425 — Уравнения колец круговых

Тогда нелинейные уравнения движения кругового кольца запишем в виде [c.217]

Решая уравнение изгиба кругового кольца в его плоскости и применяя метод начальных параметров, для заданной схемы нагружения получим следующие выражения для компонентов напряженно-деформированного состояния кольца (полагаем фо=—р, ф1 = = —а) [c.70]

Подставим в уравнение устойчивости кругового кольца (5.1) радиальные перемещения нагруженного г-го шпангоута оболочки и реактивные усилия со стороны прилегающих i—1)-го и /-го отсеков оболочки [c.196]

Воспользуемся общим решением этого дифференциального уравнения для кругового кольца [c.108]

Отсюда видно, что элементы площади кругового сечения колец входят в данном случае в выражение интенсивности завихренности. Единственное допущение, которое имеет место при выводе уравнений (4.27) в рамках идеальной жидкости, есть предположение о сохранении кольцами кругового по форме сечения на всем протяжении пути. Как показано в [ 82,259 ], такое допущение при модельных оценках приемлемо. [c.195]

При /==0 это уравнение совпадает с уравнением для кругового кольца. При г=0, Р1 [c.325]

На рис. 3.11 показано кольцо круглого постоянного сечения, нагруженное следящей статической нагрузкой ч. Требуется получить уравнение малых колебаний кольца относительно плоскости чертежа с учетом инерции вращения, ф 3.3. Получить уравнение малых колебаний кольца (замкнутого кругового стержня), вращающегося с постоянной угловой скоростью Шо- Кольцо свободно. Ограничиться рассмотрением малых колебаний в плоскости кольца. [c.72]

Используя принцип суперпозиции, можно также найти напряжения. Рассмотрим, например, напряжения в точке, принадлежащей оси 2 (рис. 209, б). Напряжение ст , вызываемое в такой точке нагрузкой, распределенной по кольцу радиуса г и шириной dr, получается путем подстановки во второе уравнение (211) 2кг dr q вместо Р. Тогда напряжение а , вызываемое равномерной нагрузкой, распределенной внутри круговой области радиуса а, равно [c.407]

С увеличением нагрузки при испытании х-колец обнаруживается перелом в диаграмме радиальных перемещений точек внутренней поверхности кольца, лежащих на осях. х и. х. В направлении. х, как и в случае линейного деформирования, радиальное перемещение наибольшее, в направлении X — наименьшее. Круговая форма внутренней поверхности кольца при нагружении выше предела текучести переходит в деформированный квадрат [21], контур которого, как и в линейном случае, может быть описан с помощью уравнения (6.12). Повторное нагружение сопровождается увеличением перемещений практически вдоль того же линейного участка разгрузки, затем в конце его вновь происходит перелом в диаграмме перемещений. [c.197]

Из методических соображений, прежде чем перейти к исследованию устойчивости цилиндрической оболочки, детально рассмотрена родственная задача устойчивости упругого кругового кольца. Затем дан вывод основного линеаризованного уравнения круговой цилиндрической оболочки, находящейся в неоднородном безмоментном докритическом состоянии, и получено выражение для подсчета изменения полной потенциальной энергии такой оболочки. Приведены решения только двух задач устойчивости оболочки при равномерном внешнем давлении и равномерном осевом сжатии. Многочисленные решения других задач устойчивости оболочек получены приближенными методами [7,9, 19,22,27]. [c.220]

В силу первого допущения возможна круговая форма равновесия кольца, при которой = —qR. Выясним, при каких условиях становятся возможными изгибные формы равновесия кольца, смежные с исходной круговой формой. Для этого составим линеаризованные уравнения равновесия элемента кольца в состоянии, отклоненном от исходного. При отклонениях кольца от исходной круговой формы в нем кроме нормального усилия iVj возникнут перерезывающие усилие Q и изгибающий момент М. [c.224]

С учетом решенной выше вспомогательной задачи изгиба кругового кольца под действием переменных нагрузок вместо уравнения (6.2) можно записать [c.232]

Уравнения, описывающие потерю устойчивости цилиндрической оболочки, получим при следующих допущениях, аналогичных допущениям, использованным при выводе линеаризованных уравнений стержней, пластин и кругового кольца. [c.243]

Напомним, что во всех приведенных выражениях начальные усилия Т , Т°у, 5 считались найденными из решения уравнений безмоментной теории оболочек (6.35). Воспользовавшись записью энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко (см. 10), можно избежать определения начальных усилий в оболочке, но для этого необходимо найти перемещения точек срединной поверхности оболочки второго порядка малости, как это сделано для кругового кольца и пластин. [c.249]

Рассмотрим колебания вращающегося кольца в плоскости чертежа (рис. 8.12). Уравнение малых колебаний кругового стержня в плоскости было получено в п. 1 (уравнение 8.169). В этом случае функции, характеризующие формы колебаний, должны удовлетворять условию периодичности, поэтому ищем решение, полагая [c.213]

В случае замкнутого кругового кольца в качестве линейного размера вместо L удобнее использовать R, а вместо s — центральный угол ф (см. рис. 2). Уравнения с постоянными коэффициентами получаются, если орт р лежит в плоскости кольца И2], а векторные уравнения (12) проектируются на криволинейную систему координат, определяемую ортами Т, р, V, при этом она распадается на две скалярные подсистемы, описывающие [c.21]

Колебания плоского кругового кольца = 0 (pR = s) описываются уравнениями в своей плоскости [c.40]

Приближенные решения задач изгиба замкнутых круговых колец иногда бывает удобно строить в тригонометрических рядах. При этом можно исходить из дифференциального уравнения изгиба кольца или "из условия стационарности его полной-потенциальной энергии. [c.121]

В заключение отметим, что определять перемещение кругового кольца обычно удобнее с помощью тригонометрических рядов, а не путем аналитического интегрирования уравнений изгиба кольца. Однако внутренние силы, и моменты, как правило, надежнее и удобнее находить одним из методов, изложенных в 4.2. [c.126]

Линеаризованные уравнения устойчивости упругой цилиндрической оболочки получим с помощью приема фиктивной нагрузки, как это было сделано при выводе линеаризованных уравнений устойчивости пластины и кругового кольца (см. 7.2 и 8.1). При этом задачу устойчивости цилиндрической оболочки рассмотрим в следующей постановке [c.221]

В общем случае замкнутое кольцо при действии на него произвольной системы сил является трижды статически неопределимым. Разработано несколько методов решения замкнутых круговых колец. Будем пользоваться методом, основанным на составлении канонических уравнений сил. При этом взаимные смещения определяются интегралом Мора. Основную статически определимую систему получим, разрезая кольцо в некотором сечении а = О (см. рис. 47, б). Чтобы не нарушить равновесия системы, приложим в месте разреза неизвестные усилия, которые обозначим Xi — нормальная (осевая) сила — поперечная сила Хз — изгибающий момент. [c.269]

Прежде всего выведем уравнения податливости для кругового кольца. В соответствии с рис. 4.5, а радиальное смещение Uq и угол поворота связаны с нормальными напряжениями поперечного сечения кольца формулами [c.225]

Изложен новый метод решения контактных задач с неизвестной областью активного взаимодействия (метод обобщенной реакции), не требующий предварительного разбиения области возможного контакта на активную и неактивную зоны. Выписана разрешающая система уравнений. для оболочки, подкрепленной ребрами одностороннего действия. Метод проиллюстрирован на примерах расчета оболочки, подкрепленной свободно надетым шпангоутом, и оболочки, свободно лежащей на опоре в виде части кругового кольца. [c.492]

Характерной особенностью матрицы системы уравнений (2.94) является то, что жесткостные параметры дискретно подкрепляющей системы входят во все члены матрицы й , а не только в диагональные члены как в случае сплошного подкрепления кольца. Таким образом, для получения уравнений контактной задачи для кольца и кругового ложемента с учетом жесткости дискретно подкрепляющей системы нужно предварительно построить матрицу податливости (матрицу единичных перемещений) подкрепляющей упругой системы Л, с помощью которой определяются связи Ri. Построение матрицы А проводится на основе результатов расчета на жесткость системы при единичных воздействиях в узлах сопряжения. [c.67]

Представляя решения этих уравнений и внешние нагрузки в виде бесконечных рядов и учитывая условия равновесия и связи между коэффициентами Фурье нагрузок и перемещений для кругового кольца, после некоторых преобразований и интегрирования из систем (3.50) получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов Фурье радиальных перемещений шпангоута 2 и опорного кольца (бандажа) Win [c.98]

Решение уравнения Гельмгольца в общем виде для кругового кольца имеет вид [c.162]

В случае, когда пластина с цилиндрической анизотропией является ортотропной, имеет форму полного кругового концентрического кольца (полюс анизотропии совпадает с центром кольца) п ее нагружение и закрепление не зависят от угловой координаты V, напряжения будут функциями только р. Следовательно, уравнение (17.6) для определения функции напряжений примет вид [c.105]

В шестой главе изучается первая основная задача для системы криволинейных разрезов в эллиптической пластине и круговом кольце. При использовании известного общего решения задач для указанных областей без трещин (в виде степенных рядов) понижается порядок исходной системы интегральных уравнений за счет тождественного удовлетворения условий на внешней границе тела. Аналогичное преобразование исходной системы сингулярных интегральных уравнений проведено в седьмой главе для произвольной области с круговым отверстием при использовании общего решения (в квадратурах) задачи для бесконечной плоскости, содержащей круговое отверстие. Подобный прием использован также при рассмотрении составной двухкомпонентной кольцевой пластины с трещинами. [c.4]

Таким образом, рассмотренные в настоящем и предыдущем параграфах задачи для эллиптической и кольцевой пластин с отверстиями и трещинами сводятся к решению одной и той же системы сингулярных интегральных уравнений (6.15) различие имеется лишь в ядрах, которые даются выражениями (6.16) и (6.21) соответственно. Такая аналогия возможна ввиду того, что в обоих случаях граничные условия (отсутствие внешних нагрузок) на замкнутых контурах Г (эллиптическая пластина) и Го Fi (круговое кольцо) удовлетворяются тождественно и тем самым фактически исключаются из рассмотрения указанные контуры. [c.176]

Метод сингулярных интегральных уравнений оказался эффективным также при решении задач теории трещин для кусочно-однородных тел [18, 19, 32, 77, ПО, 121, 152, 173]. Предлагаемая модификация интегральных уравнений при наличии кругового отверстия применяется в данной главе при исследовании составных кольцевых областей с трещинами. В качестве примера решена первая основная задача теории упругости для кусочно-однородно -го кругового кольца с краевыми трещинами решение получено в приближенной и строгой постановках. [c.183]

В начале данной главы получены сингулярные интегральные уравнения первой основной задачи плоской теории упругости для кольцевой пластины с трещинами, ограниченной внутренним круговым и произвольным внешним контурами. В параграфе 3 подробно рассмотрено круговое кольцо с краевыми радиальными трещинами. Ниже, пользуясь этим же приемом, изучим упругое равновесие эллиптической пластины с одной или двумя радиальными трещинами, выходящими на внутреннюю круговую границу, при действии сосредоточенных сил на замкнутых граничных контурах. [c.200]

Пусть на окружности Lo в концах диаметра, перпендикулярного к линии краевых треш,ин, приложены две равные по величине растягивающие силы F, а внешний контур Li и берега трещин свободны от нагрузок (см. рис. 78, Р=0). Тогда, как и в случае кругового кольца, потенциалы Фо( ), о( ) имеют вид (7.41) и правые части (7.42) являются гладкими функциями, что дает возможность находить численное решение задачи методом механических квадратур. Для этого нужно решить систему алгебраических уравнений (7.22), в которой правые части определяются через соотношения (7.42), а последнее уравнение системы нужно заменить условием (7.32). [c.202]

Действие сжимающих сил на внешнем контуре [83, 84]. Рассмотрим случай, когда квадратная пластина с отверстием и краевыми диагональными трещинами подвержена сжатию сосредоточенными силами Р на внешней границе, а контур Lq и берега трещин свободны от нагрузок (см. рис. 81, F=0). Возьмем параметрическое уравнение контура Li в виде (7.55) и поступим аналогично случаю кругового кольца при такой же нагрузке (см. параграф 3 настоящей главы). В результате придем к системе интегральных уравнений (7.47) с гладкими правыми частями, причем в выражении (7.45) для функции Q( i) вместо Ri следует [c.205]

Используем изложенный в параграфе 2 подход к численному решению сингулярных интегральных уравнений плоской задачи теории трещин при наличии полос пластичности для исследования кругового кольца с краевыми трещинами. [c.228]

Коэффициенты l, а , bi, Ь ,. .. в каждом отдельном случае могут быть определены согласно началу возможных перемещений. Например, в случае кругового кольца, сжимаемого двумя равными силами Р, приложенными в двух противоположных точках 0=0 и 0=я, находим коэффициенты о для четных п из уравнения [c.604]

Однако существенно больший интерес представляют такие задачи, для решения которых элементарные гипотезы не могут привести к цели. Типичный пример — задача о кручении призматического стержня. Если принять для кручения такую же гипотезу плоских сечений, которая была принята для изгиба, окажется, что верный результат получится только для того случая, когда сечение представляет собою круг или круговое кольцо для других форм сечения эта гипотеза приведет к очень грубой ошибке. Точно так же никакие элементарные нредно-ложения не позволяют найти напряжения в толстостенной трубе, подверженной действию внутреннего давления. Можно привести много примеров других элементов конструкций, для которых напряжения и деформации нельзя определить с помощью элементарных приемов, а нужно использовать уравнения теории упругости. [c.266]

Геометрическая и силовая схемы должны быть доведены до такой степени идеализации, чтобы условия равновесия описывались системой однородных уравнений. В частности, если рассматривается сжатый стержень, то предполагается, что он имеет совершенно прямолинейную форму, материал однороден и сжимающая сила приложена строго центрально. Если рассматривается сжатое кольцо, то считается, что оно имеет идеальную круговую форйу, а нагрузка распределена по кругу равномерно. Короче говоря, принимается, что влияние начальных отклонений от номнпала несущественно. Возмущения, которые налагаются на систему, являются сколь угодно малыми, и по отношению к этим малым возмущениям и рассматривается поведение системы. Перемещения предполагаются происходящими настолько медленно, что инерционные эффекты, связанные с наличием масс, являются несущественными. [c.107]

Аналитические решения. Аналитические решения получены лишь в тех случаях, когда уравнения (12) сводятся к системе дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Таких случаев три прямой стержень, круговое кольцо и цилиндрическая спираль, причем два первых являются частными случаями третьего. Кроме этого необходимо постоянство сечения стержня ар= а , йр, Ov = onst, [c.21]

Изложенный в настоящей главе материал имеет большое практическое значение, поскольку упругое круговоё кольцо является типичной расчетной схемой весьма распространенного элемента силовой конструкции ракет — шпангоута. Приводимые б главе уравнения могут быть использованы для расчета как изолированных шпангоутов, так и шпангоутов, подкрепляющих тонкую обшивку. Кроме того, задача изгиба кругового кольца имеет методическое значение - сравнительно простые уравнения равновесия элемента кольца и зависимости, связывающие перемещения и деформации, весьма полезны для облегчения понимания вывода уравнений теории оболочек вращения. [c.104]

В разд. 2.1 и 2.2 при определении контактного давления для оболочеч-ной конструкции, взаимодействующей с круговым основанием, по сути дела, рассматривалось кольцо, жесткость которого определенным, довольно сложным образом, уточнена с учетом жесткости конструкции. Таким образом, схему с круговым кольцом можно считать основной при определении контактного давления. Рассмотрим круговое кольцо под действием радиальной и тангенциальной нагрузок, нагруженное в плоскости начальной кривизны круговым ложементом с нелинейной характеристикой при двух площадках контакта (рис. 2.14), Радиальное перемещение кольца определяется из дифференциального уравнения [c.60]

Рассматриваем сферический сегмент, подкрепленный шпангоутом, к которому приложена произвольная нагрузка. Общее решение для сферической оболочки, нагруженной краевой нагрузкой, может быть получено путем наложения двух решений безмоментного решения и краевого эффекта. Основные соотношенйя для оболочки и кругового кольца и условия их сопряжения рассмотрены в гл. 1, разд. 1.3. Уравнение в векторной форме, связывающее перемещения оси шпангоута и усилия, действующие на шпангоут с учетом реактивных усилий со стороны оболочки, имеет вид [c.202]

В том же 1940 г. вышла еще одна пионерская работа по численному решению ГИУ для плоской задачи теории упругости [15]. В ней Ц. О. Левина и С. Г. Михлин рассмотрели плоскость с двумя вырезами. Эта область конформно отображается на круговое кольцо, для которого известна функция Грина. В результате получено ГИУ, решенное численно путем предварительного разложения его ядра в ряд и перехода к близкому уравнению с вырожденным ядром, а последнее решалось сведением к алгебраической [c.267]

Пусть круговое кольцо с двумя краевыми диаметральными трещинами равной длины I сжимается сосредоточенными силами F=P вдоль линии трещин. Зависимость найденных после-численного решения системы интегральных уравнений (7.47) безразмерных коэффициентов интенсивности напряжений Kit /nRi/P (t — толщина кольца) от параметров % и s=RolRi приведены в табл. 34. В последней строчке даны результаты для диска [95]. Представим функцию У %, г) в виде суммы [c.199]

Этот результат представляет собой случай изгиба пластинок, исиользоваиный впоследствии А. Надаи для экспериментального подтверждения приближенной теории изгиба ), предложенной Кирхгоффом. О другой интересной краевой задаче упоминается н Натуральной философии Томсона—Тэйта. Здесь сообщается по этому поводу До сих пор, к сожалению, математикам не удалось решить, а возможно, что они даже и не пытались решать, прекрасную задачу об изгибании широкой, весьма тонкой полосы (подобной, например, часовой пружине) в круговое кольцо ). Лэмб исследовал антикластический изгиб по краю тонкой полосы ) и достиг большого прогресса в решении задачи о балке ). Рассматривая бесконечно длинную балку узкого прямоугольного сечения, нагруженную через равные интервалы равными сосредоточенными силами, действующими поочередно вверх и вниз, он упростил решение двумерной задачи а для некоторых случаев получил уравнения кривых прогиба. Таким путем было показано, что элементарная теория изгиба Бернулли достаточно точна, если высота сечения балки мала в сравнении с ее длиной. При этом было также показано, что поправка на поперечную силу, даваемая элементарной теорией Рэнкина и Грасхофа, несколько преувеличена и должна быть снижена до 75% от рекомендуемого этой теорией значения. Надлежит упомянуть также и о труде Лэмба, посвященном теории колебаний упругих сфер ) и распространению упругих волн по поверхности полубесконечного тела ), а также в теле, ограниченном двумя плоскими гранями ). Он изложил также и теорию колебаний естественно искривленного стержня ). Особый интерес для инженеров представляет его и Р. В. Саусвелла трактовка колебаний круглого диска ). [c.407]

Пластинка, толщина которой б мала по сравнению с остальными размерами, подвергается действию приложенных по контуру сил, лежащих в срединной плоскости пластинки. Положим, что нам известен закон распределения напряжений. Задача заключается в том, чтобы найти, как изменятся напряжения, если в какой-либо точке пластинки, удаленной от контура, сделать круглое отверстие малого диаметра. Частный случай поставленной задачи решен Г. Киршем ), им разобран случай растяжения пластинки. Свое решение Г. Кирш получил путем подбора. Процесса этого подбора решения он не приводит, а дает окончательные значения перемещений и деформаций и показывает, что они удовлетворяют основным уравнениям теории упругости. Недавно вышла по этому же вопросу новая работа П. А. Велихова ). Хотя автор в начале своей работы и указывает, что ему при отыскании решения много помогла гидродинамическая аналогия, но в действительности опять все сведено к постепенному подбору решения. В заключение этой работы автор приходит к результатам Г. Кирша. Ниже мы подробно остановимся на работе П. А. Велихова, здесь же предлагаем решение задачи прямым путем, а не путем подбора. Такое решение вполне возможно, если рассматривать задачу как плоскую и воспользоваться общим решением ее в случае кругового кольца ). [c.106]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...