Гармонические колебания стержня

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ [c.247]

Вычисление амплитуд гармонических колебаний стержня с демпфером обычно довольно затруднительно. Расчет значительно упрощается в случае деформируемого стержня, когда постоянная распространения волн Y и волновое сопротивление выражаются несложными функциями. Постоянная распространения волн будет [c.249]

Уравнения, к которым сводится задача о вынужденных гармонических колебаниях стержня, записывается в единой операторной форме [c.533]

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ [c.100]

Если а очень мало, то массой стержня можно пренебречь и в качестве оценки принять, что продолжительность удара будет равна половине периода простых гармонических колебаний стержня с прикрепленной на его конце массой ударяющего тела. Чтобы показать это, надо только вспомнить, что коэффициент упругости в продольном направлении сплошного стержня определяется соотношением [c.525]

Улитка Паскаля. Положим f(t) = с + а os fit. Уравнение кривой р = с + а os (р. Равномерно вращательное движение эксцентрика преобразуется в гармонические колебания стержня. [c.25]

Г. Я. Леонтьев [1.38] (1960), решая уравнения Тимошенко, исследовал свободные и вынужденные гармонические колебания стержней переменного сечения. Уравнения записаны в виде [c.72]

В данной главе рассматриваются свободные и вынужденные установившиеся гармонические колебания стержневых систем. Как и в статике, точные дифференциальные уравнения гармонических колебаний стержней являются нелинейными. Упрощая задачи динамики, нелинейные уравнения линеаризуют. Точность решений линейных уравнений удовлетворяют требованиям инженерных расчетов при //г > 10, поэтому они используются в инженерной практике. Линейные дифференциальные уравнения содержат частные производные по координате х и времени t. Методом Фурье разделения переменных уравнения с частными производными сводятся к уравнениям с обычными производными, описывающими перемещения стержня в амплитудном состоянии. Принцип Д Аламбера, используемый при выводе дифференциальных уравнений, позволяет рассматривать задачи динамики как задачи статики. Поэтому ниже применены предложенные правила знаков для амплитудных значений граничных параметров и нагрузки в 1.2, 1.4. [c.91]

Стержень вращается вокруг одного конца с угловой скоростью о> в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Показать, что простое гармоническое колебание стержня в установившемся режиме при вращении имеет вид у = Г (г) где Г является решением уравнения [c.194]

Рис. 33.16. Ручной зонд для твердомера по рис. 33.14 (схема). Модель механической колебательной системы. Возбуждение гармонических колебаний стержня. Длина стержня равна одной длине волны Пружина с податливостью с,

Простейшим периодическим решением уравнения (20.125) свободных поперечных колебаний стержня является так называемое главное колебание, в котором функция прогиба колеблющегося стержня изменяется с течением времени по гармоническому закону [c.573]

Вынужденные установившиеся колебания. Рассмотрим точное решение уравнения вынужденных колебаний стержня при установившихся колебаниях на конкретном примере (рис. 7.17). К стержню в сечении К приложен сосредоточенный гармонический момент. Уравнение вынужденных колебаний для стержня постоянного сечения без учета сил сопротивления имеет вид [c.206]

Рассмотрим установившиеся колебания стержня при гармонической силе [c.210]

Суперпозиция части или всех гармонических колебаний, описываемых выражениями (18.16) и (18.17), охватывает все те собственные колебания, которые могут возникнуть в стержне со свободными концами. Кратковременное внешнее воздействие, обладающее очень широким спектром частот, способно возбудить практически все нормальные колебания, свойственные системе. Число этих нормальных колебаний теоретически бесконечно велико (поскольку k может быть любым), но практически оно, конечно, ограничено хотя бы вследствие того, что воздействие имеет конечную продолжительность и поэтому не может возбудить сколь угодно быстрых колебаний. [c.667]

Наблюдая все время какую-либо фиксированную точку стержня, мы обнаружим, что она совершает гармонические колебания. Если же мы будем двигаться вдоль стержня со скоростью V, то вообще не обнаружим никаких колебаний. Все сечения стержня, против которых мы будем находиться в каждый момент, будут в этот момент иметь одно и то же смещение. [c.678]

Мы предполагали, что скорость распространения бегущей волны совпадает со скоростью распространения отдельного импульса. Основанием для этого предположения служило то обстоятельство, что в рассматриваемых простейших случаях продольных колебаний стержня и колебаний струны скорость распространения импульса не зависит от формы и характера и.мпульса и для импульсов любого типа оказывается одной и той же. Поэтому мы могли считать, что скорость распространения бегущей волны, которая представляет собой од у из разновидностей импульса, совпадает со скоростью импульса. Однако это справедливо не всегда. В некоторых случаях скорость распространения бегущей волны не совпадает со скоростью импульса. Поэтому, вообще говоря, следует различать скорость распространения импульса и скорость распространения гармонической волны. Эту последнюю называют фазовой скоростью, с этой скоростью движется фаза распространяющегося колебания. [c.682]

Вся эта картина характерна именно для явления резонанса, который должен наступать всякий раз, когда частота гармонической внешней силы совпадает с одной из нормальных частот колебательной системы. И действительно, сопоставив, с одной стороны, условия, определяющие частоты внешней силы, при которых амплитуды стоячих волн в стержне достигают максимального значения, а с другой — условия, определяющие частоты нормальных колебаний стержня ( 149), мы позднее убедимся, что те и другие условия совпадают. [c.688]

Итак, мы убедились, что возникновение в стержне под действием гармонической внешней силы стоячих волн значительной амплитуды представляет собой явление резонанса внешняя сила поддерживает сильные вынужденные колебания, частота и распределение амплитуд которых очень близки к частоте и распределению амплитуд одного из нормальных колебаний стержня. Роль внешней силы сводится при этом лишь к компенсации потерь энергии в стержне. Представим себе, что после установления стоячей волны потери энергии в стержне начинают уменьшаться, но вместе с тем мы уменьшаем амплитуду внешней силы (или заданного движения) так, чтобы амплитуда стоячей волны оставалась неизменной. В пределе, когда потери энергии в системе совсем прекратятся и амплитуда внешней силы обратится в нуль, в стержне останется стоячая волна, совершенно идентичная с соответствующим нормальным колебанием стержня. Таким образом, свойственные сплошной системе без потерь нормальные колебания тождественны со стоячими волнами, которые могут возникать в этой системе. [c.692]

Предположим, что конец стержня совершает гармонические колебания Uq (t)=A ( os [c.51]

В этой главе рассмотрим установившиеся колебания стержня, возбуждаемые гармонически изменяющейся силой, действующей на одном его конце. Предположим, что переходные процессы, зависящие от возбуждающей силы, от начальной деформации и начальной скорости стержня в различных его точках, в начале данного исследования практически исчезли. Пусть стержень состоит из элементов, изображенных на фиг. 97, б. Поэтому в дальнейшем будем основываться на уравнении (5. 13). Если возбуждающая сила меняется гармонически, то и перемещение 1 х, t) будет гармоническим. Вследствие этого предполагаем, что Цх, t) = Y где Y(х) комплексная функция аргумента х, которую в дальнейшем будем сокращенно обозначать как y=Y x). Подставив это значение в уравнение (5. 13) вместо (х, /), получим после преобразования [c.247]

Это уравнение является основным уравнением колебаний стержня, диаметр которого увеличивается -по закону показательной функции по мере удаления от начала. Мы решим его для случая, когда в начале стержня х = 0 действует гармонически изменяю- [c.254]

Для реализации гармонических колебаний по винтовой траектории чаша I (рис. 9, а) и реактивный элемент 2 соединены упругой системой 5, выполненной в виде плоских или цилиндрических стержней. Направление колебаний в резонансных конструкциях определяется динамическими параметрами упругой системы и не зависит от направления вынуждающей силы. К элементам системы могут быть приложены вынуждающие силы Р в осевом направлении, возбуждаемые центральным вибровозбудителем, или вынуждающие моменты М, возбуждаемые несколькими вибровозбудителями. [c.321]

Метод решения задачи о вынужденных гармонических колебаниях стержневой системы под действием распределенных и сосредоточенных нагрузок основывается на использовании спектральных свойств (форм и частот свободных колебаний) отдельных стержней. [c.532]

При гармонических колебаниях системы каждый ее элемент (стержень) совершает колебания с той же частотой и неизвестными амплитудами Zi перемещений и поворотов крайних сечений. Для составления уравнений динамического равновесия системы вначале изучают реакции стержня на гармонические перемещения и повороты его крайних сечений с амплитудами, равными единице, и выводят специальные функции для вычисления его амплитудных жесткостей. [c.102]

В решении по МКЗ задач устойчивости и расчета стержневых систем по деформированной схеме для вычисления жесткостей стержней с учетом продольно-поперечного изгиба часто используют приближенные формулы [5], приведенные в табл. 8.14.2. Аналогично в расчетах стержневых систем на гармонические колебания применяют приближенные вьфажения, приведенные в табл. 8.14.3. [c.109]

В этом случае продольные колебания стержня складываются из апериодических движений и конечного числа затухающих гармонических колебаний. При этом отдельные гармоники (вследствие наличия множителя А ) затухают неравномерно, именно чем выше гармоника, тем быстрее она затухает. Можно считать, что по истечении некоторого времени стержень будет колебаться в основном тоне (или совершать основное апериодическое движение, если [c.301]

Особенностями этого свободного движения, как видно из (7.2), являются следующие 1) каждая точка совершает гармоническое колебание 2) амплитуда колебаний точки зависит от ее положения (от значения j ), но не от времени 3) колебания всех точек совершаются с одной и той же частотой и в одной и той же фазе, т. е. они си1 -хронны и синфазны 4) перемещение является непрерывной функцией координаты J , так что сплошность материала стержня не нарушается. [c.291]

Нужно только не забывать, что уравнение (48) выведено в предположении, что при колебаниях стержня его сечения поворачиваются как целое, не искажаясь. В крутильных концентраторах это условие может нарушаться, так как могут возникнуть колебания сложной формы, для которых уравнение (48) неприменимо. Как следует из изложенного в гл. 1, даже для однородного стержня волновое уравнение для гармонических волн в случае искажения сечений будет суш ественно сложнее, чем уравнение (48) [см. выражение (16)]. Однако при практических расчетах все же можно применять уравнение (48), имея в виду, что в выполненном в материале концентраторе при его возбуждении принципиально можно ожидать возникновения сложных крутильных колебаний (типа колебаний с узловыми цилиндрами). [c.307]

Вынужденные колебания, вызванные кинематическим возбуждением. На рис. 7.21,а в качестве примера колебаний с кинематическим возбуждением показан стержень, сечение которого при е=е имеет заданное гармоническое перемещение. Если мысленно отбросить устройство, через которое осуществляется принудительное перемещение сечения К, то на отерн ень при колебаниях действует некоторая неизвестная сила P i) (рис. 7.21,6). В результате имеем задачу о вынун денных колебаниях стержня, нагруженного сосредоточенной периодической силой. Аналогичная задача, только при действии сосредоточенного момента Т (т), была рассмотрена ранее. [c.211]

ИСКЛЮЧИТЬ эти более сложные диижения, достаточно, просверлив но диаметрам шаров каналы, соединить их жестким стержнем, вдоль которого шары могут скользить без трения (рис. 421). Такая система о 1личается от рассмотренных в 96 гантелей только тем, что расстояние между шарами гантели может уменьшаться и увеличиваться. Так как ири этом между шарами возникают упругие силы, то эту систему можно назвать упругой гантелью. В упругой гантели возможен только один тип движений, при котором соблюдаются законы сохранения как имиульса, так и момента импульса, — это колебания шаров вдоль стержня с равными по величине и иротивоиоложными по направлению скоростями, при которых центр тяжести О двух шаров остается в покое, или, иначе говоря, противофазные колебания. Поскольку оба шара колеблются так, что остаются на одинаковом расстоянии от точки О, то положение шаров однозначно определяется заданием только одной величины — расстояния обоих шаров от точки О. Таким образом, упругая гантель, до тех нор пока она является замкнутой системой, ведет себя как колебательная система с одной степенью свободы в том смысле, что в упругой гантели может происходить только одно гармоническое колебание —противофазное (в системе с двумя степенями свободы, как мы видели в 145, могут происходить два тина гармонических колебаний —синфазные и противофазные). [c.644]

При рассмотрении колебаний отдельного прямолинейного стержня постоянного сечения введем прямоугольную систему координат osyz с началом О на левом конце стержня. Ось Os направим вдоль стержня, ось Оу — по вертикали, ось Ог — по горизонтали О <5 [c.533]

Вынужденные продольные колебания стержня. Для наглядности рассмотрим вначале стержень постоянного поперечного сечения. Пусть один конец стержня закреплен неподвижно, ко второму приложена внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой р, Отнеся внешнюю силу к граничному условию, решение получим без разложения в ряд по формам свободньк колебаний. Полагая и х, f)=ц>(x) P , будем иметь [c.338]

Минимальные собственные частоты колебаний стержня обычно связаны с его деформациями изгиба. Максимальные перемещения и деформации при гармонической внешней нагрузке часто возникают при поперечных колебаниях стержня. Дифференциальное уравнение поперечных колебаний стержня переменной жесткости EJ(x) и распредеяенной массы т х) без учета сдвигов поперечных сечений имеет вид (рис. 8,13.5) [c.100]

Задача о распространении гармонических волн в бесконечном упругом круговом цилиндре представляла значительный интерес при построении приближенных одномерных теорий колебаний стержней. В работах Похгаммера (1876) и Кри (1886) общие уравнения упругости применялись для изучения процесса распространения гармонических продольных, изгибных и крутильных волн в бесконечном цилиндре кругового сечения со свободной от нагрузок боковой поверхностью. Аналогичная задача для бесконечного слоя рассмотрена Рэлеем (1889) и Лэмбом (1891, 1917). [c.12]

Филлипс занимался так ке и вынужденными продольными и поперечными колебаниями стержней и дал решения таких задач ), как, например, задача о продольных колебаниях стержня, один конец которого подвергается действию периодическо11 силы ). Исследуя поперечные колебания, Филлипс остановился на определении напряжений в паровозном шатуне, все точки оси которого описывают окружность одного и того же радиуса. Он рассмотрел также и колебания струны, один конец которой закреплен, другой же присоединен к камертону, совершающему гармонические колебания. Развитые Филлипсом методы исследования поперечных колебаний стержней были использованы впоследствии Сен-Венапом при обсуждении частных случаев поперечных колебаний в Ilj)n-ложении 61 к его переводу книги Клебша (см. стр. 292). [c.296]

Использование поперечных колебаний стержней в музыке ограничено тем, что обертоны не образуют гармонического ряда по отношению к основному тону. При ударе мягким молотком по свободному плоскому стержню, подпертому в узлах основного колебания (см. рис. 45), образование обертонов до известной степени уменьшено по этому принципу был построен ряд музыкальных инструментов (например, glass harmoni a , стеклянный гармониум). [c.172]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...