ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Сингулярные интегральные уравнения из "Методы математической теории упругости " Теорию одномерных сингулярных уравнений принято излагать для произвольных контуров в комплексной плоскости, что позволяет сразу, без вспомогательных преобразований, использовать ее для рещения некоторых двумерных краевых задач математической физики. Тогда само построение теории опирается на свойства интеграла типа Коши. [c.51] Индекс вспомогательной задачи Римана будем называть и индексом исходного уравнения. Естественно, что условия разрешимости задачи Римана автоматически оказываются условиями разрешимости сингулярного уравнения (3.6). Отметим, что переход к задаче Римана оказывается возможным при выполнении условия а Ц)—й (0 =0, что в дальнейшем всегда будет предполагаться. [c.53] Аналогичным образом может быть рассмотрен и вопрос о разрешимости союзного уравнения, причем индекс вспомогательной задачи Римана в этом случае у = —у. [c.53] Сформулируем теперь условия разрешимости характеристического сингулярного уравнения в форме, принятой в теории Фредгольма. [c.53] Построенное уравнение (3.10) является регулярным уравнением, которому удовлетворяет искомая функция. [c.54] В процессе регуляризации слева возможно появление каких-либо решений, не удовлетворяющих исходному сингулярному уравнению. В процессе же регуляризации справа может оказаться, что подстановка ф = Ка окажется неразрешимой. Поэтому регуляризация, вообще говоря, не является такой операцией, которая приводит к эквивалентным уравнениям, т. е. оказывается неэквивалентной (не равносильной). Левая регуляризация оказывается эквивалентной, когда и 0, поскольку регуляри-зующее уравнение будет иметь отрицательный индекс и поэтому не будет иметь собственных функций. Правая же регуляризация оказывается эквивалентной, когда к 0. [c.54] Очевидно, что использование аппарата краевой задачи для случая разрывных коэффициентов и разомкнутых контуров позволяет построить соответствующую теорию и для сингулярных интегральных уравнений. При этом вводится понятие союзного решения союзного уравнения, которое ограничено в тех точках, в которых задается неограниченным решение исходного уравнения и наоборот. С учетом этого формулировка теорем Нётер сохраняется полностью. [c.55] Такого рода уравнения могут быть сведены к системам сингулярных уравнений для действительной и мнимой частей искомой функции. [c.55] Выше было показано, что сингулярные уравнения всегда можно свести к эквивалентным регулярным уравнениям и, следовательно, для фактического построения решения воспользоваться известными методами (см. 2). Однако само построение уравнения является весьма громоздкой процедурой, в связи с чем представляется целесообразным строить решение непосредственно. Теоретические исследования [14—16, 37, 107] обеспечивают математическую обоснованность таких подходов. Как правило, речь идет о том или ином обобщении методов, развитых в теории регулярных уравнений. Перейдем к их изложению. [c.55] Если получить решение этого уравнения в общем виде, содержащем постоянные k, и подставить это решение в соотношения для Ск, то в результате придем к системе алгебраических уравнений для определения неизвестных значений. [c.56] Это представление вытекает из формул (1.11), (1.12). [c.56] В том случае, когда интеграл берется по разомкнутому контуру, целесообразно решение представлять в виде искомой функции (предполагаемой достаточно гладкой) и множителя, в явной форме учитывающего особенность в концевых точках, которые можно определить из решения соответствующей вспомогательной задачи Римана. Характер особенности, естественно, не зависит от присутствия регулярных слагаемых. [c.56] При а = р = — /2 полином Якоби сводится к полиному Чебышева первого порядка, а при а = р = /г — к полиному Чебышева второго порядка. [c.57] Эта формула справедлива, когда /г = а + р, равно 1, 0 или — 1. Имеются и другие квадратурные формулы, построенные на иной основе. Сказанное выше позволяет так или иначе получить систему алгебраических уравнений для коэффициентов ряда. [c.57] Как и в одномерном случае, для сингулярных интегралов вида (3.18) имеет место теорема, аналогичная теореме Пле-меля — Привалова, а именно теорема о том, что интеграл будет являться функцией, принадлежащей классу Г. — Л., если плотность принадлежит тому же классу при условии, что характеристика /( 0,0) непрерывно дифференцируема по декартовым координатам точки 7о и углу 9 (эта теорема принадлежит Жиро [35]). [c.59] В этом случае перестановка порядка интегрирования приводит, как и в одномерном случае, к совершенно иному результату. Отметим, что использование разложений характеристик f(go,S) и /1( 7о, 0) в ряд Фурье позволяет получить для интеграла (3.26) представление, в которое входят степени одного простейшего сингулярного оператора. [c.60] Наиболее интересный для теории сингулярных интегральных уравнений результат формулируется сравнительно просто, если ввести, как это сделано в [35], одно новое понятие—понятие о символе сингулярного оператора (интеграла). [c.60] Нулевой член разложения отсутствует из-за условия (3.20). [c.60] Заметим, что внесение в оператор /( еще и регулярных слагаемых не отражается на символе. Очевидно, что, зная характеристику, можно определить символ оператора и, наоборот, по символу можно восстановить сингулярный оператор (с точностью до регулярного слагаемого). Доказано, что оператор, являющийся композицией двух сингулярных операторов, будет иметь символ, равный произведению символов исходных операторов. [c.61] При таком подходе регуляризация оказывается, вообще говоря, неэквивалентной, однако удается доказать, что посредством определенного подбора регулярного слагаемого можно добиться эквивалентной регуляризации. [c.61] Вернуться к основной статье