ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Собственные значения и преобразование главных осей из "Классическая механика " Так как матрица V симметрична и вещественна, то соответствующие собственные значения также будут вещественны (см. [c.351] От обычного уравнения, определяющего собственные значения некоторой матрицы, оно отличается тем, что в правой части его стоит не Я, а Я,Т. Мы сейчас рассмотрим соответствующие ему собственные значения, т. е. те значения к, при которых это уравнение имеет нетривиальные решения. При этом покажем, что они будут вещественными (так как матрицы Т и V являются эр-митовскими), и, кроме того, они должны быть положительными. Помимо этого, докажем, что собственные векторы а являются в известном смысле ортогональными, а составленная из них матрица А диагонализирует как Т, так и V, приводя Т к единичной матрице 1, а V— к матрице, по диагонали которой стоят собственные значения Я. [c.352] Следовательно, фигурирующая в (10.18) сумма не может равняться нулю, и поэтому собственные значения Хи должны быть вещественными. [c.353] Знаменатель этой дроби равен удвоенной кинетической энергии системы в случае, когда f[i = aik, и так как составляющие aik вещественны, то он должен быть числом положительным. Точно так же числитель этой дроби равен удвоенному значению V при = aife. Но так как при гц = О V имеет минимум, то числитель этой дроби не может быть отрицательным. Таким образом, числитель и знаменатель дроби (10.19) являются числами неотрицательными, причем знаменатель отличен от нуля. Следовательно, tft. e Tb число неотрицательное. [c.353] Если среди корней Я имеются одинаковые, то из равенства (10.17 ) нельзя получить равенство (10.20а), так как Я может оказаться равным Я/. Этот исключительный случай мы рассмотрим несколько позже, а сейчас будем считать, что коэффициенты jft удовлетворяют как уравнению (10.10), так и уравнению (10.20а). [c.354] МЫ можем вычислить левую часть этого равенства и получить ща. [c.354] Сравнивая теперь эти равенства с равенствами (10.20), видим, что каждый вектор flh является единичным [равенство (10.20Ь)] и что при I ф k векторы Oi и аи взаимно перпендикулярны [равенство (10.20а)]. Следовательно, условие (10.21 ) является условием ортогональности матрицы А в пространстве конфигураций с метрическим тензором Т. В декартовом пространстве таким метрическим тензором является единичный тензор 1, и поэтому условие (10.2Г) сводится здесь к обычным условиям ортогональности. [c.355] Таким образом, матрица А диагонализирует и Т и V. Возвращаясь теперь к интерпретации Т как метрического тензора пространства конфигураций, мы можем дать следующее истолкование процессу диагонализации 1) Матрица А есть матрица линейного преобразования, осуществляющего переход от косоугольной системы координат к прямоугольной. (Это видно из того факта, что матрица преобразованного метрического тензора равна 1.) 2) Оси новой системы координат являются главными осями V, т. е. матрица V является в них диагональной. Следовательно, процесс получения основных частот малых колебаний сводится к некоторому преобразованию главных осей, подобному тому, которое рассматривалось в главе 5. [c.356] Другое уравнение, связывающее коэффициенты i и Сг, получается из условия, что а должно удовлетворять нормирующему условию (10.20Ь). Таким путем мы получим два уравнения, определяющих коэффициенты i и Сг, а следовательно, и вектор я . Что касается собственных векторов, соответствующих другим Я, то как с , так и а = а будут, конечно, им ортогональны, так как теперь будет справедлива аргументация, которой мы пользовались в равенстве (10.17 ). Следовательно, таким способом можно получить п собственных векторов С , составляющие которых будут образовывать матрицу А, удовлетворяющую условию (10.21 ). [c.358] Аналогичную процедуру можно применить и в случае корня более высокой кратности. Пусть, например, Х будет т-кратным корнем векового уравнения. В этом случае нам нужно будет получить m ортогональных и нормированных собственных векторов fli, . т- Для этого достаточно взять т любых собственных векторов а[,. .а и образовать из них соответствующие линейные комбинации. Вектор можно получить тогда, умножая а[ на соответствующий коэффициент. После этого можно образовать вектор й2, составляя линейную комбинацию векторов а[ и с, и т. д. Число постоянных, подлежащих при этом определению, будет равно сумме m первых целых чисел, т. е. у m (т + 1). Но так как эти постоянные должны удовлетворять m условиям нормирования и — т(т — 1) условиям ортогональности, то в общей сложности у нас получится ровно столько условий, сколько нужно иметь для определения всех этих постоянных. [c.358] Вернуться к основной статье