ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Дисперсионная зависимость из "Линейные ускорители " При выбранной частоте питания и заданной величине фазовой скорости дисперсионное уравнение служит для определения геометрических размеров диафрагмированного волновода. В этом параграфе познакомим читателя с дисперсионными уравнениями дна-. фрагмированных волноводов линейных электронных ускорителей. Известно, что величина фазовой скорости и ее изменение по длине диафрагмированного волновода являются основными факторами, от которых зависят выходные параметры пучка ускоренных электронов. Поэтому одной из главных задач при расчете диафрагмированного волновода является получение необходимой величины фазовой скорости ускоряющей волны. [c.62] Волновод, состоящий из полой цилиндрической металлической трубы, нагруженной диафрагмами с отверстиями по оси, имеет четыре характерных размера — внутренний радиус волновода Ь, радиус отверстия в диафрагме а, расстояние между серединами диафрагм D и расстояние между торцами диафрагм к. Поперечное сечение диафрагмированного волновода показано на рис. 20. Наиболее часто дисперсионное уравнение используется для определения размера Ь при выбранном значении частоты колебаний, заданной величине фазовой скорости и известных остальных размерах D, d и а). [c.62] Если в диафрагмированном волноводе отверстия в диафрагмах велики, то амплитуда основной гармоники значительно превосходит амплитуды высших гармоник. Тогда при изучении дисперсионных свойств можно в первом приближении пренебречь наличием высших пространственных гармоник, считая, что электромагнитное поле в волноводе может быть представлено только одной гармоникой. Такое представление электромагнитного поля, естественно, не может дать точного описания свойств исследуемой системы, но оно удобно для оценок при расчетах диафрагмированных волноводов. [c.63] Разобьем внутренний объем диафрагмированного волновода на две области (см. рис. 20), полагая при этом толщину диафрагмы равной нулю ф = ё). Поле в аксиальной области I представим в виде одной основной гармоники, бегущей по оси 2, аналогично тому как это делается для ненагруженного волновода (3.1). Каждую ячейку области II представим радиальной линией с идеально проводящими стенками. В такой линии направление распространения волны совпадает с направлением г. Так как радиальная линия закорочена при г = Ь цилиндрической стенкой волновода, то это приводит к установлению в ячейке стоячих волн по координате г. [c.63] А — амплитудный множитель A o.i—функция Бесселя второго рода 0-го и 1-го порядков nD — координата середины ячейки. [c.64] Поле в ячейках возбуждается электромагнитным полем области /, и, следовательно, фаза колебания в ячейке определяется фазой волны, бегущей в приосевой области. Рассматривая всю совокупность отдельных ячеек волновода, т. е. область II в целом, можно представить колебания в ячейках в виде волны, двигающейся с фазовой скоростью, равной фазовой скорости основной гармоники. На поверхности цилиндра с радиусом, равным радиусу отверстия в диафрагме, разграничивающего области/и//, значения полей должны быть одинаковы для обеих областей. [c.64] Таким образом, выражение (3.4) связывает геометрические размеры волновода и частоту колебаний с фазовой скоростью волны и является дисперсионным уравнением диафрагмированного волновода в принятом здесь приближении часто расположенных бесконечно тонких диафрагм с большими отверстиями. Несмотря на упрощающие предположения, дисперсионное уравнение не может быть раз-решено в явном виде относительно какой-нибудь из интересующих нас величин. [c.65] Анализ полученного дисперсионного уравнения показывает, что с увеличением радиуса отверстия в диафрагмах волновода а при неизменном Ь фазовая скорость возрастает и, наоборот, при увеличении Ь при неизменном а фазовая скорость уменьшается. Это видно из приведенной на рис. 21 дисперсионной кривой, построенной с помощью уравнения (3.6) в координатных осях от а Ь при / = onst. [c.65] Таким образом, в периодической системе при возбуждении частотой (О существуют гармоники, бегущие вдоль ее оси с разными скоростями. Фазовая скорость гармоники в периодической системе может быть меньше скорости света и уменьшается с увеличением ее номера т. [c.66] Дисперсионное уравнение можно получить, если сшить электрические и магнитные поля на поверхности раздела областей I и II. Это достигается приравниванием средних напряженностей электрического и магнитного полей при г = а. Искомое уравнение будет содержать бесконечные ряды. С увеличением числа учтенных членов точность решения уравнения, естественно, увеличивается. Одновременно увеличивается и громоздкость необходимых вычислений. С целью улучшения сходимости ряда, что позволит ограничиваться при решении несколькими первыми членами, целесообразно подобрать подходящую функцию, описывающую напряженцость поля Е , на границе областей. [c.66] Так как фазовая скорость волны в диафрагмированных волноводах линейных ускорителей имеет величину, меньшую скорости света, коэффициенты являются мнимыми, а в дисперсионном уравнении появляются модифицированные функции Бесселя /д и 1 . Если скорость волны равна скорости света, то = 0. Для проведения вычислений при Рв = 1 приходится преобразовывать дисперсионное уравнение, рассматривая предельные переходы бесселевых функций при аргументе, стремящемся к нулю. [c.69] Полученное выражение (3.18) есть искомое дисперсионное уравнение, и, исследуя основные свойства диафрагмированного волновода, мы будем основываться на выводах, сделанных при его анализе. Рассмотрим дисперсионное уравнение более подробно. [c.69] В уравнение непосредственно входят волновое число к, а также период структуры О и размер ячейки й. Частота колебаний входит в волновое число и его компоненты к, к , к , и дисперсионное уравнение является неявной функцией частоты. Остальные геометрические размеры (радиус отверстия в диафрагмах а и внутренний радиус волновода Ь) входят сомножителями в аргументы функций Бесселя. Зависимость правой части от размера а непосредственно видна из выражения (3.18). Чтобы определить зависимость левой части уравнения (3.18) от величин а и Ь, вспомним выражения для Во и р1. [c.69] Как упоминалось ранее, наиболее важным параметром является фазовая скорость основной гармоники Рщ. В уравнении (3.18) фазовая скорость входит в величины к и к [см. формулу (3.8)] и довольно сложным образом связана с ними. Коэс ициенты к и к являются сомножителями в аргументах бесселевых функций. [c.69] Решение дисперсионного уравнения (3.18) для определения какого-либо параметра при заданных остальных требует большой вычислительной работы и производится методом последовательных приближений. Например, при определении размера Ь приходится несколько раз вычислять левую часть уравнения (3.18), добиваясь изменением величины Ь удовлетворения равенства. В других случаях процесс решения может оказаться еще более сложным, так как придется подставлять искомую величину одновременно как в левую, так и в правую часть уравнения (3.18), добиваясь их равенства. [c.69] Точность определения искомой величины зависит от числа членов ряда, взятых в правой части дисперсионного уравнения. Хорошее приближение получается при учете первых трех членов ряда (т — = 0, 1). [c.70] Несмотря на упрощающие допущения, сделанные при выводе дисперсионного уравнения, следует отметить, что оно не только качественно, но и количественно отражает связь между основными величинами. Тем не менее точность определения величин оказывается все же недостаточной для практического использования при окончательном расчете диафрагмированного волновода. [c.70] Существует несколько иных видов дисперсионных зависимостей для диафрагмированного волновода. Они отличаются друг от друга и от описанных нами ранее дисперсионных зависимостей методом подхода к решению поставленной задачи или более компактно представляют одно из известных решений. Подробное изложение других методов, дающих дисперсионные соотношения, можно найти в литературе. [c.70] Покажем, что можно изобразить эту зависимость на плоскости, разумно ограничив число переменных. [c.70] Формула (3.21), которая является результатом преобразований, имеет меньшее число переменных к, а, Ь, х. Отметим, что геометрические размеры а и входят в соотношение (3.21) только в виде произведений ка и кЬ. [c.71] Вернуться к основной статье