Ритца система

Сущность этих методов заключается в приведении функционала, входящего в вариационное уравнение (3.20), к квадратичному виду. Это, как известно, значительно упрощает математический аппарат. В частности, при применении метода Ритца система (3.43) преобразуется в систему линейных алгебраических уравнений. Методы последовательных приближений позволяют сколько угодно точно учитывать реальные механические свойства деформируемых тел. В первом приближении в уравнении (3.20) функция (Н) принимается постоянной величиной (какой-то усредненной по объему тела либо просто произвольной), называемой по аналогии с ньютоновской линейно-вязкой средой с коэффициентом вязкости л. Это достигается прямыми методами решение квадратического функционала [c.98]

Способ Ритца. При использовании способа Рейлея делается определенное допущение относительно формы упругой линии колебаний стержня. Выбор этой формы равносилен введению некоторых добавочных ограничений, которые приводят сложную систему к системе, имеющей только одну степень свободы. При этом указанные добавочные ограничения могут только увеличить жесткость системы, что дает несколько преувеличенное значение частоты по сравнению с фактическим ее значением. [c.584]

Выполняя указанное интегрирование, посла преобразования будем иметь такую же систему однородных уравнений, как и (20.160) по способу Ритца. Приравнивая к яулЕо определитель системы, получим уже известную формулу (20.161) для определения частоты. [c.588]

При использовании метода Ритца решение задачи ищется в виде рядов (15.13), (15.14), удовлетворяющих граничным условиям. Задача сводится к решению системы уравнений Ритца [c.326]

Таким образом, предложенный в предыдущей главе метод конечных элементов совпадает, по существу, с методом Ритца. Из общих результатов 2 приложения II следует, что для доказательства сходимости метода при /i = max/г , О достаточно проверить полноту системы функций (4.3) в F последняя проблема сводится к исследованию возможности аппроксимации функции из V кусочно-полиномиальными функциями. [c.158]

Достаточным условием сходимости метода Ритца является требование того, чтобы (fj, фд, были частью полной в I/ системы функций, т. е. такой системы, для которой [c.334]

Условие стационарности функционала 65 = О формулирует континуальную вариационную задачу с бесконечным числом компонент перемещений, определяющих разыскиваемые функции-экстремали. Идея метода, предложенного еще в начале века немецким ученым Ритцем, состоит в том, чтобы от континуальной формулировки перейти к дискретной, когда функционал Э = Э и, v, w), заменяется функцией Э = Э а ) (г = 1, 2,. . ., п), зависящей от конечного числа аргументов После этого задача определения экстремалей функционала перейдет в стандартную задачу исследования указанной функции дискретного числа аргументов на экстремум. Другими словами, от континуальной задачи с бесконечным числом степеней свободы в отношении формы деформирования тела мы переходим к задаче для системы с конечным числолг степеней свободы. [c.58]

В заключение этого параграфа отметим, что рассмотренные выше основы метода Ритца имеют в основном принципиальное значение. В то же время технически он реализуется в большинстве случаев в одной из форм так называемого метода конечных элементов (МКЭ), о чем более подробно сказано в гл. 8. Преимущества последнего состоят в том, что окончательные разрешающие уравнения Ритца (3.28) удается составлять минуя операцию явного получения выражения полной энергии системы и его дифференцирования. [c.61]

По выражению (3.37) можно варьировать напряжения в теле с помощью и параметров X, (i = l, 2,. . ., п), т. е., как и в методе Ритца, от континуальной задачи мы перешли к дискретной для системы с п степенями свободы. Вычислив U, получим функцию U = = и (Xi, р) i = i, 2, п). Из вариационного уравнения (3.34) [c.65]

Большую популярность за последнее время приобрел в а р и а ц и о н н ы й мет о д В. 3. Власова. В этом методе искомая функция зависит от двух переменных и удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных (например, прогиб в задаче об изгибе упругой пластинки). Эта функция выражена в виде произведения двух функций, из которых одна представляет заданную функцию от одного переменного, д другая — искомую функцию от другого. Вместо искомых постоянных коэффициентов, рассматриваемых в методе Бубнова — Галеркина (а также в методе Ритца — Тимошенко) и определяемых линейными алгебраическими уравнениями, в вариационном методе Власова, построенном на прямом применении принципа возможных перемещений, рассматривается система искомых функций. [c.65]

Метод Ритца требует от аппроксимирующих функций лишь выполнения кинематических условий на поверхности тела (сходимость процесса в общем случае не выяснена). Если же аппроксимирующие функции выбрать так, чтобы они удовлетворяли не только кинематическим, но и статическим (а в общем случае также и динамическим) условиягл на поверхности тела, то поверхностные интегралы в уравнениях (3.6.1), (3.7.1), (3.7.3) исчезают и соответствующие системы уравнений упрощаются. Для этого метода—метода Бубнова — Галёркина, решается положительно вопрос о сходимости процесса, т. е. с увеличением числа [c.74]

Решение прямой задачи как в перемещениях, так и в напряжениях требует интегрирования довольно сложной системы дифференциальных уравнений в частных производных и, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому при решении прямой задачи часто используют приближенные методы,например метод сеток, прямые методы вариационных задач (методы Ритца, Бубнова—Галеркина, Канторовича и др.), а также получивший за последнее время широкое применение метод конечных элементов. В некоторых же случаях решение можно эффективно получить с помощью так называемого полуобратного метода Сен-Венана. [c.81]

Матрица с элементом [ф, ф/] называется матрицей Ритца. Если координатные элементы принадлежат не только пространству На, но и области О А, то можно исходить из функционала в форме (12.2), тогда и система примет вид [c.146]

При этом отрезок ряда по Ритцу совпадает с отрезком ряда Фурье, а система (12.46) принимает диагональный вид. [c.148]

Раньше было установлено, что при увеличении числа удерживаемых координатных функций приближенное решение стремится к точному (в обобщенном смысле). При этом предполагалось, что все вычисления осуществляются с абсолютной точностью. Однако как вычисление коэффициентов системы Ритца, так и само решение этой системы фактически осуществляются с погрешностью, причем естественно, что влияние погрешностей растет с увеличением порядка системы. Исследование этого вопроса требует дополнительного привлечения ряда новых понятий, на определении которых теперь и остановимся. [c.155]

Сформулируем теперь окончательный результат. В случае, если система координатных функций сильно минимальна, то по отношению к малым изменениям матрицы Ритца и столбцам правой части оказывается устойчивым как само решение бесконечной системы, так и приближенное решение, которое строится для фиксированного числа удерживаемых координатных функций. [c.156]

Остановимся на роли погрешности, которая возникает за счет приближенности решения самой системы Ритца. Важную роль здесь играет число обусловленности матрицы (см. 15). Для того чтобы решение и в этом случае оказалось устойчивым, необходимо, чтобы собственные числа матрицы были ограничены сверху и снизу положительными числами независимо от порядка матриц. [c.156]

Расчеты проводились при параметрах ро=1,82 и сро = 48°. Использовалось всего по 12 координатных функций (г = 0, 1,2,3 и / = 0, 1,2). Рещение системы уравнений осуществлялось практически точно, но при построении самой матрицы вносилась погрешность. Обозначим через ба и Ьш относительную погрешность в коэффициентах Ритца и в смещении w при решении, исходя из первой координатной системы. Добавление же черты означает, что брались эти же величины, но применительно ко второй системе, т. е. ба и бг . [c.630]

Тогда уравнения (13.8.4) линейны и однородны для существования нетривиального решения необходимо, чтобы детерминант системы был равен нулю. Это условие приводит к алгебраическому уравнению степени к относительно Вследствие неравенства Рэлея наименьший корень этого уравнения будет давать верхнюю оценку для которая может только улучшиться с увеличением к. При увеличении к корень уравнения с номером т будет стремиться к величине при этом нельзя сказать сверху или снизу. Доказательство этой теоремы мы не приводим, заметим лишь, что для ее выполнения необходима полнота системы функций fi, т. е. возможность представления любой допустимой системы перемещений Uj в виде (13.3.5). Описанная приближенная процедура определения частот носит название метода Ритца. [c.438]

Из-за трудностей интегрирования уравнения (3.153) приходится прибегать к различным приближенным методам определения частот колебаний, к которым относятся замена кривого стержня (арки) системой с конечным числом степеней свободы, введение конечного числа точечных масс [144] замена арки многоугольной рамой [98], замена арки упруго связанными между собой абсолютно жесткими звеньями [72], применение метода Рэлея —Ритца для интегрирования уравнения колебаний [122] метода Галеркина [69] и т. д. [c.84]

Метод Ритца —Тимошенко основан на использовании известного из курса теоретической механики принципа возмо жных перемещений для того, чтобы система, подчиненная идеальным [c.153]

Для определения коэффициентов ряда методом Ритца — Тимощенко следует подсчитать потенциальную энергию системы внешних и внутренних сил, действующих на пластинку при ее выпучивании (8.2). [c.197]

Решение системы (10.54) представляет большие трудности, поэтому целесообразно применять вариационные методы решения метод Бубнова—Галеркина или метод Ритца—Тимошенко. [c.252]

Энергетические методы широко применяют в задачах статики и динамики тонкостенных конструкций. Наиболее распространенным из них является метод Релея — Ритца, предусматривающий представление решения в виде ряда по координатным функциям. Выбор метода решения задачи — интегрирование дифференциального уравнения (классическими методам и или методом Галер-кина) или применение энергетического метода — часто связан с определенными трудностями. Можно показать, что при условии корректного применения метода Галеркина к системе дифференциальных уравнений [22], он в математическом отношении эквивалентен методу Релея — Ритца [133]. Однако, если имеется только дифференциальное уравнение, то следует применять метод Галеркина или другие методы его решения, а если имеется только выражение, определяющее энергию системы, следует отдать предпочтение энергетическим методам. Эти соображения не помогают выбрать метод решения задач, которые сформулированы как в дифференциальной, так и в энергетической постановке. Он определяется в этих случаях предшествующими расчетами, а также наличием программ решения задач на собственные значения (для устойчивости и колебаний) для вычислительных машин. Традиционно энергетические методы получили наибольшее распространение в США и Германии, в Англии отдавалось предпочтение конечно-разностным методам решения дифференциальных уравнений, а в СССР — методу Галеркина. [c.179]

Метод Ритца. Согласно общей идее метода Ритца, вместо решения дш )( )еренциального уравнения линейных колебаний системы [c.245]

Итак, с помощью метода Рэлея—Ритца задача определения точек бифуркации прямолинейной формы равновесия стержня сведена к задаче на собственные значения для матриц (см. приложение I). Условие существования отличных от тождественного нуля решений системы (2.71) приводит к уравнению, из которого могут быть найдены собственные значения Р [c.66]

Если система базисных функций Д- (х) полная, то при N — оо решение задачи методом Рэлея—-Ритца сходится к точному решению. Но при практическом использовании метода, когда число членов ряда (2.68) невелико, сходимость к точному решению имеет только теоретическое значение. Значительно важнее удачно выбрать вид первых членов этого ряда. [c.67]

В случае применения метода Рэлея—Ритца базисные функции fi (х) должны удовлетворять только геометрическим граничным условиям. Если система базисных функций полная, то при Л/ —> оо силовые граничные условия удовлетворяются автоматически. Однако выбирая базисные функции при небольшом числе членов ряда (2.68), удерживаемых в решении, желательно удовлетворять не только геометрическим, но и силовым граничным условиям (особенно для первого члена ряда). [c.67]

При аналитическом представлении искомой функции в виде ряда (2.68) или выражения (2.73) метод Рэлея — Ритца всегда приводит к завышенному значению критической нагрузки. Это происходит вследствие того, что ограничивая выражением (2.73) или рядом (2.68) класс функций, среди которых ищем решение задачи, как бы накладываем на исследуемую систему дополнительные связи. В результате таких дополнительных связей жесткость системы может возрасти, что и приведет к завышенному значению критической нагрузки. Значение критической нагрузки, получен- [c.70]

Если в качестве координатных функций gi (х) взята полная система функций, то увеличивая число членов ряда (2.80), можно теоретически с любой степенью точности определить требуемое количество собственных значений Р и построить соответствующие им собственные функции задачи. Но при практическом использовании метода Галеркина, как и метода Рэлея—Ритца, приходится ограничиваться сравнительно небольшим числом членов ряда (2.80). Точность и трудоемкость решения определяются не полнотой системы координатных функций, а тем, насколько удачно выбраны первые функции этого ряда. [c.73]

Подсчитывая с использованием (3.53) изменение полной потенциальной энергии стержня, приходим к простой алгебраической зависимости ДЭ = АЗ ( j). Таким образом, используя метод Рэлея—Ритца, задачу исследования закритического деформирования стержня можно свести к задаче исследования нелинейной системы с одной степенью свободы. [c.120]

В рассмотренных выше примерах применения метода Ритца мы сначала определяли полную энергию системы при ее деформации в соответствии с принятой формой изогнутой поверхности и лишь затем, минимизируя энергию, получали уравнения (2,84) для определения постоянных. [c.103]

При втором способе линеаризации нелинейная система заменяется линейной на некотором специально выделяемом движении Или группе движений, например, на периодических. Обоснованием замены в этом случае считаются всевозможные интегральные методы усреднения на выделенных движениях (гармоническая линеаризация и гармбаланс, методы Ритца и Галеркина и т. д.). Физическим основанием для замены здесь является энергетическая близость линейной и нелинейной систем. Если линеаризуемая этими методами система все же существенно нелинейная, то линейная система получается амплитудно-частотно-зависимой от возбуждения. [c.78]

Решения для проекций соответствующей нелинейной системы, выполненные по методу Ритца (с удержанием в решении одной гармоники), будет изображаться уже графиками штрихпунктир) на той же фиг. 69. [c.151]

И, наконец, возможно применение прямых методов типа Ритца и Бубнова—Галеркина. Системы координатных функций, удовлетворяющие граничным условиям, а также обеспечивающие устойчивость вычислительного процесса, в рассматриваемой задаче могут быть таковы [c.82]

В практических приложениях, когда нас интересуют напряжения (деформации) лишь в наиболее нагруженных участках элемента, эффективное решение можно получить, например, прямыми методами типа Ритца и Бубнова—Галеркина, Как показано в [97], системой координатных функций для сечения в виде прямоугольника (0< <а 0<.у <.Ь), удовлетворяющей условиям устойчивости вычислений для уравнений (16,4), (19,4), будет, например, [c.102]

Метод Ритца можно построить на простой идее коэффициенты i, С2,. . Сп ДОЛЖНЫ быть выбраны так, чтобы вычисление по формуле (11.256) дало наименьшее значение для р . Из теоремы Рэлея (см. стр. 34) вытекает, что такой выбор будет наилучшим (при данной системе функций / ). [c.135]

Решение уравнения (11.27) также проводим методом Ритца. Решения, удовлетворяющие главным краевым условиям (11.29), и соответствующая система алгебраических уравнений (система Ритца) приобретают вид [c.34]

Коэффициенты системы алгебраических уравнений (П.38) — системы Ритца — для вариационного уравнения (11.58), соответствующего неосесимметричной потере устойчивости с образованием I волн по окружной координате с учетом однородности материала по толщине оболочки, имеют вид [c.47]

В качестве координатных функций, необходимых для решения вариационного уравнения (11.55), выбираем степенные полиномы [26], выражения которых приведены в табл. 1, а для решения вариационного уравнения (11.58) — полиномы (р) =p (l—(р) = = р (1—p ) + [2]. Они удовлетворяют требованиям, предъявляемым к координатным системам, используемым в методике Ритца [57]. [c.49]

При использовании бифуркационного критерия потери устойчивости (в условиях мгновенного деформирования или ползучести) на каждом шаге по ведущему параметру решения (прогибу, нагрузке или времени) после определения параметров, описывающих основное состояние оболочки, проверяем возможность перехода оболочки от основной осесимметричной к бесконечно близкой циклически симметричной форме, которой соответствует наличие ненулевых вещественных решений однородного вариационного уравнения (П.58) или системы Ритца (П.38) с коэффициентами (П.63), что имеет место при обращении в нуль определителя системы. Возможность бифуркации и форму потери устойчивости (/) численно фиксируем по перемене знака определителя системы (П.38) на некотором шаге по ведущему параметру для некоторого номера гармоники I, который последовательно выбирается из заранее обусловленного диапазона целых чисел, начиная с нуля. [c.51]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...