Анзатц Бете

Л А г-модсль J = J,), или модель Гейзенберга — Изинга, точно решается методом анзатца Бете и сводится к двумерной, т.н. шестивершинной, модели, к-рая, в свою очередь, известна также как модель типа льда на квадратной решётке (см. Двумерные решёточные модели). Связь этих моделей позволяет использовать результаты, полученные для шестивершинной модели в случае XXZ-модели. Преимущество классич. двумерной шестивершинной модели перед одномерной квантовой A A Z-моделью заключается в том, что для решения двумерной модели удобно использовать метод трансфер-матрицы. [c.151]

Обобщенный анзатц Бете и квантовый метод обратной задачи. — Препринт ЛОМИ АН СССР, Р-3-79. Ленинград. [c.337]

Систематически изложено современное состояние исследования основных моделей магнетизма Нзинга, Гейзенберга, Хаббарда и 5 — -модели. Используется диаграммная техника для спиновых операторов и метод континуального интегрирования. Для двумерных систем дано точное решение моделей Изин-га, а также исследуются топологические структуры — вихри и инстантоны. Описываются точные решения для одномерных магнитных систем на основе анзатца Бете. [c.2]

Большая глава (гл. 5) посвящена одномерным точно решаемым магнитным системам, которые являются предметом интенсивного исследования в самые последние годы. Впервые в монографической литературе детально изложен стандартный анзатц Бете и его алгебраический вариант — квантовый метод обратной задачи рассеяния — со многими приложениями в теории магнетизма в моделях Гейзенберга, Хаббарда и 5 — -моделп. В результате того, что многие последние работы этого направления носят сугубо математический характер, ряд специалистов, занимающихся вопросами магнетизма, испытывает определенные трудности при осмыслении физических результатов таких исследований. В связи с этим последняя глава нашей книги, написанная, как и другие главы, для физиков, поможет преодолеть высокий барьер понимания и послужит введением в эту бурно развивающуюся область теоретической и математической физики. [c.7]

Излагается статистическая механика одномерных квантовых систем на основе точных решений, получаемых с помощью анзатца Бете. Сам метод детально демонстрируется на примере гейзенберговской цепочки с обменным взаимодействием между ближайшими соседями и атомным спином <5 = 1/2. Для изотропной (ХХХ-модель) и анизотропной (ХХ2-модель) цепочек подробно выведены уравнения для состояния с произвольным числом тп спиновых отклонений при учете периодических граничных условий. Получаются две системы уравнений — одна для быстрот, параметризующих импульсы, другая — для самих импульсов. Показывается, что вещественные решения для быстрот определяют основное состояние системы, а комплексные решения определяют структуру возбужденных состояний. В частности, показано, что комплексные решения группируются в так называемые струны, которым соответствуют связанные состояния некоторого числа спиновых отклонений (бетевских спиновых комплексов). Описывается структура основного состояния антиферромагнитной цепочки и спектр ее возбуждений. Выводится система уравнений, описывающих термодинамику гейзенберговской цепочки. [c.184]

Для анализа одномерных систем частиц, обладающих внутренними степенями свободы излагается квантовый метод обратной задачи рассеяния (сокращенно— КМОЗ), который можно рассматривать как алгебраический анзатц Бете. Диагона ЛИЗ ация гамильтониана сводится к диагонализации трансфер-матрицы, которая выражается через матрицу монодромии. Эти два объекта являются основными в математической структуре метода, а основным уравнением теории становится уравнение Япга — Бакстера. [c.184]

В заключение главы дается обзор новейших результатов по точным решениям для магнитных систем с низкой размерностью, которые достигаются использованием обобщений анзатца Бете и техники КМОЗ. [c.184]

Первое решение этой проблемы для частного случая изотропной цепочки (/5с = /у = Л = /) было дано еш,е в 1931 г. Бете [81 на основе эвристического приема, получившего в дальнейшем название анзатц Бете. Для случая / > О, отвечаюш,его ферромагнитному основному состоянию. Бете нашел собственные значения гамильтониана и определил спектр элементарных возбуждений системы, каковыми оказались спиновые волны и т-частичные спиновые комплексы (связанные состояния т перевернутых спинов в ферромагнитной цепочке). Для антиферромагнитной цепочки (/<0) [c.185]

Решение аналогичной проблемы для анизотропной цепочки потребовало значительно больших усилий. В 1966 г. Янгом и Янгом [173, 174] с помощью анзатца Бете была решена задача с Jx = Jy h (так называемая XXZ-модель, в отличие от изотропной ХХХ-модели с Jx = Jy = Jz)- Наконец, только в 1972 г. Бакстер [79] дал решение для энергии основного состояния в XyZ-модели (/ = /у а Джонсон, Кринский и Маккой [108] нашли спектр возбуждений. Полное исследование основного состояния и спектра возбуждений анизотропной цепочки было дано недавно Тахтаджяном и Фаддее-вым [67] на основе регулярного метода исследования одномерных дискретных систем — так называемого квантового метода обратной задачи рассеяния (сокращенно — КМОЗ). [c.186]

Далее, следуя работе Янга и Янга [173], мы будем применять анзатц Бете для полной диагонализации гамильтониана (17.6). [c.187]

Анзатц Бете. Рассмотрим состояние цепочки с т спинами, ориентированными вниз, и М—т) спинами — вверх. Пусть л 1 < д 2 <. .. < Хтп — координаты узлов со спинами вниз (1 < ]У). Бете-анзатц заключается в предположении, что волновая функция такого состояния представляет суперпозицию экспонент [c.187]

Теперь можно сформулировать правила построения решений т-частичных уравнений (17.14) в общем случае, которые и составляют знаменитый анзатц Бете. Решение представляется суперпозицией экспонент вида [c.192]

Проблема нахождения собственных значений и собственных функций для гейзенберговской цепочки свелась с помощью анзатца Бете к решению уравнений на Xj. Имеем два типа таких уравнений уравнение (17.49) или (17.56) для изотропного случая и уравнение (17.61) для анизотропного. Другой эквивалентной формой этих уравнений является общее уравнение (17.43) на импульсы р . Оно удобно для исследования энергии основного состояния, чем мы теперь и будем заниматься. Возбужденные состояния будут исследоваться после этого на основе уравнений (17.49), (17.56) и (17.61) на быстроты Xj. [c.196]

Сводные результаты применения анзатца Бете к анизотропной цепочке Гейзенберга (ХХ7-модель) [c.197]

Уравнение Янга — Бакстера. Изотропная модель Гейзенберга является простейшей системой, точное решение которой достигается применением простого анзатца Бете, т. е. представлением волновой функции в форме (17.33). Для этой модели приходится рассматривать систему взаимодействуюш их т частиц (спиновых отклонений), которые не имеют внутренней структуры, и их состояние целиком задается их положением в цепочке (координатой). Взаимодействие таких частиц сводится лишь к обмену импульсами. [c.210]

В то же время суш ествует немало физических систем, где состояние частицы имеет внутреннюю структуру, т. е., попросту говоря, характеризуется некоторым дискретным индексом а, например, проекцией спина. Следуя теоретико-полевой идеологии, будем говорить, что состояние частицы характеризуется цветом, а соответствующий цветовой индекс а пробегает I значений. При взаимодействии друг с другом такие частицы могут не только обмениваться импульсами, но и менять свой цвет. Это последнее обстоятельство требует обобщения анзатца Бете. [c.210]

Рассмотрим систему из N частиц. Пусть Q= qu. .., qN) и = == / 1,. .., р ) — перестановки целых чисел 1,. .., N. нумерующих эти частицы. Обобщенный анзатц Бете состоит в том, что волновая функция системы Т (Хд) = Т а а2...а7у ( 1 iv) ДЛЯ облаСТИ XQ взаимной расстановки координат частиц [c.210]

Таким образом, в отличие от классического анзатца Бете (17.33) производится перестадавка не только по импульсам частиц, но и до координатам, причем вместе с координатами производится соот- [c.210]

Суммирование по у идет по четырем индексам ]= х, у, z ж О, причем представляет собой единичную двухрядную матрицу. Мы покажем, что такой выбор абстрактной -матрицы при дополнительном предположении, что для нее выполняется уравнение Янга — Бакстера (18.3), соответствует задаче о нахождении собственных значений гамильтониана ферромагнитной гейзенберговской цепочки (ХХХ-модель). Поскольку эта задача была уже решена в 17 с помощью анзатца Бете, мы не получим новых физических результатов, но сможем легко проиллюстрировать работу КМОЗ, причем [c.215]

Формулы (18.56) — (18.58) совпадают с соответствующими формулами (17.51), (17.49) и (17.48) для гейзенберговской ферромагнитной цепочки (А = 1), полученными применением анзатца Бете. [c.222]

Для полного уяснения связи двух методов — КМОЗ и анзатца Бете — полезно обсудить, как выглядит решение XXZ- и XYZ-uo-делей в методе КМОЗ. Для исследования системы с гамильтонианом XXZ-модели [c.222]

Оба примера весьма поучительны для понимания квантового метода обратной задачи. Неискушенному в проблеме точных решений квантовых систем читателю метод КМОЗ может показаться слишком изощренным, однако, он является наиболее логичным и общим по сравнению с теми методами, которые, непременно используя обобщенный анзатц Бете, обходятся без него. [c.229]

Установление вида 5-матрицы. После модели Гейзенберга одномерная модель Хаббарда была второй точно решенной задачей в теории магнетизма. Ее решение было дано Либом и Ву [121] на основе анзатца Бете, который, однако, потребовал в этой проблеме определенного усложнения по сравнению с описанным нами в 17 простейшим вариантом. Решению этой задачи пепосрс Д-ственно предшествовало точное решение Янгом [172] пробл( мы [c.229]

Решение его запишем через анзатц Бете, но с разными коэффициентами для областей Ху< Хг и Xz< Ху [c.231]

Сведение проблемы к одномерной задаче. Одним из самых ярких достижений использования анзатца Бете и техники КМОЗ в статистической механике является точное решение задачи о примесном атоме с локализованным магнитным моментом, погруженном в немагнитный металл. Первые исследования задачи о рассеянии электронов проводимости на такой примеси в следуюш их за борновским приближениях показали суш,ественные температурные аномалии рассеяния и, в частности, спиновую экранировку примеси электронами проводимости при низких температурах. Совокупность всех этих явлений получила название эффекта Кондо. В течение почти двух десятилетий эта проблема была предметом интенсивного изучения, но все подходы основывались на том или ином варианте теории возмуш ений (см. 9). Впервые точное решение задачи было дано Вигманом [17, 164], несколько позднее — Андреем [75]. [c.236]

Анзатц Бете и матрица рассеяния. В соответствии с общим рецептом, изложенным в начале 17, запишем решение уравнения (20.9) [c.237]

Важным этапом было точное решение задачи об одномерном газе частиц с отталкиванием, данное Янгом в 1967 г. [172]. В этой работе впервые анзатц Бете был применен к системе частиц с внутренней симметрией, когда состояние частицы определяется не только ее пространственным положением, но и дискретным индексом (цветом). Это немедленно позволило Либу и Ву [121] решить задачу об одномерной модели Хаббарда. В эти же годы впервые были разработаны методы термодинамического описания одномерных систем при конечных температурах. Впервые термодинамика бозе-газа была рассмотрена Янгом и Янгом в 1969 г. Опираясь на их результаты, в 1971 г. Годен [97] и Такахаши [149] построили термодинамическую теорию для изотропной гейзенберговской цепочки. [c.250]

Следуюш,им принципиальным шагом явилось исследование Бакстером [10, 79] XyZ-модели, потребовавшее нетривиального усложнения анзатца Бете. Среди многочисленных результатов замечательных работ Бакстера следует особо отметить установление фундаментального соотношения для факторизованной трехчастичноп [c.250]

А А А -модель (J = Jy=J = J) — изотропная модель Гейзенберга. Решение получено Г. Бете в 1931 [I]. Использованный им метод решения в дальнейшем получил назв. анзатц или подстановка Бете. Следуя этому методу, рассмотрим состояние цепочки с т спинами, ориентированными вниз, и N m спинами, ориентированными вверх. Пусть Х [c.151]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...