Некоторые задачи аналитической геометрии

ГЛАВА 6. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ [c.30]

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В КООРДИНАТАХ [c.34]

Пьер Ферма родился в 1608 г. близ Тулузы, умер в том же городе в 1665 г. Был судьей и вел обширную переписку с великими учеными своего времени. Известен открытиями в. теории чисел, был предшественником творцов аналитической геометрии и анализа бесконечных малых, некоторые способы которых он применял к задачам геометрии и физики. Полное собрание его сочинений издано в недавнее время (Париж, 1891—1922) в пяти томах. [c.417]

Для того чтобы решить эту задачу, надо воспользоваться новой математикой, в первую очередь аналитической геометрией Декарта. Первым применил этот метод к геометрической оптике Малюс. Однако метод Гамильтона имеет более общий характер. Вводя одну функцию, которая полностью характеризует оптическую систему, Гамильтон указывает Функция, которую я. .. полагаю в основу своего метода дедукции в математической оптике, представлялась прежним авторам в другой связи выражением результата весьма высокой и обширной индукции она называется законом наименьшего действия, а иногда принципом наименьшего времени и заключает в себе все, что было до сих пор открыто относительно правил, определяющих форму и положение линий, по которым распространяется свет, и изменений направления этих линий, вызываемых отражением или преломлением, обычным или необычным. Некоторое количество, являющееся в одной теории действием, а в другой — временем, затрачиваемое при переходе от любой одной точки к любой другой, оказывается меньшим, если свет идет своим фактическим путем, а не каким-нибудь иным, или же, по крайней мере, имеет то, что на языке специалистов называется вариацией, равной нулю ). [c.810]

Особое место занимают приспособления четвертого вида. Они предназначены для решения некоторых частных графических задач методами аналитической геометрии, т. е. с применением метода координат. Получение отдельных точек при помощи этих приспособлений можно представить как результат совместного решения нескольких уравнений линий, дающих в пересечении эти точки. [c.252]

Заметим, кстати, что Ассур виртуозно владел техникой графических построений. Склонность к графическим методам решений проявляется буквально во всех его работах. Один из учеников Ассура профессор А. П. Иванов вспоминает, что тот приходил в аудиторию с целой коллекцией цветных мелков, и под его рукой на доске возникали сложные геометрические построения. Склонность к геометрическим решениям, по-видимому, иногда мешала Ассуру найти аналитическое решение задачи, которое в некоторых случаях могло оказаться более легким. Среди математиков встречаются аналитики и геометры — Ассур несомненно относился к последним. В этом была сильная сторона его творчества, но здесь же был и источник его слабостей. [c.57]

С математической точки зрения задачи нестационарной теплопроводности и термопластичности относятся к классу краевых задач. Их аналитические решения получены лишь дня некоторых элементов конструкций (оболочек, пластин, стержней). При решении этих задач для элементов со сложной геометрией необходимо привлекать численные методы, ориентированные на использование ЭВМ. [c.15]

Таким образом, потребности развивающейся новой техники поставили уже в 40-х годах нашего столетия задачу об эффективных способах нахождения решений систем нелинейных уравнений с частными производными с учетом реальных свойств веществ и геометрии проектируемых изделий. Известные ранее аналитические методы решения отдельных типов линейных уравнений (создание их связано с именами Фурье, Адама ра, Римана, Лежандра и других известных математиков) и некоторых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (Пуанкаре, Ляпунов и другие) не могли дать решения поставленных задач. Численные же методы, которые также успешно при менялись для решения отдельных задач еще в прошлом веке (Гаусс, Леверье и другие), не могли быть эффективно реализованы до появления хороших счетных машин. Конец 40 х годов и все последующие десятилетия проходили под знаменем бурного прогресса средств вычислительной техники. Первое время рост возможностей электронно-вычислительных машин, в первую очередь их быстродействия и памяти, выдвинул тезис о том, что с помощью достаточно мощных ЭВМ, с использованием сугубо численных методов (прежде всего разностных методов и методов прямого статистического моделирования) можно эффективно получить решение практически всех возникающих в приложениях задач без детального, аккуратного в математическом смысле исследования свойств применяемых математических моделей. [c.13]

В 1994 г. был существенно расширен класс геометрий сжимаемых объемов газа [5-1]. С помощью сочетания точных аналитических методов и прецизионных численных расчетов были построены для некоторых геометрий конусов законы управления неограниченным безударным сжатием тел вращения, состоящих из двух конусов, найдены точно степени кумуляции газодинамических величин. Кроме этого для плоских и осесимметричных задач были проведены оценки предельных степеней кумуляции энергии при безударном сжатии газа [6 . [c.482]

В тридцать втором издании сделана попытка, не выходя за рамки теоретической механики, отразить в какой-то степени новые проблемы техники и более полно охватить те вопросы классической механики, которые не нашли до сих пор достаточного освещения. В связи с этим в Сборник введены новые разделы, содержащие задачи по пространственной ориентации, динамике космического полета, нелинейным колебаниям, геометрии масс, аналитической механике. Одновременно существенно дополнены новыми задачами разделы кинематики точки, кинематики относительного дзихсения и плоского движения твердого тела, динамики материальной точки и системы, динамики точки и системы переменной массы, устойчивости движения. Небольшое количество новых задач введено также почти во все другие разделы Сборника некоторые задачи исключены из него. Сделаны также небольшие перестановки в размещении материала. В конце Сборника в качестве добавления приведена Международная система единиц (СИ). [c.8]

В ГОДЫ войны, а затем и в послевоенные годы дальнейшее развитие получили методы кинематического анализа механизмов. Если до сороковых годов в основе этих методов лежали графические и графоаналитические приемы, требовавшие для своего развития аппарата кинематической и проективной геометрии, а аналитические методы хдсследования применялись лишь в редких случаях и для весьма ограниченного числа задач, то с сороковых годов быстро растет роль аналитического аппарата. К решению задач кинематики механизмов, кроме теории функций комплексного переменного, стали применять векторное, тензорное и винтовое исчисление, методы теории матриц, а также иные разделы современной математики. Некоторые задачи, уже решенные при помощи старых методов, были решены вновь, в порядке поисков оптимальных решений. [c.370]

Аналитическое доказательство закона площадей. Хотя доказательство 46 было проведено геометрически, однако там мы основывались по существу на эл ментах методов диференциального и интегрального исчислений. Мы увидим в дальнейшем, что методы исследования всех проблем небесной I механики по существу суть методы анализа, / даже если мы пользуемся языком геометрии. Начинающему обычно легче понять и проследить доказательство, если оно дано в геометриче-Ч ской форме, но геометрические рассуждения не I имеют общности и содержат многие, часто неприятные трудности. С другой стороны, развитие анализа в точности соответствует его применению к решению этих проблем, и после того, как его основы усвэены, это применение характеризуется сравнительной простотой и большой общностью. Некоторые задачи будут решены обоими методами, чтобы показать их тождество и иллюстрировать преимущества аналитического метода. [c.74]

В курсе аналитической геометрии доказывается, что всякое уравнение второго порядка есть уравнение либо эллипса, либо гипфболы, либо параболы, либо пары прямых (пересекающихся, параллельных или совпавших). В данном случае мы получили уравнение эллипса с центром в начале координат и полуосями /1 и /2, повфнутыми относительно ксюрдинатных осей на некоторый угол у (рис. 10.19, б). Величины /1 и /2 и значение угла у определены в [1, решение задачи 10.20 ]. [c.46]

Сендецкий [56] решил задачу взаимодействия трещины со многими включениями. Возможность применения этих аналитических решений для описания поведения композитов остается пока невыясненной. При их практическом использовании возникают принципиальные трудности, в основном обусловленные тем, что теперь в области определения исследуемого взаимодействия микротрещины имеют тот же самый порядок, что и характерный размер (диаметр волокна) композитной структуры, и, кроме того, при статически неоднородной упаковке волокон не существует алгоритма для применения решения с идеализированной геометрией. В третьем случае, когда трещина находится на границе раздела волокно — матрица, характер разрушения склеенных тел, состоящих из двух различных материалов, изучен еще менее. Для определения распределения напряжений и деформаций в неоднородных унругих телах проведены многочисленные теоретические исследования, некоторые из них приведены в работах [17, 57]. [c.256]

В некоторых упрощенных гипотетических задачах оказывается возможным для заданного движения трещины найти аналитическое решение, определяющее динамические коэффициенты интенсивности напряжений. Подобные аналитические решения также попадают в категорию модельного генерирования характеристик. Однако аналитические методы ограничены изучением бесконечных или полубесконечных тел. Несмотря на то что влияние конечных размеров тела на коэффициенты интенсивности напряжений хорошо изучено в статических задачах разрушения, дело обстоит по-иному в динамике разрушения, во всяком случае так было до недавнего времени. В [49] было получено полезное по-луаналитическое (приближенное) решение, определяющее динамический коэффициент интенсивности напряжений центральной трещины, развивающейся в пластине конечных размеров. Для проверки справедливости этого полуаналитического решения было проведено численное исследование. Геометрия образца представлена на рис. 11. Трещина стартует при начальной длине Qq = 0.1W и развивается с постоянной скоростью. Приложенная нагрузка о от времени не зависит. Полуаналитическое решение этой задачи [49] определяется уравнениями [c.305]

Исследование конвективных движений с конечной амплитудой, когда линеаризо ванные уравнения конвекции не работают, представляет большие трудности как для численных (особенно при больших надкритичностях течения), так и для аналитиче ских методов. Наиболее широко применяются в настоящее время численные методы, которые при не очень больших надкритичностях позволяют достаточно эффективно построить поле течения для широкого класса двумерных задач. Получение надежных результатов для пространственных задач численными методами пока еще весьма трудоемко и встречает ряд затруднений особенно при сложных геометриях течений. Поэтому применение аналитических методов для выявления некоторых качественных и количественных эффектов для пространственных задач представляет большой интерес. [c.371]

Первые примеры такого применения дал сам Лейбниц (около 1690 г.), стремясь получить своими средствами некоторые результаты Ньютона по небесной механике, изложенные в III книге Начал . Систематически занимался, так сказать, переводом механики на язык лейбницевых дифференциалов Вариньон (около 1700 г.), состоявший в переписке с Лейбницем, значителен вклад в это дело Я. и И. Бернулли. Но только Эйлер поставил со всей определенностью задачу преобразования всей механики путем перевода ее с язы-ка синтетической геометрии на язык быстро развивавшегося математического анализа в форме, приданной последнему Лейбницем. Для механики материальной точки это выполнено в труде Механика или наука о движении, изложенная аналитически [c.145]

Если могут быть споры о самостоятельной роли геометрии при решении недоступных до сих пор задач динамики, то ее высокое значение в преподавании механики не подлежит сомнению. Ум изучаюп(их весьма склонен к формальному пониманию. Я из своего педагогического опыта знаю, как часто запоминаются формулы без понимания стояш их за ними образов. В этом отношении геометрическое толкование, предпочтение геометрического доказательства аналитическому всегда приносит пользу. Если формулы и подстановки некоторыми из изучающих легко запоминаются, то так же скоро они исчезают бесследно из памяти но раз усвоенные геометрические образы, рисуюпще картину рассматриваемого явления, надолго западают в голову и живут в воображении изучающего . [c.28]

В книге излагается теория переноса монохроматического излучения, изотропного и анизотропного (глава 2), и излз ения в спектральной линии с полным или частичным перераспределением по частоте (глава 4). Геометрия рассеивающих сред предполагается плоской. Рассматриваются бесконечная и полубесконечная среды, а также плоский конечный слой. Подробно излагается аналитическая теория, в том числе точные, асимптотические и приближенные методы решения модельных задач. В отдельную главу 3 выделен резольвентный метод, позволяющий найти точные выражения для основных функций, характеризующих поля излучения, и асимптотики этих функций. Дается представление о некоторых распространенных численных методах, В последней главе 5 рассматриваются задачи об определении интегральных характеристик полей излучения, таких как среднее число рассеяний, о рассеянии в молекулярных полосах, с частичным перераспределением по частоте, а также с учетом поляризации и движения рассеивающей среды. [c.9]

Значительное развитие получило исследование кинематики пространственных механизмов при помощи разработанного А. П. Котельниковым винтового исчисления и при помощи методов комплексной алгебры винтов, изложенных в работе Д. Н. Зейлигера Комплексная линейчатая геометрия (1934). Методы эти весьма подробно изложены также в монографии Ф. М. Диментберга (1965). Применение их к анализу пространственных механизмов осуществлено Ф. М. Диментбергом и С. Г. Кислицыным (1960). С. Г. Кислицын (1954) применил к решению задач пространственной кинематики тензорное исчисление. Ю. Ф. Морошкин (1954) предложил общий метод решения задач пространственных механизмов. Н. Н. Дижечко и С. Г. Кислицын рассмотрели некоторые аналитические методы анализа и синтеза сложных пространственных механизмов (1965). [c.370]

И, наконец, последнее, что следует отметить в заключение. При изложении методов построения параметризации вскщу предполагалось, что введенные в рассмотрение функции, описывающие поверхность в и контурные линии области Q, являются заданными в виде некоторых аналитических выражений. Вместе с тем на практике информация о геометрии оболочки зачастую может быть задана лишь значениями указанных функций в некоторых дискретных точках. В связи с этим при решении конкретных задач механики оболочек требуется решение дополнительной задачи,связанной с аппроксимацией дискретно заданных псверхностей и линий с привлечением методов вычислительной геометрии. [c.157]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...