в себя дифференциальные уравнения равновесия и условия на поверхности. Рассматривая вариационное уравнение (з) в форме [c.157]

Следует заметить, что, хотя удовлетворение статических граничных условий в методе Ритца — Тимошенко необязательно, лучше по возможности выбирать функции так, чтобы они удовлетворяли всем граничным условиям как геометрическим, так и статическим. В этом случае ряд быстрее сходится к точному решению, а при вычислениях бывает достаточно ограничиться одним-двумя членами ряда. [c.159]

Таким образом, метод Бубнова — Галеркина, как и метод Ритца — Тимощенко, исходит из принципа возможных перемещений, а поэтому оба метода равноправны. В обоих методах аппроксимирующую функцию необходимо выбирать так, чтобы она удовлетворяла геометрическим граничным условиям, а статическим — необязательно. [c.161]

Решение задачи о выпучивании пластинки под действием касательных сил в ее срединной плоскости в конечном виде очень сложно, поэтому воспользуемся одним из вариационных методов— методом Ритца—Тимошенко. Согласно этому методу уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки при ее выпучивании следует искать в виде ряда, каждый член которого должен удовлетворять хотя бы геометрическим граничным условиям. [c.197]

Во многих случаях в книге применяется также энергетический метод решения задач теории упругости. При этом интегрирование дифференциальных уравнений заменяется исследованием условия минимума некоторых интегралов. При помощи метода Ритца эта задача вариационного исчисления сводится к простой задаче отыскания минимума функции. Таким способом удается получить приближенные решения во многих практически важных случаях. [c.17]

При использовании приближенного метода Ритца мы не обязательно должны пользоваться полиномами (в). Мы можем взять функции ф , ф , фз,. . ., входящие в ряд (а) и в других фэрмах, удобных для представления функции напряжений ф. Используя, например, тригонометрические функции и учитывая условия симметрии (рис. 163), получаем [c.325]

Одним из эффективных вариационных методов является метод Лагранжа—Ритца Этот метод состоит в следующем. Вначале представляют решение в форме ряда, удовлетворяющего граничным условиям и содержащего неопределенные параметры щ, [c.388]

Согласно методу Ритца представим перемещения и, и, ю в виде ряда функций, каждая из которых удовлетворяет геометрическим граничным условиям. Пусть, например, [c.192]

В этом случае метод Ритца применяется в такой последовательности. Сначала, как обычно, задаются видом функции прогиба, удовлетворяющей граничным условиям. Затем подставляют выражение для ю в уравпепие совместности деформаций (6.19) и интегрируют его. Полученное после [c.196]

В большинстве случаев исполь,зование метода Бубнова — Галеркина при решении такого рода задач приводит к менее громоздким выкладкам, чем применение метода Ритца. Однако следует помнить, что в случае применения метода Бубнова — Галеркина в той форме, которая была нами рассмотрена, функция т обязателыто доляата удовлетворять как геометрическим, так и статическим граничным условиям. [c.201]

Энергетические методы широко применяют в задачах статики и динамики тонкостенных конструкций. Наиболее распространенным из них является метод Релея — Ритца, предусматривающий представление решения в виде ряда по координатным функциям. Выбор метода решения задачи — интегрирование дифференциального уравнения (классическими методам и или методом Галер-кина) или применение энергетического метода — часто связан с определенными трудностями. Можно показать, что при условии корректного применения метода Галеркина к системе дифференциальных уравнений [22], он в математическом отношении эквивалентен методу Релея — Ритца [133]. Однако, если имеется только дифференциальное уравнение, то следует применять метод Галеркина или другие методы его решения, а если имеется только выражение, определяющее энергию системы, следует отдать предпочтение энергетическим методам. Эти соображения не помогают выбрать метод решения задач, которые сформулированы как в дифференциальной, так и в энергетической постановке. Он определяется в этих случаях предшествующими расчетами, а также наличием программ решения задач на собственные значения (для устойчивости и колебаний) для вычислительных машин. Традиционно энергетические методы получили наибольшее распространение в США и Германии, в Англии отдавалось предпочтение конечно-разностным методам решения дифференциальных уравнений, а в СССР — методу Галеркина. [c.179]

Итак, с помощью метода Рэлея—Ритца задача определения точек бифуркации прямолинейной формы равновесия стержня сведена к задаче на собственные значения для матриц (см. приложение I). Условие существования отличных от тождественного нуля решений системы (2.71) приводит к уравнению, из которого могут быть найдены собственные значения Р [c.66]

В случае применения метода Рэлея—Ритца базисные функции fi (х) должны удовлетворять только геометрическим граничным условиям. Если система базисных функций полная, то при Л/ —> оо силовые граничные условия удовлетворяются автоматически. Однако выбирая базисные функции при небольшом числе членов ряда (2.68), удерживаемых в решении, желательно удовлетворять не только геометрическим, но и силовым граничным условиям (особенно для первого члена ряда). [c.67]

Использование метода Рэлея — Ритца в сочетании с методом множителей Лагранжа. В описанной выше схеме метода Рэлея— Ритца геометрическим граничным условиям задачи удовлетворяла каждая координатная функция (.к). Но при выборе аппроксимирующих функций можно потребовать, чтобы часть граничных условий была удовлетворена не каждой функцией ряда (2.68), а их суммой. В некоторых случаях такой путь решения удобнее. [c.68]

Первые три граничных условия являются геометрическими и должны обязательно удовлетворяться при построении приближенного решения задачи методом Рэлея—Ритца. [c.68]

Для иллюстрации различия между этими методами рассмотрим следующий пример приближенного решения. Определяя критическую силу шарнирно-опертого стержня по методу Рэлея—Ритца, в первом приближении можно взять аппроксимирующую функцию в виде квадратичной параболы, удовлетворяющей геометрическим граничным условиям задачи [c.76]

Но если вместо квадратичной параболы, не являющейся функцией сравнения, возьмем четырежды дифференцируемую функцию, удовлетворяющую всем граничным условиям задачи, то результаты приближенных решений метода Рэлея—Ритца и метода Галеркина совпадут. Примем, например, [c.77]

Заметим, что при численной реализации метода Рэлея — Ритца вместо условия б (АЭ) = О иногда удобнее воспользоваться другой эквивалентной формулировкой энергетического критерия устойчивости (см. 9), положив АЭ = О при дополнительном требовании Р = где Р — параметр, пропорционально ко- [c.181]

Для пластин со свободным краем обнаруживается основное преимущество метода Рэлея—Ритца по сравнению с методом Галеркина при выборе координатных функций можно не заботиться об удовлетворении силовых граничных условий на свободном краю пластины. Ограничившись одним членом ряда, находим [c.185]

Наиболее часто в практике используют расчеты, основанные на вариационном принципе Лагранжа. Выше, в 5 этот принцип был использован для вывода фференциального уравнения изгиба пластины и граничных условий. Ниже будет рассмотрено применение некоторых прямых методов вариационного исчисления (метода Ритца, метода Бубнова—Галеркина и метода Канторовича). [c.96]

Так как при выборе координатных функций следует учитывать лишь геометрические граничные условия, метод Ритца является весьма эффективным для расчета пластин со свободными краями, пластин с вырезами, а также пластин переменной толщины и подкрепленных пластин. [c.100]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...