Метод Холецкого

Для решения системы разрешающих уравнений (блок 3) существует большое число хорошо отработанных методов. Например, метод Рунге — Кутта для решения системы дифференциальных уравнений, метод последовательного исключения Гаусса для решения системы линейных алгебраических уравнений. Если матрица [К] п положительно определена, время решения системы алгебраических уравнений можно существенно уменьшить, применив метод Холецкого. [c.16]

Матрица [А 1 является симметричной, положительно определенной и, как правило, малозаполненной. В СПРИНТ для решения системы принят метод Холецкого, позволяющий наиболее полно учесть свойства матрицы [Л ]. Сущность метода Холецкого [15] заключается в следующем. Существует единственное разложение вида [c.204]

Решение системы линейных алгебраических уравнений — более простая (и привычная) математическая задача, чем задача минимизации квадратичной формы (8.16), Матрица А — положительно определенная симметричная матрица, в общем случае она является плотной (не разреженной) матрицей, и поэтому для решения системы нормальных уравнений линейного МНК (8.17) следует применять соответствующие методы решения систем линейных алгебраических уравнений ([21, 25]), например метод Холецкого, называемый также методом квадратного корня. [c.471]

Для решения систем с симметричными положительно определенными матрицами часто используется метод Холецкого .метод квадратных корней). [c.128]

Поскольку L — симметричная и положительно определенная Матрица, то систему линейных алгебраических уравнений эффективно решать методом Холецкого [ 5.4]. Согласно этому методу матрицу L представим в виде разложения [c.96]

Прямой метод LDL -факторизации решения систем линейных алгебраических уравнений является одним из вариантов метода Холецкого. Рассмотрим алгоритм этого метода. Запишем исходную систему уравнений в виде [c.27]

I G — метод Холецкого рекомендуется для статических, гармонических, или переходных расчетов требователен к объему оперативной и внешней памяти [c.189]

Для решения дискретных задач используются известные в теории разностных схем прямые и итерационные методы для задачи определения напряженно-деформированного состояния — метод сопряженных градиентов и метод Холецкого [13], для задачи устойчивости — метод градиентного спуска и метод итерирования подпространств [11, 12, 18]. [c.337]

Анализ результатов расчетов. По описанной методике выполнены расчеты для композитного материала, армированного двумя волокнами конечных размеров. С целью повышения скорости сходимости вычислительных процессов и повышения точности полученных результатов расчетов решение дискретных задач выполнялось комбинированным способом на последовательности сгущаемых сеток. Указанный способ решения дискретных задач заключается в следующем сначала в расчетной области вводится сетка с минимальным количеством узлов, которая позволяет получить качественную картину решения затем выполняется решение дискретной задачи прямым методом (метод Холецкого, метод итерирования подпространств) далее выполняется уплотнение сетки по каждому из направлений с последующей интерполяцией полученных результатов решения в дальнейшем решение дискретной задачи выполняется градиентным методом (метод сопряженных градиентов, метод градиентного спуска), для которого в качестве начального приближения используется решение, полученное на предыдущем этапе. Сходимость градиентных методов, являющихся методами вариационного типа, сильно зависит от качества начального приближения. Поскольку, прямые методы на небольшой сетке позволяют быстро и точно получить качественную картину решения дискретной задачи, указанный комбинированный способ позволяет в несколько раз (по сравнению с традиционными процедурами реализации расчетов) снизить время, необходимое для получения решения задач, повысить точность полученных результатов, а также снизить требования к вычислительным ресурсам. [c.337]

Основной алгоритм метода Холецкого аналогичен [c.75]

Подробное описание этих методов приведено в работе [12]. В случае положительно определенной симметричной матрицы методу Холецкого отдается предпочтение, так как выполняется меньше расчетов и необходим меньший объем памяти ЭВМ (рассчитывается и размещается в памяти только одна матрица). [c.75]

Идея МКЭ и алгоритм решения задачи о напряженно-деформированном состоянии с помощью МКЭ демонстрируются в гл. 1 на примере элементарных задач об осевой деформации стержня. Далее МКЭ излагается в гл. 2—6 применительно к задачам теплопроводности и термоупругости, причем выбор рассматриваемых в книге типов конечных элементов обусловлен конфигурацией таких подлежащих исследованию деталей тепловых двигателей, как поршни и цилиндровые втулки дизелей различного назначения. Параллельно с изложением алгоритма МКЭ демонстрируются реализующие эти алгоритмы программные модули комплекса, созданного автором и предназначенного специально для расчета деталей тепловых двигателей. Программы и программные комплексы записаны на языке Фортран, так что книга предполагает знакомство читателя с этим алгоритмическим языком. В книге большое внимание уделено вопросам рационального использования всех ресурсов ЭВМ и эффективной организации всего процесса вычислений при решении больших по размеру прикладных задач приводятся программы вычисления матриц жесткости, инвариантные к виду конечного элемента. В 1л. 7—8 приводится компактная схема организации формирования глобальной матрицы системы уравнений МКЭ, подробно излагаются приемы организации исходных данных, опыт реализации с использованием периферийной памяти схем метода Холецкого и метода сопряженных градиентов для решения больших систем уравнений МКЭ, С помощью разработанных программных комплексов автором выполнены исследования температурных полей и напряженно-деформированного состояния ряда деталей тепловых двигателей. Результаты этих исследований приведены в гл. 9—10 книги. В. Н. Николаевым написан п. 5 гл. 9, гл. 10 — совместно с канд. техн. наук М. В. Се-менченко. [c.4]

В работе [21 ] показано, что в случае применения прямых методов решения систем уравнений заполнение ограничивается профилем матрицы. Иначе говоря, в процессе декомпозиции матрицы, например, по методу Холецкого новые ненулевые элементы могут появиться только в пределах профиля матрицы. В связи с этим для хранения элементов матрицы системы уравнений МКЭ можно оставить элементы, принадлежащие только профилю матрицы. Такая схема хранения впервые была предложена А. Дженнингсом [39] и называется профильной. [c.118]

Метод Холецкого является прямым методом решения системы линейных алгебраических уравнений с симметричной и положительно определенной матрицей. Существуют два варианта метода Холецкого, один из которых имеет второе название, известное в литературе как метод квадратного корня. Не останавливаясь на анализе метода квадратного корня, перейдем к обсуждению второго варианта метода Холецкого, принятого здесь в качестве основного прямого метода решения систем уравнений МКЭ. [c.126]

Как видно, в этом варианте метода Холецкого отсутствует операция извлечения квадратного корня. Работа алгоритма сводится к последовательному выполнению N шагов, где N — порядок решаемой системы уравнений. К началу выполнения -го шага уже определены в соответствии с (8.3)—(8.5) элементы матриц L и D исключительно до i-a строки. Вычисления на -м шаге декомпозиции матрицы К сводятся к определению i — 1 вспомогательной величины Kl] в соответствии с (8.3) и дальнейшему пересчету их на основании (8.4) в элементы матрицы L с одновременным накоплением суммы в (8.5). i-я строка матрицы L, элементы которой подлежат определению на г-м шаге декомпозиции, называется активной строкой, а /-я строка той же матрицы, элементы которой уже определены к началу t-ro шага декомпозиции, назъшается пассивной строкой. [c.127]

Приведенный здесь алгоритм метода Холецкого должен быть пересмотрен с учетом принятой ранее профильной схемы хранеция элементов глобальной матрицы К системы уравнений (8.1). При этом необходимо учесть, что суммирование в (8.3), (8.5), (8.10) и (8.11) следует начинать с первого ненулевого элемента в строке. Компоненты суммы в (8.3) представляют собой произведения двух элементов матрицы, находящихся в разных строках, но в одном столбце. Поэтому суммирование в (8.3) нужно начинать с первого ненулевого элемента той строки, в которой ему соответствует больший номер столбца. Очевидно, что профили матриц К и Ь совпадают. [c.128]

Рис. 8.1. Схема вычислений на шестом шаге декомпозиции по методу Холецкого

Рис. 8.2. Компоненты преобразования матрицы по методу Холецкого и организация хранения исходной матрицы

ОРГАНИЗАЦИЯ МЕТОДА ХОЛЕЦКОГО С УЧЕТОМ ДОСТУПА К ПЕРИФЕРИЙНОЙ ПАМЯТИ ЭВМ [c.132]

Работа алгоритма метода Холецкого с учетом посегментного представления профиля матрицы сводится к последовательному а) Ю [c.133]

Рис. 8.5 иллюстрирует схему алгоритма метода Холецкого на третьем шаге декомпозиции матрицы из примера да рис, 8.4. [c.133]

Наиболее просто учитываются перемещения, заданные в направлении координатных линий [81. При решении системы уравнений методом Холецкого перед выполнением процедуры декомпозиции диагональный элемент матрицы, соответствующий заданному перемещению, заменяется большим числом, например 10 , а соответствующая компонента вектора нагрузки заменяется произведением этого большого числа на заданное значение перемещения. Фактически это приводит к тому, что после декомпозиции глобальной матрицы недиагональные элементы строки и г-толбца матрицы Ь, соответствующие заданному перемещению, будут заполнены нулями. Таким образом, уравнение равновесия в узловой точке с заданным перемещением заменяется уравнением с одним неизвестным, которое, вообще говоря, является независимым в общей системе уравнений. [c.138]

Третий сегмент осуществляет декомпозицию исходной матрицы по схеме метода Холецкого и включает в себя единственный программный модуль, который инвариантен к типу решаемой задачи. [c.142]

Возможности программного обеспечения проектирование линейных стационарных систем в соответствии с методологией ЛКГ-задачи. Составляемая пользователем исполняющая программа подключает необходимые подпрограммы из специальной библиотеки (62 подпрограммы), в которую входят процедуры работы с матрицами и векторами, ввода-вывода, анализа и проектирования линейных систем. Кроме того, в библиотеку включены подпрограммы вычисления собственных значений, декомпозиции по методу Холецкого и по вырожденным значениям, вычисления матричных экспонент, решения уравнений Ляпунова и Сильвестра, проверки условий стабилизнруемости вычисления ковариаций и конструирования передаточной матрицы. Для систем, описываемых с помощью непрерывных и дискретных переменных состояния, алгоритмы проектирования включают методы решения стационарных и нестационарных ЛКГ-задач, методы с явной и неявной эталонной моделью, а также методы размещения собственных значений в одномерных системах. [c.324]

В ряде программ предусмотрено использование внешних запоминающих устройств (пакета дисков, накопителя на магнитной ленте). Для уменьшения объема оперативной памяти, необходимой для размещения текста программ, применена оверлейная структура, позволяющая сохранять в оперативной памяти тексты только тех подпрограмм, которые необходимы для выполнения определенного этапа расчетов. В большинстве разработанных программ распределение оперативной памяти машины под массивы числовых данных осуществляется специальной подпрограммой, позволяющей использовать для размещения информации массивы с переменными границами, соответственно особенностям решаемых задач. Программы реализуют стандартную процедуру метода конечных элементов с решением системы линейных алгебраических уравнений по методу Холецкого, двойного разложения Холецкого, сопряженных градиентов, сингулярного разложения. Имеется подпрограмма автоматической генерации исходных данных при разбиении на конечные элементы односвязных и двухсвязных областей. [c.41]

Известно, что решение системы линейных алгебраических уравнений может осуществляться с использованием прямых или итерационных методов. В расчетной практике наиболее широко распространен метод Гаусса, реализующий процедуру последовательного исключения неизвестных. Однако при решении задач по методу конечных элементов он существенно уступает по эффективности методу Холецкого, основанному на замене системы уравнений (1.1) системой вида [c.48]

Решение системы (2.12) осуществляется в два этапа прямая подстановка дает вектор х , а обратная подстановка используется для получения требуемого решения (б . Метод Холецкого позволяет значительно экономить память ЭВМ. При его реализации в оперативной памяти достаточно хранить половину ленты матрицы жесткости системы (1.1) или половину всей матрицы жесткости системы (1.16). В последнем случае требуется значительный объем машинной памяти, резко увеличивается время счета. Однако эти недостатки можно частично устранить при использовании метода двойного разложения Холецкого [61] для системы (1.16). [c.48]

Решая методом Холецкого систему (2.17), находим вектор функции гидростатического давления (5). После этого система (2.14) может быть решена с использованием (2.12). [c.48]

Из итерационных методов решения наиболее часто используется метод сопряженных градиентов. Этот метод дает точность результатов, аналогичную методу Холецкого, но значительно уступает ему по времени счета. Вычислительная процедура метода сопряженных градиентов выглядит следующим образом. [c.49]

Центробежные силы, действующие на резиновый упругий элемент при вращении муфты, приводят к осесимметричному напряженному состоянию. Расчетная схема оболочки при нагружении центробежными силами показана на рис. 5.12. В расчетах использовались кольцевые конечные элементы, матрицы жесткости которых определялись по формуле (1.23). Коэффициент Пуассона при этом принимался = 0,48. Процедура численного интегрирования центробежных сил при формировании вектора правой части разрешающей системы рассмотрена в п. 2.3. При использовании метода Холецкого машинное время решения задачи не превышает 1 мин. Как показывают расчеты, наибольшие растягивающие напряжения здесь возникают также на внутренней поверхности оболочки у заделки. Расчетные формулы для определения напряжений в торообразной оболочке, вызванных действием центробежных сил, могут быть представлены в виде [c.114]

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений [1, 3, 7, 11, 13] можно подразделить на две группы прямые и итерационные. Прямые методы позволяют получить решение за конечное число арифметических операций, итерационные дают лишь последовательность приближений к решению. Свойства симметрии и положительной определенности матрицы жесткости предопределяют выбор прямого метода, например метода Холец-кого или его разновидности — метода LDL -факторизации. Эффективная программная реализация различных вариантов мбтода Холецкого, ориентированная на применение МКЭ, дана в работе 13]. [c.34]

Метод сопряженных градиентов с предобусловленностью посредством неполного разложения Холецкого [c.77]

В памяти матрицу размещают с учетом ее ленточного вида и принятого метода решения В основном метод Ньютона-Рафсона применяют совместно с прямыми методами решения линейных систем (Гаусса, Холецкого, 1ССО), итерационные методы обычно используются только в очень малых ЭВМ из-за небольшого объема их памяти [c.103]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...