Хашин

Изменение модуля сдвига но объемному содержанию арматуры направления 3 представлено на рис. 5.6. Нелинейный характер этих характеристик по сравнению с модулями Юнга указывает на меньшее влияние жесткости арматуры при расчете их относительных значений. Слоистая модель приводит к большим значениям модулей сдвига — кривые 1,2 — по сравнению с моделью, предлагающей сведение их к однонаправленной среде — кривые 3, 4. Это объясняется тем же, что и при расчете модулей Юнга. Для первых двух кривых использованы условия Фойгта в плоскости 12 — при вычислении модуля Озг (рис. 5.6, а) и в плоскости 13 — при вычислении модуля 0]з (рис. 5.6, б). Для двух других кривых использована формула Хашина [86], при выводе которой ставились условия Рейсса. Как следует [c.140]

Хашин 3., Розен Б. В. Упругие модули материалов, армированных волокнами. — Труды американского общества инженеров-механиков. Серия Е, Прикладная механика/Пер. с англ. 1969, № 2, с. 223—232. [c.221]

Существенным результатом решения задачи в микромехани-ческой постановке является вычисление эффективных модулей, которые определяются как коэффициенты, связывающие усредненные по объему значения компонент тензоров напряжений и деформаций при определенных граничных условиях. Эти граничные условия могут быть двух типов (Хашин и Розен [6]) условия для перемещений на границе ) [c.14]

Приведенные выше определения мало помогают при фактическом вычислении эффективных модулей, хотя они и полезны для нахождения их верхних и нижних границ (см., например, Хашин и Розен [6]). Несколько иное определение (Адамс и До-нер [1]) можно дать следующим образом. Предположим, что распределение деформаций и напряжений одинаково во всех ТИ1ТИЧНЫХ геометрических элементах неоднородной среды. Далее, предположим, что на поверхностях раздела между смежными элементами удовлетворяются условия непрерывности поверхностных сил и перемещений. Тогда эффективные модули определяются равенствами (5), где усреднение можно, очевидно, проводить по объему типичного элемента. В качестве примера рассмотрим граничные условия для типичного элемента в виде квадрата, удобные для вычисления эффективных модулей растяжения, связывающих усредненные по объему нормальные напряжения и деформации. Для этой цели достаточно рассмотреть класс граничных задач о так называемом обобщенном плоском деформированном состоянии, при котором компоненты тензоров напряжений и деформаций являются функциями только Xi и Х2, а S33 постоянна. Задаются следующие граничные условия (см. рис. 2) [c.19]

В заключение следует отметить, что формулы (38) — (43) совпадают с результатами, полученными Эшелби [37] для рассеянных шаровых частиц в изотропной матрице. Аналогичным вопросам посвящены не обсуждавшиеся здесь в явном виде работы Хашина [64, 65], Будянски [25], By [171], Фурузе [53] и Деви [36]. [c.79]

Следующая по сложности модель была рассмотрена Киль-чинским [98, 99], а также Хашином и Розеном [73]. Модель эта представляет собой волокно, содержащееся в цилиндрической матрице, которая в свою очередь находится в неограниченной среде, обладающей эффективными свойствами композита. Ха-шин и Розен сформулировали краевую задачу для определения эффективных упругих модулей, но не дали ее точного решения. Впоследствии Хашин [72] сообщил, что были найдены точные решения, однако не опубликовал их. [c.80]

Вариационные принципы классической теории упругости впервые применил к гранулированным композитам, по-видимому, Поль [125]. Существенные результаты в этом направлении были получены также в работах Хашина и Штрикмана [74—78], Хашина [66, 69—71] и Хилла [84, 85]. В данном разделе будет продемонстрировано применение классических вариационных принципов. [c.81]

Границы эффективных модулей для волокнистых композитов были найдены почти одновременно Хиллом, Хашином п Розеном (Хилл [86], Хашин и Розен [73], Хашин [68, 69, 72]). Так как их выводы слишком громоздки, здесь приводятся только результаты, полученные в работе [72] [c.83]

Эта взаимосвязь упругости и вязкоупругости была указана Хашином как для изображений Карсона характеристик [44, 45], названных им областью преобразования , так и для комплексных характеристик [46]. [c.151]

Следует заметить, что уравнение (125в) непосредственно приводится к виду, данному Хашином [46] для модулей сдвига гранулированных композитов с малым затуханием в случае, когда одна фаза является вязкоупругой, а другая упругой. [c.152]

Некоторые примеры вычисления эффективных комплексных модулей были даны Хашином для гранулированных [46] и волокнистых [47, 48] композитов как при предположении о малости затухания, так и без этого предположения. Рисунки 9 и 10 показывают зависимости от частоты вещественных и мнимых частей комплексных модулей продольного сдвига Сд = Од 4- iG" полиизобутплена (при температурах выше Tg), армированного жесткими параллельными волокнами. График зависимости комплексного модуля сдвига (Уг = 0) от частоты взят из приведенных кривых, построенных Тобольским и Катсиффом [117]. Эти характеристики были получены с использованием упругого модуля сдвига Ga для так называемой модели цилиндрического массива [45] [c.154]

Границы вещественных частей комплексных модулей сдвига и тангенса угла потерь вулканизированной резины вычислены в работе [14], где была использована теория Хашина [43] для изотропных упругих модулей. Как следует из изложенного выше, в то время как границы модулей сдвига таким способом определяются хотя бы приближенно верно, результаты, полученные для тангенса угла потерь, представляются сомнительными. [c.159]

В примере, заимствованном нами из статьи Хашина [47], рассматривается цилиндрический стержень кругового поперечного сечения, армированный параллельными волокнами длина стержня равна / (5 футов 152,5 см), диаметр — d (4,0 дюйма 10,2 см) плотность —р (удельный вес = 3,0) волокна принимаются абсолютно жесткими и параллельными оси цилиндра. Считая возможным использовать теорию эффективных модулей, компоненты комплексных модулей сдвига можно определить по формулам (127), где объемная доля волокон 02 принята равной 0,6. Для матрицы (фаза с индексом 1) Хашин предположил, что тангенс угла потерь сохраняет постоянное значение [c.166]

Уже после завершения работы над отчетом [93], который составил основу настоящей главы, автор получил два отчета Хашина [49, 50], посвященных исследованию колебаний композиционных тел прн малых значениях тангенса угла потерь. Хашин, по существу, использует тот же метод аппроксимации и приходит к тем же выводам, что и автор. Однако в работе [50] в ряд раскладывается упругое решение, а не обратная ему величина, что не позволяет определить отклик при резонансных частотах. [c.172]

Эти работы связаны с внутренне непротиворечивым приближением, при котором, по существу, предполагается, что каждое включение ведет себя так, как если бы оно находилось в матрице с некоторыми постоянными эффективными свойствами. (См. также статьи Кернера [26] и Хашина [21].) [c.266]

Точные решения вышеупомянутого вида для е являются ценными, но ограничительными, поскольку, как следует из формул для границ, которые будут приведены ниже, невозможно определить е, располагая только статистической информацией низших порядков. Хашин и Штрикман [22] вывели неулучшае-мые границы для двухфазного материала, исходя из значений объемных долей. Это показывает, что если нужно определить s для конкретного материала, то требуется дополнительная статистическая информация. Решения, полученные методами, по-до бными упомянутому выше внутренне непротиворечивому методу, приложимы только к частному классу геометрических [c.266]

Строгое определение понятия эффективного модуля для армированных волокнами композитов и подробное обсуждение способов их вычисления дано в работе Хашина [30] ). [c.359]

Нижняя граница решения, соответствующая левой части неравенства, представляет собой условие, когда и матричная, и дисперсная фазы одинаково напряжены, а верхняя граница решения, соответствующая правой части неравенства, представляет собой условие, когда обе фазы одинаково деформированы. Последнее условие оказывается точным только в случае равенства коэффициентов Пуассона обеих фаз. В работе Хашина и Штрикмана [241 удалось сблизить границы интервала, что дало возможность более точно вычислить Ес. Результаты анализа Хашина и Штрикмана для модуля сдвига Е и объемного модуля К записываются следующим образом [c.30]

И для других экспериментальных исследований [25, 56]. В работе-[26] измерен модуль Ее для системы стекло — А12О3 т л 5) при объемном содержании АХзОд, меньшем или равном 0,5. Эти результаты, приведенные на рис. 9, близко совпадали с нижней оценкой Хашина и Штрикмана и с решением [30]. В работе [31] отмечено, что значение Ес для композитной системы эпоксидная смола — песок т л 36) хорошо согласовывалась с решением [30] для Ур а 0,3 и находилось в пределах между решениями [30] и [51] для Ур > 0,3. Эти данные приводятся и сравниваются на рис. 10. [c.31]

Модули упругости хрупких композитов, содержащих дисперсные частицы, можно вычислить, если известны отношение модулей и объемное содержание дисперсной фазы. Нижняя граница, приведенная Хашином и Штрикманом, и решения типа, полученного Исаи, находятся в хорошем согласии с большинством экспериментальных данных. Поры, образованные в процессе изготовления, и трещины, возникшие вследствие различной термической усадки, существенно уменьшают модули по сравнению с расчетными величинами. Как будет показано в следующем разделе, в процессе приложения напряжений каждая частица дисперсной фазы может рассматриваться в качестве инициатора трещины. Трещина, образованная при нагружении, будет уменьшать модуль упруго сти перед разрушением. Таким образом, когда модуль упругости используется для расчетов при высоких напряжениях, его значения, измеренные при низких напряжениях, должны применяться с осторожностью. [c.34]

Известно, что прочность волоконных однонаправленных композитов зависит от угла 0 между направлением волокна и направлением нагрузки. Естественно, что и усталостная прочность зависит от этого угла. Хашин и Ротем [6.40] предложили методику, по которой можно установить диаграмму S—N для произвольного направления действия нагрузки на основании использования трех основных диаграмм S—N. [c.188]

Хашин [6.49], а также Ротем и др. [6.49] предприняли попытку применить статические законы разрушения при рассмотрении усталости однонаправленных композитов. В качестве исследуемого материала рассматривалась эпоксидная смола, армированная в одном направлении стеклом Е. [c.193]

Хашин 3., Розен В. Упругие моду ли материалов, армированных волокнами // Прикладная механика, 1964. № 2. С. 71-82. [c.315]

Расчеты вязкоупругих свойств гетерогенных композиций явно или неявно основаны на аналогии в анализе упругости и вязкоупругости, так что для нахождения эффективных расчетных уравнений вязкоупругих свойств необходимо рассмотреть возможности расчета упругих свойств гетерогенных композиций. Расчет модулей упругости изотропных сред по свойствам образующих их фаз является очень старой проблемой, подробный обзор которой дан в работах [2—7] на примерах бинарных композиций, чаще всего полимеров, наполненных твердыми частицами. Хотя за эти годы появилось большое число различных выражений для модулей упругости гетерогенных композиций, все они основаны всего на двух теоретических подходах— вариационном анализе, определяющем граничные (предельные) значения упругих констант, и нахождении конкретных значений этих констант по данным о конкретном напряженном или деформированном состоянии одной из фаз. Для изотропных гетерогенных композиций наиболее обобщенные выражения для предельных значений упругих констант получены Паулем [8] и Хашиным со Штрикманом [9]1 Учитывая морфологические особенности гетерогенных композиций, в частности используя схему набора сфер, Хашин получил более узкие [c.151]

При малых значениях фг для несжимаемой матрицы это выражение превращается в известное уравнение Эйнштейна [34]. Уравнение (3.12) может быть также сведено к выражениям, полученным Хашиным для модуля упругости упругой среды с небольшим числом жестких включений [35]. [c.157]

Данные о применении изложенного выше подхода к анализу -..гтрратурно-временной аналогии вязкоупругих свойств гетеро--позиций к материалам, подчиняющимся уравнениям " б), отсутствуют, хотя в принципе он может быть ует отметить, что простой принцип аддитивности принятый в работах [38, 39], а также близкий к. аддитивности модулей, принятый в работе [52], рушает условия Хашина — Штрикмана [уравнения. то может быть следствием анизотропности исследован-.сгерогенных композиций, которая вполне вероятна при получении образцов методом отлива пленок из растворов [39, 52, 55]. С другой стороны, полученные обобщенные кривые и значения коэффициентов сдвига, особенно по методу, использованному в работе [39], не очень чувствительны к степени адекватности примененной механической модели, поэтому небольшие изменения в модели, необходимые для того, чтобы найденные результаты соответствовали предельным значениям Хашина — Штрикмана, не повлияют значительно на результаты анализа [56]. [c.177]

Наиболее полная теоретическая разработка, вероятно, сделана Хашином [18]. Джон в работе [19] посвятил главу микромехани-ческому поведению слоистой пластины, основывая на нем свои расчеты. Использование микромеханического подхода при расчете упругих констант приводится также в работе [20]. [c.210]

В последней работе Вэнга и Квея определены эффективные коэффициенты термического расширения наполненных полимеров. Использована модель, подобная модели Хашина для расчета уп- [c.256]

Формулы содержат упругие константы Еас (продольный модуль упругости) и Ей (трансверсальный модуль упругости). Вас мол<но рассчитать с помощью линейного правила смеси для модуля упругости, т. е. с помощью параллельной модели, а Et — С помощью модели, предложенной Хашином и Роузеном. Расчетные формулы для Et , недавно были проанализированы Роузеном [14]. Достаточно много работ посвящено экспериментальному определению коэффициентов расширения однонаправленных волокнистых материалов. Недавно авторами настоящей главы было проведено исследование, в котором оценивали термическое расширение композиций полиэфирных смол со стеклянными и углеродными волокнами. Образцы получали методом вакуумной пропитки, ос определяли с помощью линейного кварцевого дилатометра, а — с помощью объемного дилатометра. Значение ащ рассчитывали, подставляя полученные экспериментальные данные для Пас и в формулу (6.25) и принимая, что a2=az=at - Результаты исследования приведены в табл. 6.13 и 6.14, а их графическое изображение— на рис. 6.19 и 6.20. [c.279]

Уравнение Муни применимо для описания модуля упругости при сдвиге каучуков, наполненных жесткими частицами любой формы [19]. Однако для жесткой матрицы уравнение Муни дает резко завышенные результаты. Причинами этого являются отклонение коэффициента Пуассона матрицы от 0,5, наличие термических напряжений, снижающих эффективный модуль упругости композиций и малое различие в модулях упругости матрицы и наполнителя. Для полимеров, содержащих частицы, близкие к сферическим с любым значением модуля упругости, модуль упругости композиции может быть рассчитан по уравнению Кернера [20] или аналогичному уравнению Хашина [21 ] при условии прочного сцепления между фазами. Для некоторых случаев уравнение Кернера может быть значительно упрощено. [c.226]

Хашин 3., Розен В. Упругие модули материалов, армированных волокнами //Прикл. мех.-М. Мир, 1964.-JV 2.- . 71-82. [c.283]

Одним из фундаментальных достижений механики композитов являются результаты Хашина и Штрикмана [15]. Они сумели описать класс допустимых микромеханических полей, обладающих свойством макроизотропии, без ограничений на геометрию компонентов и тем самым значительно сузили область возможных значений эффективных модулей. Основной идеей подхода [15] являлось введение в рассмотрение, через представление об однородном изотропном теле сравнения, тензора упругой поляризации. Вилку Хашина — Штрикмана не удается сузить, если не учитывать структуру композита, хотя для многих композитов и она оказывается достаточно широкой. [c.16]

В работе [16] В. В. Новиковым на основе структурного подхода [17] и метода поэтапной квазигомогенизации [18] предпринята попытка сузить вилку Хашина—Штрикмана. Ддя некоторых типов конкретных моделей структуры (типа куб в кубе) получена более узкая вилка, которая достаточно хорошо охватывает экспериментальные данные. Проблема вычисления модулей композитов не решается определением верхних и нижних оценок. Разработано много методов приближенного вычисления эффективных характеристик. Для этого необходимо конкретизировать структуру композита. [c.16]

Структурная полидисперсная модель, допускающая точное описание эффективных свойств композитов при конечных соотношениях объемов компонентов, предложена Хашиным [23]. В модели предполагается, что все частицы наполнителя являются шарами, концентрические их поверхностям сферические оболочки могут только касаться друг друга. Принятые допущения позволили легко описать всестороннее упругое деформирование среды, поскольку оно эквивалентно сферически симметричному деформированию каждой оболочки. В результате была [c.17]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...