Ритца метод действительная

Таким образом, приближения, получаемые по методу Ритца, оказываются действительно сходящимися к истинному решению. [c.159]

Методы Ритца (1908 г.)—Тимошенко (1910 г.), Бубнова <1913 г.) — Галеркина (1915 г.), и Треффца (1933 г.) предлагают различные способы приближения к действительному значению на основе приведенных выше вариационных принципов. По методу Власова (1Й6 г.) — Конторовича (1942 г.) решение задается з форме [c.12]

При использовании вариационных методов большое значение имеет оценка полученных результатов по отношению к действительным значениям. Известно, что метод Ритца — Тимошенко дает приближение к действительному значению сверху, а метод Треффца снизу относительно других вариационных методов этот вопрос [c.14]

Заметим, что приближенное значение функционала П (5.91), получаемое методом Ритца, всегда не меньше действительного функционала П (5.87). В самом деле, значение минимума функционала находится с избытком, так как минимум функционала на любых допустимых функциях не больше, чем минимум того же функционала на части этого класса допустимых функций (5.89). [c.109]

Как уже отмечалось, получаемое методом Ритца приближенное значение функционала всегда не меньше действительного. Напротив, приближенное значение функционала, получаемое методом Треффца, никогда не превосходит действительного. Докажем эти особенности методов Ритца и Треффца. [c.113]

Методы Рэлея (1877), см. уравнения (4.57)—(4.61), Ритца (1908) — Тимошенко (1910), Бубнова (1913) — Галеркина (1915) и Треффца (1933) предлагают различные способы приближения w к действительному значению на оснтзе приведенных выше вариационных принципов. По методу В. 3. Власова (1946) —Л. В. Канторовича (1942) решение задается в форме ряда [c.11]

При использовании вариационных методов большое значение имеет оценка полученных результатов по отношению к действительным значениям. Известно, что метод Ритца —Тимошенко дает приближение к действительному значению сверху, а метод Треффца—снизу относительно других вариационных методов этот вопрос остается открытым. В 1970 г. Б. Ф. Власовым [21] предложен метод двусторонних оценок по энергии, между которыми должны лежать действительные значения искомой функции. [c.14]

Б систему как бы вводятся дополнительные связи, и она становится более жесткой, чем в действительности. Поэтому приближенное решение, полученное методом Ритца, удовлетворяет неравенству [c.97]

Метод Бубнова—Галеркина обладает одной особенностью, которая относится к граничным условиям. Если функции /,(х) удовлетворяют только геометрическим граничным условиям (как говорилось, такие функции могут быть использованы при решении по способу Ритца), то это может привести к большим ошибкам при решении по способу Бубнова—Галеркина. Если при выборе функций fi (х) не считаться с силовыми граничными условиями (например, не обращать внимания на условия 1 = 0 и /, = 0 на свободном конце балки или на условие /Г = 0 на шарнирной опоре), то будет неявно признано существование на концах балки таких граничных усилий, которых в действительности нет. Из-за этого возникнет ошибка, так как в выражение (11.261) войдет работа несуществующих усилий. Для компенсации ошибки следует вычесть из левой части выражения (11.261) излишнюю работу этих граничных усилий (обобщенный метод Бубнова — Галеркина). [c.137]

Известно несколько методов, позволяющих определить частоту р по формуле (28), причем отличаются они между собой главным образом способом определения кривой формы колебания диска. Чем меньше отличается выбранная кривая от действительной, тем точнее результат. Принцип применяемых в этом случае методов Релея, Ритца и последовательного приближения изложен в первом томе [33]. [c.15]

Определяя частоту свободных колебаний облопаченного диска по методу Релея, следует вместо действительной кривой прогибов диска и лопаток принять статический прогиб последних от нагрузки, равномерной по радиусу и изменяющейся по закону os тф на окружности диска. Применяя же метод Ритца, за кривую прогибов выбирают обычно функцию с одним или двумя параметрами, величина которых определяется из условия минимума частоты. [c.15]

Известно, что вариационные методы являются систематическим и мощным средством отыскания этих неизвестных параметров. Это используется в приложениях метода Релея—Ритца и является стандартным способом при построении методов конечных элементов в тех случаях, когда удается сформулировать вариационные принципы [II. Действительно, на протяжении всей этой книги выюдились вариационные принципы для задач теории деформируемого твердого тела в расчете иа то, чтобы использовать их в качестве основы методов конечных элементов. Одиако юзни-кают два вопроса. Во-первых, всегда ли возможно отыскать вариационный принцип в задачах механики сплошных сред, таких, как проблемы гидродинамики, теплопередачи и т. д Во-вторых, если ответ на первый вопрос отрицателен, то как определить упомянутые выше неизвестные параметры Поскольку ответ на первый вопрос действительно отрицателен, как объяснено в [2], в данной главе кратко освещается второй вопрос. [c.425]

Изложенный в настоящем параграфе приближенный метод расчета ламинарного пограничного слоя основывался на использовании однопараметрического семейства профилей скорости, представлявших точные подобные решения уравнений Прандтля (11). Такой подход или несколько более общий, заключавшийся в выборе конкурирующих однопараметрических семейств профилей скорости среди других, известных к тому времени точных решений, возник только в самом конце тридцатых годов. Ранее использовались искусственно образованные аналитические семейства профилей, просто схожие по форме с действительными профилями, совпадающие с ними на внешней (г/ = б) и внутренней (у = 0) границе пограничного слоя. Произвол в выборе такого рода конкурирующих наборов профилей скорости породил большое число различных приближенных методов и, по-видимому, отражал широко в то время принятый в теории упругости метод Ритца. [c.466]

В случае бесконечных рядов (16.3) возникает вопрос о том, сходятся ли значения и, V, т, полученные указанным методом, к действительным интегралам уравнений упругого равновесия в рассматриваемом случае. Ритц доказал это для разобранного им случая изгиба заделанной прямоугольной пластинки равномерной нагрузкой. В общем виде этот вопрос был предметом многих работ, в частности работ Н. М. Крылова и Л. Канторовича, но он не может считаться окончательно решённым, и мы не будем здесь останавливаться на нём. При конечном числе постоянных (16.4) мы получим приближённое решение, точность которого вообще тем выше, чем больше постоянных <16.4), и чем искуснее подобраны функции (16.5). [c.442]

Метод Ритца. При решении задач методом Ритца искомой функцией задаются, выбирая ее так, чтобы она удовлетворяла граничным условиям и соответствовала действительной картине деформации пластины. Содержащиеся в выбранной функции неопределенные параметры определяют по условию минимума энергии. В общем виде искомая функция может быть взята в виде ряда [c.256]

Существует, однако, еще один способ использования стационарной формулы. Можно взять целое семейство пробных функций, которые зависят от одного или большего числа параметров. Если известно, что вычисляемая величина стационарна в окрестности точной волновой функции, то обычно предполагается, что приближение является оптимальным при выборе таких значений параметров, вблизи которых полученный результат стационарен по отношению к малым вариациям. Задача, таким образом, обычно сводится к задаче отыскания экстремума функции нескольких переменных. Описываемая процедура также хорошо известна она применялась и применяется главным образом в расчетах связанных состояний (метод Релея — Ритца). Однако для получения таким способом разумных результатов одной стационарности применяемых уравнений в действительности недостаточно. [c.297]

Заметим, что здесь нам совершенно не нужен был больший корень 22, так как этот корень соответствует уже другому, высшему типу колебаний той же балки и притом такому, при котором упругая линия балки симметрична относительно плоскости, равноудаленной от ее концов и перпендикулярной к прямой, соединяющей эти концы, это следует из выбора аппроксимирующих функций. В действительности же это будет уже третий тип колебаний. Но ведь мы ставим себе целью получить значение периода только для основного типа, для которого, пользуясь методом Рэлея — Ритца, мы нашли два последовательных приближения. Если бы мы стали вести расчет, опираясь на корень 2,2, то в этом случае получили бы для периода соответствующего типа колебаний только первое приближение для следующего приближения нужно в выражении для Уо взять уже три аппроксимирующие функции фг х) и т. д. [c.258]

Метод конечных элементов, по крайней мере его основы, известен уже более полувека, но настоящий взлет он получил лишь с развитием современных средств информатики. Интегральные представления известны достаточно давно благодаря работам Галеркина, Ритца, Куранта и Гильберта [1-4] (здесь отмечены только эти работы, как внесшие наиболее существенный вклад). Однако применение интегральных представлений расширялось по мере того, как разрабатывались методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений больших размерностей. Действительно, громадная работа по решению линейной системы с несколькими десятками уравнений и таким же количеством неизвестных отталкивала большинство инженеров, и такими вычислениями занимались лишь немногие специалисты, которые, впрочем, разрабатывали всевозможные ухищренные методы, применявшиеся в течение ряда лет, некоторые из которых используются еще и сегодня (Сутвел, Якоби, Гаусс). [c.7]

Отметим, что скорости убывания ошибок — h для переме щения и h для напряжения — опять-таки подтверждаются численным экспериментом. Многие экспериментаторы подсчитывали ошибки только в отдельных узлах сетки вместо среднеквадратичных ошибок на интервале и получили те же самые скорости сходимости. (Чтобы предсказать поточечные ошибки, мы должны вернуться к принципу максимума или предположить большую гладкость данных в среднем и улучшить вариационную оценку. В некоторых важных задачах решение по методу Ритца действительно точнее всего в узловых точках например, для —и" f, и(0) = и (п) = О функция и совпадает [c.65]

При условии, что в каждой точке решение и имеет к производных, скорость сходимости в отдельных точках ожидается такой же. (При наличии особенностей степень дифференцируе-мости и, следовательно, скорость сходимости совершенно различны в поточечном и среднеквадратичном смыслах. Мы не приводим детального доказательства оптимальных оценок ошибок в точках.) В специальных точках ошибка действительно может сходиться быстрее, чем в среднем. Например, для задачи —и" = / узлы линейных элементов специфичны Ф = их и решение Ритца в этих узлах точное. Это вообще справедливо, если элементы служат решениями однородного дифференциального уравнения [XI, Т5]. Для уравнения теплопроводности Томе отметил особую скорость сходимости в узлах сплайнов, Дуглас и Дюпон расширили этот принцип на свои методы коллокации. [c.130]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...