Условие неубывания энтропии

Уравнения газовой динамики необходимо дополнить условием неубывания энтропии в частице, выражающим второе начало термодинамики. Это условие приводит к тому, что в потоке газа могут существовать ударные волны т.е. такие линии разрыва функций w, i , р, р, которые приводят к увеличению энтропии и плотности газа, но не существуют линии разрыва, за которыми энтропия и плотность потока уменьщаются. [c.51]

Определение 1. Функции а, д, (р на некоторой характеристике второго семейства имеют разрыв класса Р, если в точке разрыва выполнены соотношения (1.22) при некотором значении <т, удовлетворяющем условию неубывания энтропии. [c.53]

Если можно указать такую систему отсчета, в которой тождественно равен нулю поток энтропии д = С — дG/дqi)qi = О, то в ней Р = / а условие [Р] > О превращается в условие неубывания энтропии [в] = [/] > 0. Для упругой среды или газа такой системой, где д = О, служит лагранжева система координат, связанная со средой (см. Главу 2). [c.76]

Очевидно, /X > О, так как в противном случае линеаризованное уравнение (1.52) обладало бы растущими периодическими по X решениями, что запрещено условием неубывания энтропии. В дальнейшем будем считать величину д положительной. [c.84]

В число таких неравенств должно входить, например, часто используемое условие неубывания энтропии на разрывах без подвода тепла, которое, очевидно, должно выполняться для разрывов, имеющих структуру. [c.109]

Термодинамическое условие неубывания энтропии требует выполнения неравенства [c.182]

Условие неубывания энтропии [c.190]

Реально осуществляющимся разрывам могут отвечать не все состояния на ударной адиабате, а только те, для которых выполнено условие неубывания энтропии. Закон сохранения энергии на разрыве в виде уравнения (4-5) позволяет вычислить изменение энтропии при переходе скачком из начального состояния С/х, /2 в любое состояние 1, 2. Подставив в это равенство функцию Ф (4.9) для квазипоперечных волн и учитывая выражение [c.190]

УСЛОВИЕ НЕУБЫВАНИЯ ЭНТРОПИИ 191 [c.191]

Полезно отметить, что условие неубывания энтропии наряду с неравенством (4.21) может быть выражено так же неравенством x 2 < i 2 ) что иногда при исследовании оказывается более удобным для проверки. Эквивалентность неравенств определяется формой ударной адиабаты. [c.192]

Для существования разрывов нужно, чтобы на них, кроме эволюционности, одновременно выполнялось еще условие неубывания энтропии. Проследим за изменением энтропии 3 в) вдоль линии ударной адиабаты на рис. 4.5. Энтропия имеет постоянное значение 3 = (Л) на окружности проходящей через начальную точку А (3 -окружность). На ударной адиабате 5 = 3 в двух точках А на рис. 4.5 и еще в двух точках N я М пересечения ударной адиабаты с 5-окружностью. Выясним, где на рис. 4.5 лежат точки N и М. Непосредственное вычисление скорости скачка в точках N -[ 1, [ 2) и N 1/1, -С/2) Дает [c.202]

В точках F Ti К ка. петле ударной адиабаты выполняется условие W = сj. Покажем, что обе эти точки всегда лежат во втором квадранте. Для этого рассмотрим ударную адиабату, проходящую через какую-нибудь из этих точек как через начальную. В силу симметрии соотнощений на разрыве (4.15) относительно состояний за разрывом и перед ним, эта ударная адиабата пройдет через точку А. При этом в точке А будет выполнено условие Жуге W = С2(Л) = f. Тогда в этой точке должен быть экстремум энтропии, который может быть только минимумом. Действительно, так как точки F и К лежат внутри 5-окружности (условие неубывания энтропии при х > 0), то 5(F) > 5(Л), S K) > 5(у4). Однако, выше было показано, что точка, где достигается минимум энтропии, всегда лежит в квадранте соседнем с начальной точкой. Следовательно обе точки F VL К лежат во второй четверти. Все упомянутые выше точки Жуге отмечены на рис. 4.6 а и Ь. [c.207]

Вследствие того, что на окружности 5 = 5(Л) = onst и W = св = onst, вся эта часть ударной адиабаты удовлетворяет условию неубывания энтропии и условиям эволюционности [c.225]

Для квазипродольных волн ( 4.2) путем стандартного разложения в ряд по амплитуде (в качестве которой принимается скачок на разрыве продольной компоненты деформации [из]) найдены скорость разрыва (равенство (4.6)) и изменения на разрыве поперечных компонент деформаций щ и П2 (4.7), а также энтропии 3. Как и соответствует общей теории малых разрывов ( 1.7), первые два члена разложения изменений величин в ударных волнах совпадают с соответствующими членами разложения изменений тех же величин в волнах Римана (Глава 3), а условия неубывания энтропии и эволюционности разрыва выполнены для ударных волн, которые близки опрокидывающимся волнам Римана. [c.237]

Последняя группа соотношений выражает непрерывность пе-ремеш,ений на ударной волне. Уравнение энергии, служащее для вычисления скачка энтропии, здесь не выписано, поскольку условие неубывания энтропии, как показано в Главе 4, слабее, чем условия эволюционности разрыва. [c.291]

Сами вращательные разрывы являются граничными с точки зрения условий эволюционности и условия неубывания энтропии, поскольку их скорость по обе стороны совпадает со скоростями вращательных малых возмущений, а [5] = 0. Как следует из предыдущего, граничными с точки зрения эволюционности являются все неплоскополяризованные (т.е. вращательные и поворотные) разрывы. [c.364]

Последний член в правой части равенства представляет собой [F(r)] - скачок функции Р г). Так как dip/dS = дФ/дЗ = рТ > О, где Т - температура, то знак изменения функции [ф совпадает со знаком скачка энтропии [S] на разрыве. Поэтому условие неубывания энтропии на разрыве требует положительности площади, заключенной между отрезком секущей, идущей из начальной точки в конечную, и графиком функции /(г) на том же отрезке изменения г правило площадей) (рис. 9.1). Из рисунка видно, что этому условию удовлетворяют все участки, где одновременно выполнены условия (9.18) и (9.19). [c.385]

При рассмотрении условий эволюционности при д ф О нужно прежде всего отметить, что в этом случае они сводятся только к неравенствам (9.18), а условия (9.19) выставляться не должны. В силу малости д, в общем случае положение концов эволюционных отрезков ударной адиабаты, а также отрезков, удовлетворяющих условию неубывания энтропии [5] > О, мало изменится по сравнению со случаем = О на той части ударной адиабаты, которая остается близкой к начальной прямой. [c.387]

Этот результат, а также тот факт, что в гуковских материалах все ударные волны, удовлетворяющие условию неубывания энтропии, являются волнами уплотнения, показывают, что описанная выше комбинация волн —быстрая ударная волна, сопровождаемая медленной центрированной простой волной, имеег желаемое поведение для случая, когда амплитуда мала. Представление нелинейного решения в виде ряда по малой амплитуде можно найти в оригинальной работе [Bazer, Eri son, [c.326]

Впервые понятие кинетического уравнения было введено Больцманом в 1872 г. Обычно в это понятие вкладывается такой способ описания поведения системы, который бы явно отражал необратимые процессы эволюции. Свойство необратимости было выражено Больцманом в виде знаменитой Я-теоремы, или, иначе, теоремы о неубывании энтропии. Структуры уравнений, удовлетворяющих условиям Я-теоремы, как выяснилось спустя много лет, допускают не очень большое разнообразие и сейчас известны достаточно хорошо (см., например, [1—13]). Тем не менее огромное число монографий и работ, посвященных кинетическому описанию вещества, связаны не только с различными конкретными приложениями, но и с изучением принципиальных вопросов такого описания, внимание к которым со стороны физиков не ослабевает со временем. Причиной этого является особое состояние проблемы кинетического уравнения. В то время как Больцману пришлось в трудных условиях отстаивать свою теорию, сейчас ни у кого нет сомнений в сираведливостп кинетического описания движения и в справедливости известных кинетических уравнений. Проблема состоит в том, чтобы выяснить, когда и при каких условиях (не формального характера) этими уравнениями можно пользоваться. [c.103]

Условия эволюционности и неубывания энтропии, рассмотренные выще, имели целью отбросить некоторые из разрывов, удовлетворяющих законам сохранения, как нереальные. [c.77]

Сравнивая эти величины для а с выражением (4.6) для скорости скачка IV, видим, что условия эволюционности выполнены, если а[из] > О, т.е. дм квазипродольной ударной волны требования эволюционности и неубывания энтропии совпадают. [c.183]

Выражения для скорости ударной волны и для скачка энтропии, проявление нелинейности в членах третьего порядка, совпадение условий эволюционности и неубывания энтропии — все это делает квазипродольные нелинейные волны, как непрерывные, так и скачки, очень похожими на достаточно хорошо изученные аналогичные волны в газовой динамике. Поэтому в дальнейшем квазипродольным волнам достаточно большого внимания уделяться не будет. [c.183]

Кроме неубывания энтропии, для существования ударной волны должны быть удовлетворены еще условия ее эволюционности (необходимые условия устойчивости фронта по отнощению к малым одномерным возмущениям, (см. 1.6). Согласно им число уходящих от разрыва в обе стороны характеристик должно быть на единицу меньше числа граничных условий на разрыве. Будем здесь и ниже предполагать (обоснование этого предположения будет дано в Главе 8), что на разрывах не выставляется никаких других граничных условий, кроме тех, которые даются законами сохранения. Эволюционность при таком предположении была названа в Главе 1 априорной. В дальнейщем слово априорная будет опускаться во всех случаях, когда это не может вызвать недоразумений. [c.192]

Таким образом, решения автомодельных задач могут строиться в виде комбинаций эволюционных ударных волн и расширяющихся со временем волн Римана разных типов. Построение таких решений служит, кроме того, одним из критериев для разрешения вопроса о реализуемости тех или иных типов скачков. До сих пор при отборе реально осуществимых ударных волн к ним предъявлялись три требования во-первых, выполнение законов сохранения массы, импульса, энергии, во-вторых, неубывание энтропии и, в-третьих, выполнение условий эволюционности. По условию одновременного соблюдения этих трех требований в Главе 4 был найден некоторый набор ударных волн разных типов, которые будут считаться физически допустимыми (дальнейшее обсуждение этого вопроса будет проводиться в Главе 8). Использование таких разрывов в конструкции рещений автомодельных задач выясняет, достаточен ли этот набор, чтобы можно было получить решение при любых начально-граничных данных и, в то же время, все ли указанные ударные волны необходимы в решении задач, или без некоторых можно обойтись. Для этой цели наилучшим образом служит задача,которая является аналогом задачи о поршне в газовой динамике. [c.240]

Принцип неубывания эн- Так к к во всех процессах в изолирован-тропии для изолированных ной системе энтропия может только воз-систем и условие равно- растать, то очевидно, что состояния, в [c.245]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...