ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Проблема Онсагера из "Статистическая механика Курс лекций " Заметим, что в каждом слагаемом в (5.16) величины е появляются парами, которые соответствуют узлам, являющимся ближайшими соседями, причем ни одна из пар не встречается в одном и том же произведении дважды. [c.160] Диаграмма, или набор I связей. [c.160] Из выражений (5.16) и (5.17) ясно, что вклад в дают только те члены, в которых каждое значение е,- встречается четное число раз. Это равносильно утверждению, что единственные диаграммы, которые дают вклад в Р, — это те, в которых от каждого атома или узла решетки отходит четное число (О, 2 или 4) связей. Иными словами, диаграммы, дающие вклад в Q, должны представлять собой суперпозиции простых замкнутых многоугольников, не имеющих общих сторон. Такие диаграммы можно назвать замкнутыми . [c.160] Пример замкнутой диаграммы. [c.161] Пример незамкнутой диаграммы. [c.161] Метод нахождения точки перехода. Теперь отвлечемся ненадолго и опишем метод (созданный Крамерсом и Ваннье), с помощью которого можно найти точку фазового перехода в проблеме Онсагера. [c.162] Центры ячеек решетки отмечены знаком (+), если они попадают внутрь замкнутой диаграммы, и знаком (о), если Они находятся вне ее. [c.162] Продолжение рассмотрения проблемы Онсагера. Обозначим через к 1) число путей, которыми можно, начав с некоторого атома и сделав I шагов по решетке (пройдя / связей), вернуться к тому же атому, не проходя ни одной связи дважды. Мы не учитываем в к 1) различные пути, которые можно использовать для построения одного и того же многоугольника. [c.164] Л1ногоугольник, получающийся в результате перемещения из данной ТОЧКИ решетки и возвращения в нее (ни одна из связей не проходится дважды). [c.164] Следующий логический шаг должен состоять в введении поправки к д для получения правильного значения Р это можно сделать, вводя поправку к к 1). Выпишем несколько поправочных членов. [c.165] В выражении (5.21) многоугольник фиг. 5.8г сосчитан дважды. Однако при формулировке правила о том, какие члены должны входить в исправленное выражение для Н 1) и каковы должны быть их знаки, оказывается, что диаграмма фиг. 5.8г не учтена в исправленном выражении для Н 1). [c.166] Рассмотрим еще раз результат, к которому мы пришли. [c.166] МЫ будем учитывать все различные пути, однако выберем вес каждого пути так, чтобы наше уточненное выражение для д привело к правильному выражению для Q при использовании выражения (5.21). [c.167] Топологическая теорема. Припишем вес а = ехр(/я/4) каждому повороту налево и веса 1 = ехр(—гя/4) повороту направо и проследим за направлениями поворота по мере обхода замкнутого пути на решетке. Топологическое рассуждение Каца и Уорда состоит в том, что замкнутые диаграммы (т. е. те, которые мы хотим учесть) будут учтены, а запрещенные диаграммы (например, типа фиг. 5.5) будут компенсированы, если мы пройдем различными путями по этим диаграммам. Справедливость этой теоремы для простых случаев будет показана ниже на нескольких примерах. Полное доказательство, которое было дано Шерманом [2], довольно сложно. [c.167] Рассмотрим теперь многоугольники на фиг. 5.8д и 5.8е. На фиг. 5.8д обход (из точки А) совершается так, что по пути имеются 6 левых поворотов и 2 правых общий вес равен а а = а4 = — 1. На фиг. 5.8е обход совершается так, что имеются 4 левых и 4 правых поворота, так что общий вес Полный вес обоих обходов по часовой стрелке равен —1 + 1 = 0 ясно, что два обхода против часовой стрелки имеют также нулевой вес. [c.167] Метод вычисления статистической суммы. Будем теперь сч [-тать, что в (5.20) используется исправленное выражение для Л(/), т. е. [c.168] О—если начальный шаг происходит вниз. [c.168] Грубо говоря, нам следует вычислить амплитуды прибытия в точку (х, у) по различным направлениям в результате в точности п шагов и затем просуммировать по п. Величина У х, у) — это амплитуда прибытия в (х, у) с помощью точно п шагов, причем последний шаг направлен вверх аналогичное справедливо для и Ь . Предполагается, что при нулевом шаге мы приходим в начало, двигаясь вверх, так что 0 (х, у) — 6,. д,. [c.169] Если мы пришли в точку х, у—1), двигаясь вверх, то получаем дополнительный амплитудный множитель I. Если мы пришли туда, двигаясь слева, нам необходимо было повернуть против часовой стрелки и добавить множитель /а и т. д. Мы не можем попасть в (л , у), двигаясь вверх, если мы пришли в (х, у—1), двигаясь вниз, так как пути, пересекающие сами себя, не разрешены. Нетрудно написать аналогичные выражения для Я х, у), 1 [х, у), 0 (х, у). [c.169] Тогда видно, что наше предположение относительно амплитуды нулевого шага дает правильные амплитуды для первого шага (например, t, если движение начинается вверх). При суммировании по п мы должны исключить слагаемые с л = 0, так как фигуру с нулевой длиной стороны мы не рассматриваем как многоугольник, хотя она начинается и кончается в начале. [c.169] Вернуться к основной статье