ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод Холецкого из "Метод Конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей " Метод Холецкого является прямым методом решения системы линейных алгебраических уравнений с симметричной и положительно определенной матрицей. Существуют два варианта метода Холецкого, один из которых имеет второе название, известное в литературе как метод квадратного корня. Не останавливаясь на анализе метода квадратного корня, перейдем к обсуждению второго варианта метода Холецкого, принятого здесь в качестве основного прямого метода решения систем уравнений МКЭ. [c.126] Как видно, в этом варианте метода Холецкого отсутствует операция извлечения квадратного корня. Работа алгоритма сводится к последовательному выполнению N шагов, где N — порядок решаемой системы уравнений. К началу выполнения -го шага уже определены в соответствии с (8.3)—(8.5) элементы матриц L и D исключительно до i-a строки. Вычисления на -м шаге декомпозиции матрицы К сводятся к определению i — 1 вспомогательной величины Kl] в соответствии с (8.3) и дальнейшему пересчету их на основании (8.4) в элементы матрицы L с одновременным накоплением суммы в (8.5). i-я строка матрицы L, элементы которой подлежат определению на г-м шаге декомпозиции, называется активной строкой, а /-я строка той же матрицы, элементы которой уже определены к началу t-ro шага декомпозиции, назъшается пассивной строкой. [c.127] 3) видно, что для определения промежуточных величин Ki] в t-й активной строке не требуется знания аналогичных величин в предыдущих пассивных строках. В связи с этим вычисление значения элементов матрицы L можно размещать на месте соответствующих элементов матрицы К. После завершения процесса декомпозиции находится решение системы уравнений (8.1). [c.127] В связи с тем, что матрица Ь треугольного типа, то первое уравнение системы (8.8) содержит одну неизвестную ух, которая сразу же может быть найдена. Второе уравнение системы (8.8) содержит две неизвестных у и у , одна из которых у определена в первом уравнении. Следовательно, второе уравнение содержит опять одну неизвестную, которую можно найти простой подстановкой. Продолжая этот процесс дальше, до Ы-то уравнения, можно найти промежуточное решение V. Решение системы уравнений (8.8) называется в литературе пррмым ходом. [c.128] Анализируя процесс решения системы уравнений (8.9), можно заметить, что он соответствует описанному выше, с той лишь разницей, что выполнение его осуществляется в порядке обратного просмотра уравнений начиная от Л -го к первому. Решение системы уравнений (8.9) называется в литературе обратным ходом. [c.128] 10) и (8.11) видно, что промежуточное решение V и окончательное и можно размещать на месте правой части системы уравнений (8.1). [c.128] Приведенный здесь алгоритм метода Холецкого должен быть пересмотрен с учетом принятой ранее профильной схемы хранеция элементов глобальной матрицы К системы уравнений (8.1). При этом необходимо учесть, что суммирование в (8.3), (8.5), (8.10) и (8.11) следует начинать с первого ненулевого элемента в строке. Компоненты суммы в (8.3) представляют собой произведения двух элементов матрицы, находящихся в разных строках, но в одном столбце. Поэтому суммирование в (8.3) нужно начинать с первого ненулевого элемента той строки, в которой ему соответствует больший номер столбца. Очевидно, что профили матриц К и Ь совпадают. [c.128] Подпрограмма S DE предназначена для определения элементов нижней треугольной матрицы L и диагональной матрицы D из (8.2). Входными данными подпрограммы являются массив адресов диагональных элементов NPD, массив SQ для хранения профиля матрицы К и параметр NLR, соответствующий порядку системы уравнений. Выходными данными подпрограммы являются массив SG, где размещен профиль найденной матрицы L, и массив DG, в котором хранятся элементы диагональной матрицы D. [c.129] Суммирование в (8.10) и (8.11) выполняется также по укороченным циклам. [c.131] При решении нестационарных задач теплопроводности формирование новой правой части системы уравнений теплового баланса на каждом временном шаге требует выполнения операции перемножения некоторой симметричной матрицы на вектор начальных значений. Поскольку хранятся только элементы профиля матрицы, то обычный алгоритм перемножения должен быть модифицирован с учетом этого обстоятельства. Можно заметить, что любой элемент профиля дважды участвует в перемножении. [c.131] Подпрограмма МиЗОХ реализует перемножение симметричной матрицы, профиль которой хранится в массиве 50, на вектор X. Результат перемножения размещается в массиве . Параметру NLR соответствует порядок матрицы. [c.132] Вернуться к основной статье