ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Гладкие множества Жюлиа из "голоморфная динамика " Больщинство множеств Жюлиа оказываются сложными фрактальными подмножествами в С. Однако, имеется три исключения. Согласно теореме Гамильтона (1995), каждое множество Жюлиа, являющееся одномерным топологическим многообразием, с точностью до преобразования Мёбиуса должно быть либо окружностью, либо замкнутым сегментом, в противном случае его хаусдорфова размерность строго больще единицы. Если рассматривать всю риманову сферу как третий гладкий пример, то здесь с точностью до автоморфизма имеются только три возможных типа гладких множеств Жюлиа рациональной функции степени 2. Однако, каждый из этих примеров может оказаться множеством Жюлиа для многих различных рациональных функций это свойство само по себе является исключительным. В этом параграфе мы рассмотрим эти примеры. [c.89] Первое доказательство. Для го 1 легко проверить, что оба решения уравнения f z) = хо принадлежат отрезку I. Поскольку I содержит отталкивающую неподвижную точку 2 = 2, из теоремы 4.10 вытекает, что I содержит все множество Жюлиа J f). С другой стороны, область притяжения я/(оо) является окрестностью бесконечности, и ее граница 9я/(оо) содержится в /(/) С I, согласно теореме 4.9. Значит, все точки вне /(/) должны принадлежать этой области или, иными словами, должны иметь орбиты, убегающие на бесконечность. Поскольку все точки из I имеют ограниченные орбиты, отсюда следует, что /(/) = I. [c.90] Пример 3. Сфера С. В оставшейся части этого параграфа мы опишем семейство примеров, построенных С.Латтэ незадолго до его смерти от брюшного тифа в 1918 г. Для данной решетки Л С С построим фактор-пространство — тор Т = С/Л, как в 2 или 6. Поэтому Т является и компактной римановой поверхностью, и аддитивной группой Ли. Заметим, что автоморфизм г —г этой поверхности имеет в точности четыре неподвижные точки. Например, если Л = Ж + тЖ является решеткой с базисом, состоящим из 1 и т, где т Ж, то эти четыре неподвижные точки таковы О, 1/2, т/2 и (1 + т)/2 (тоёЛ). [c.90] Теперь построим другую риманову поверхность Б, отождествляя на торе Т точки г Т и —г. Очевидно, 8 наследует структуру римановой поверхности (но теряет при этом групповую структуру). Здесь в окрестности каждой неподвижной точки 2 в б в качестве локального униформизующего параметра для 5 можно использовать г — г ) . [c.90] Поэтому естественное отображение Т —б является двулистным накрытием за исключением четырех точек ветвления. Для вычисления рода поверхности 5 будет полезно следующее утверждение. [c.91] Замечание. Это доказательство проходит и в случае римановых поверхностей с гладкими границами. Приведенная формула остается справедливой и для собственных отображений некомпактных римановых поверхностей, что может быть проверено, например, с помощью рассуждений о прямых пределах. [c.91] Из теоремы 7.3 следует, что J fa) = С. Точный вид этого отображения fa описан в задаче 7-g ниже. [c.93] Замечание. Мэри Рис (1984, 1986а) доказала существование многих других рациональных отображений, для которых множества Жюлиа совпадают со всей римановой сферой. См. также Эрман (1984). Для любой степени d 2 обозначим через Rat(d) комплексное многообразие, состоящее из всех рациональных отображений степени d. Рис показала, что в Rat(d) существует подмножество положительной меры, состоящее из отображений /, являющихся эргодическими . По определению это означает, что любое измеримое подмножество в С, инвариантное относительно /, должно иметь либо полную меру, либо меру нуль. Можно показать, что для любого эргодического отображения / выполняется равенство J(/) = С. [c.93] Некоторые из таких отображений с гладкими множествами Жюлиа будут изучаться позднее в теореме 19.9. [c.93] Вернуться к основной статье