Матрица напряжений — деформаций

Заметим, что изменение знака приращений отдельных компонент тензоров деформаций и напряжений (и даже знака самих компонент) при непрерывном возрастании нагрузки является характерным для многих случаев. При изменении матрицы-столбца средних напряжений а у в соответствии с правилами простого нагружения, когда ее компоненты изменяются пропорционально некоторому параметру, монослои, составляющие композит, могут находиться в условиях сложного нагружения. Соотношения компонент матриц напряжений н деформаций монослоев е]2 < > при этом могут изменяться [c.67]

Вводя, как и прежде, матрицы напряжений и деформаций [c.33]

Кроме того, закон Гука позволяет прийти к такому выводу. Утверждение 8.11. Для изотропных материалов главные оси матриц напряжений и деформаций совпадают. [c.317]

Как видно из полученных соотношений (1.12) и (1.17), матрица [D] зависит от достигнутого уровня напряжений и деформаций [D]= [D( F)]=[ )( а , е )], что ведет к нелинейной связи напряжений и деформаций в пластической области. Для раскрытия нелинейности воспользуемся итерационным методом переменных параметров упругости [9] в варианте, предложенном в работах [136, 138]. На п-й итерации новое приближение функции F вычисляется следующим образом [c.20]

Матрицы pq и pq взаимосвязаны, поскольку связывают одни и те же величины — компоненты тензора напряжений и деформаций. Это позволяет найти связь между pq и Spq. [c.197]

Здесь О/ — напряжение в волокне, [c.696]

При расчете упругих характеристик волокнистых композиционных материалов выделяется типичный объем. Он состоит из заданного числа волокон, распределенных в матрице (с указанием расстояний и угловых смещений) так, чтобы упаковка армирующих волокон по всему объему материала была идентичной их размещению в типичном объеме. Если определено напряженно-деформированное состояние во всех компонентах, входящих в типичный объем, то эффективными или приведенными упругими характеристиками композиционного материала являются коэффициенты, связывающие усредненные по типичному объему компоненты напряжений и деформаций. В матричной форме эта связь представляется в виде [c.53]

Матрицы жесткости В< и податливости аы ) характеризуют упругие свойства материала в целом. Упругие свойства компонентов материала (волокна и матрицы), а также напряжения и деформации в каждом компоненте отличаются от их средних значений по типичному объему (Ви), (а ), (О ), /еЛ соответственно на величины б -, [c.53]

Вследствие симметричности матрицы сдвиговые деформации в поперечном к плоскости 2 3 направлении зависят от нормальных напряжений в этой плоскости. Взаимное влияние касательных напряжений и сдвиговых деформаций происходит также при возникновении их в плоскости основания тетраэдра и одной из ортогональных к ней плоскостей. Взаимовлияния сдвиговых характеристик, относящихся к двум поперечным к основанию тетраэдра плоскостям, не происходит, так как = О. Таким образом, плоскость 2 3, ортогональная одному из направлений волокон, не обладает свойством упругой симметрии. Известно, что при наличии плоскости упругой симметрии поворот осей в ней не обнаруживает влияния поперечных касательных напряжений на деформации в этой плоскости, хотя имеется взаимное влияние сдвиговых характеристик в двух поперечных к к ней плоскостях. [c.193]

СВЯЗИ частицы с матрицей критериальная линия смещается к началу координат. Для идеализированной структуры с высокой прочностью связи частиц с матрицей и однородным распределением частиц по размерам линия зарождения пор смещается от начала координат, поскольку зарождение пор в такой структуре требует высоких напряжений и деформаций. В материалах с высоким содержанием частиц деформация зарождения может составлять большую часть общей деформации. В этом случае зарождение должно носить кумулятивный характер, заключающийся в мгновенном отделении частиц от матрицы, причем этот процесс должен распространяться на частицы всех размеров. [c.197]

Будем считать, что изображенная на рис. 1,а призма состоит из локально однородного анизотропного материала, характеризующегося локальными коэффициентами жесткости Сц. В том случае, когда рассматривается композит, например армированная волокнами матрица, сами ij, по крайней мере в первом приближении, представляют собой эффективные модули, устанавливающие связь между усредненными по объему матрицы и включений значениями компонент тензоров напряжений и деформаций ). Локальные значения Сц в этом случае можно найти при помощи микромеханического исследования, как будет показано в гл. 3 и 6. [c.41]

Приведенные кривые модулей релаксации и зависимости напряжений от деформаций при постоянной скорости деформирования были получены для растяжения, сжатия и изгиба образцов из эпоксидной смолы на рис. 2 соответствующие сжатию кривые построены по данным работы [69]. Впоследствии те же авторы [70] построили приведенные кривые для композитов с матрицей из эпоксидной смолы и включениями в виде стеклянных шариков, или параллельных стеклянных волокон, или пузырьков воздуха (пенопласт) при всех указанных выше видах нагружения. [c.118]

Одно из наиболее ранних применений такой методологии было осуществлено Доу и Розеном [8], которые считали материал матрицы упруго-идеально-пластическим, а волокна упругими. Более совершенная схема позже была опубликована Шу и Розеном [35], хотя они предпочли использовать предположение об абсолютной жесткости волокон, а не об их упругости. Так как принимаемые граничные условия определяются средними значениями в большей мере, чем локальными, такие исследования обычно используются для грубой оценки свойств композита в целом, но не для оценки локальных значений напряжений и деформаций. В этом случае соответствующие теории нельзя применить к микромеханическому анализу, поскольку они не описывают локального поведения. [c.211]

Когда однонаправленный композит нагружается поперек волокон, возникает критическая ситуация. При этом жесткость достигает минимума и критерий прочности определяется величиной напряжений и деформаций в матрице. Относящиеся к этому случаю микромеханические исследования большей частью носят аналитический характер [9]. В некоторых исследованиях рассматриваются средние (макроскопические) механические характеристики и даются выражения для модулей в поперечном направлении и коэффициентов теплового расширения композита. Некоторые из этих работ основаны на энергетических [c.493]

Соотношение между G п К подчиняется уравнению (4), если направление распространения трещины не изменяется. Для более сложных полей напряжений и деформаций, присущих анизотропным материалам, уравнение (4) не может быть сведено к д=К 1Е и должно быть записано в виде G= K , где С —функция скалярных величин матрицы податливости 36]. [c.276]

Эти требования могут быть ослаблены при использовании более совершенных методов, в частности метода конечных элементов. Наличие пор может быть учтено в уравнениях методом сопротивления материалов путем снижения в среднем жесткости матрицы, а также путем учета концентрации напряжений или деформаций в элементе матрицы между порами [28— 30]. Это эквивалентно предположению, что на месте волокон (см. рис. 29) расположены поры [6]. [c.140]

Для понимания условий зарождения разрушения в материалах, армированных волокнами, оказывается крайне полезным иметь хотя бы качественное представление о распределениях напряжений и деформаций, возникающих под действием внешней приложенной нагрузки в структуре из близко расположенных параллельных волокон, погруженных в матрицу. Хотя волокна и матрица сами по себе могут рассматриваться как упругие изотропные и однородные тела, их модули Юнга, коэффициенты Пуассона и коэффициенты термического расширения весьма различны, поэтому, когда композит в целом подвергается изменению температуры или простому одноосному нагружению, в силу условий неразрывности на микроуровне возникают сложные напряженное и деформированное состояния. Исследователи, изучавшие композиты, давно это учитывали, однако уточненные решения были получены численными методами лишь после появления мощных вычислительных машин (например, [16]). [c.335]

Далее для оценки распределения напряжений в волокне и матрице слоя применяется метод конечных элементов. Поскольку рассматривается только нагружение в плоскости слоистого композита с симметричной относительно срединной плоскости структурой, осредненные напряжения и деформации в любом слое постоянны по толщине слоя. Поэтому достаточно решить задачу о распределении напряжений в компонентах слоя для одного повторяющегося сегмента, не принимая во внимание его расположение в слое. Для определения критического элемента, в котором будет достигнут предел текучести, можно применить любой однородный изотропный критерий пластичности (например, основанный на гипотезе об энергии формоизменения). Приложенные нагрузки затем пересчитываются в точке зарождения течения критического элемента. Когда точка начала течения зафиксирована, можно переходить в диапазон нелинейного нагружения. [c.277]

Аналогичный изложенному выше подход был применен П. Ф. Томасоном [170]. Он рассматривал сетку квадратных пор в жесткопластической матрице при плоской деформации. Установлено, что растяжение приводит к вытягиванию пор и к сближению их центров. В конце концов поры располагаются так близко друг к другу, что возможно образование внутренних локальных шеек. Принимается, что слияние пор происходит, когда напряжение во внутренней перемычке достигает некоторого критического значения <3п- Аналогичным образом Томасоном рассмотрен случай роста эллиптических пор в жесткопластичном теле [427]. [c.115]

Формула (8.86) носит общий характер, хотя и получена на примере плоской задачи. Чтобы ею воспользоваться, необходимо построить только две матрицы, а именно матрицу закона Гука D, связывающую напряжения и деформации (или усилия и деформации), и матрицу В, которая позволяет перейти от перемещений к деформациям в элементе. Это иллюстируется далее на примере задачи изгиба пластины. [c.266]

По аналогии с точечными, линейными и поверхностными дефектами можно наметить группу объемных дефектов. Объемные дефекты согласно классификации не являются малыми во всех трех измерениях. К ним можно отнести скопления точечных дефектов типа пор, а также системы дислокаций, распределенных в объеме кристалла. Другими словами, благодаря наличию в кристалле точечных, линейных и плоских дефектов кристаллическая решетка может отклоняться от идеальной структуры в больших объемах кристалла. Кроме того, к объемным дефектам, например в монокристалле, можно отнести кристаллики с иной структурой или ориентацией решетки. В структуре кристалла будут значительные различия между центром дефекта и матрицей, а в матрице возникнут смещения атомов, убывающие с удалением от ядра дефекта. Таким образом, наличие фаз, дисперсных выделений, различных включений, в том числе неметаллических, неравномерность распределения напряжений и деформаций в макрообъемах также относятся к объемным дефектам. [c.42]

Феноменологическое исследование механических свойств композиционных материалов может быть проведено двумя путями. Первый основан на рассмотрении армирующего материала как конструкции и учитывает реальную структуру композиции. В этом случае задача состоит в установлении зависимостей между усредненными напряжениями и деформациями. Второй путь основан на рассмотрении армированных материалов как квазноднородных сред и использовании традиционных для механики твердых деформируемых тел средств и методов их описания. Краткая схема аналитического расчета упругих констант композиционного материала методом разложения тензоров жесткости и податливости в ряд по объемным коэффициентам армирования приведена в монографии [60, 83]. Установлено, что при малом содержании арматуры можно ограничиться решением задачи для отдельного волокна, находящегося в бесконечной по объему матрице. Однако такой подход заведомо приводит к грубым погрешностям при расчете упругих характеристик пространственно армированных материалов, объем которых заполнен арматурой на 40—70 %. К тому же следует учесть, что пространственное расположение волокон в этих материалах приводит к росту трудностей при решении задачи теории упругости по определению напряженно-деформированного состояния в многосвязанной области матрица—волокно. Коэффициент армирования при этом входит в расчетные выражения нелинейно, что приводит к очередным трудностям реализации метода разложения упругих констант материала по концентрациям его компонентов. [c.55]

Существенным моментом модели Броека является то, что разрушение слиянием пор требует как высоких напряжений, так и больших деформаций. Для зарождения пор и их роста одного наличия дислокационных петель вокруг частиц недостаточно. Необходимы достаточно высокие сдвиговые напряжения, которые будут способны вытолкнуть эти дислокационные петли на границу частица — матрица. Высокие значения сдвиговых напряжений могут быть получены с помощью дислокаций. Следовательно, критерий разрушения слиянием пор должен включать как высокие напряжения шие деформации. [c.195]

Рассматриваемый здесь подход к вычислению эффективных модулей композиционных материалов основан на понятии представительного элемента объема, т. е. такого элемента, в котором все усредненные по объему компоненты тензоров напряжений и деформаций равны соответствующим величинам, вычисленным для композита в целом. Из-за математических трудностей решение задачи в микромеханической постановке обычно доводится до конца только для сравнительно простых композитов, например для бесконечной упругой матрицы, армированной одинаковыми параллельными упругими волокнами, образующими двоякопериодическую систему. Исключением из этого общего правила является работа Сендецки [17], в которой решена задача о продольном сдвиге матрицы, армированной произвольно расположенными волокнами произвольного диаметра. Поскольку приведенное выше математическое определение эффективных модулей отличается от физического определения, основанного на экспериментально наблюдаемых усредненных по поверхности значениях компонент тензоров напряжений и деформаций, важно понимать, что между этими двумя определениями существует связь, устанавливаемая в результате микро-.адеханического исследования (см. разд. V). [c.15]

Другим проявлением микроструктурных повреждений, в частности для композитов на основе каучука с большой объемной долей жестких включений, является дилатация (см., например, Феррис [24, 25] и Оберз [75]). Типичное поведение твердого топлива при осевом нагружении о и гидростатическом давлении показано на рис. 18 дилатация, напряжение и деформация возрастают от начала отсчета, соответствующего гидростатическому давлению. За исключением очень малой части дилатации (эта часть равна ст/(3/С), где /С — эффективный модуль всестороннего расширения в неповрежденном композите), указанное явление обусловлено отделением матрицы от включений и наличием пустот внутри матрицы, [c.185]

Рис. 1. Кривая напряжение — деформация в опыте на чистое растяжение материала матрицы напряжения вфунт/дюйм , деформации в % (по Адамсу [2]). Кривая а соответствует алюминиевому сплаву 2024, отожженному в течение 2 ч при 482 °С начальный модуль упругости равен 8,1-10 фунт/дюйм , коэффициент Пуассона равен 0,32. Кривая б соответствует эпоксидной смоле 828/1031 с начальным модулем упругости 0,52 10 фунт/дюйм и коэффициентом Пуассона 0,35.

Для большинства конструкционных материалов, включая те, которые представляют интерес как возможные компоненты композитов (см., например, рис. 1), связь напряжений с деформациями, представленная изображенной на рис. 2 двузвенной ломаной, не является достаточно точной. Это утверждение справедливо, в частности, в случае, когда материал находится в однородном напряженном сосюянии, так что во всей области одновременно достигается предел текучести. Принятая идеализация предсказывает в этом случае неограниченное пластическое течение, т. е. неограниченные деформации при постоянных напряжениях. Однако в том случае, когда нагрузка создает градиенты напряжений внутри материала, области с наибольшими значениями напряжений достигают состояния текучести первыми. Пластическое течение в этих зонах ограничено, поскольку вне их материал остается упругим. Такое явление называется стесненным пластическим течением око характерно для композитов, поскольку из-за различия в жесткостных свойствах матрицы и включений в композите обычно возникают высокие градиенты напряжений. Таким образом, несмотря на то что истинные кривые напряжение — деформация, представленные на рис. 1, лишь грубо аппроксимируются двузвенной ломаной вида. [c.206]

В качестве примера трансверсально изотропной среды специального вида рассмотрим слоистую среду, состоящую из чередующихся плоских параллельных слоев двух однородных изотропных упругих материалов. Упругие постоянные й толщина высокомодульного армирующего материала и низкомодульной матрицы обозначаются через Xt, if, di и V, (Xm, dm соответ ственно (см. рис. 2). Согласно теории эффективных модулей, слоистая среда в целом является трансверсально изотропным материалом с осью в качестве оси симметрии следовательно, связь напряжений с деформациями можно описать уравнениями общего вида (12) — (17). Эффективные упругие модули Qi и т. д. были найдены в работах Ризниченко [57], Постма [56], Уайта и Ангона [79], Рытова [58] и Беренса [14] на основании [c.363]

Если модуль упрочнителя меньше модуля матрицы, то прочная связь между упрочнителем и матрицей может повысить вязкость-разрушения. Мак-Гэрри и Уиллнер [26], а также Салтэн и Мак-Гэрри [46] детально обсудили возможные механизмы, обусловливающие вязкость разрушения пластиков, модифицированных резиной. Сферические частицы резины в полимерной матрице действуют как концентраторы напряжений. При приложении нагрузки к композиту концентрация напряжений у резиновых сфер может вызвать деформацию и пластическое течение матрицы на начальной стадии нагружения аналогично влияли бы сферические полости. С ростом нагрузки резина, прочно связанная с матрицей, начинает деформироваться, что также приводит к стеснению матрицы. Картина локальной деформации усложняется, и частицы резины испытывают состояние трехосного растяжения. В резуль- [c.303]

Сендецкий [56] решил задачу взаимодействия трещины со многими включениями. Возможность применения этих аналитических решений для описания поведения композитов остается пока невыясненной. При их практическом использовании возникают принципиальные трудности, в основном обусловленные тем, что теперь в области определения исследуемого взаимодействия микротрещины имеют тот же самый порядок, что и характерный размер (диаметр волокна) композитной структуры, и, кроме того, при статически неоднородной упаковке волокон не существует алгоритма для применения решения с идеализированной геометрией. В третьем случае, когда трещина находится на границе раздела волокно — матрица, характер разрушения склеенных тел, состоящих из двух различных материалов, изучен еще менее. Для определения распределения напряжений и деформаций в неоднородных унругих телах проведены многочисленные теоретические исследования, некоторые из них приведены в работах [17, 57]. [c.256]

В работе [46] исследовано влияние изменения скорости деформации на вид разрушения образцов, изготовленных из эпоксидной матрицы, в которую вставлены одна или пять нитей бора. Образцы сильно идеализированы по сравнению с действительными композитами, тем не менее они дают некоторую интересную информацию. При низкой скорости растяжения (0,008 мин ) образец с одной нитью не разрушился при уровне напряжений 3020 фунт/дюйм , а нить имела около 12 разрывов по длине. Далее образец разгружался и эксперимент повторялся при скорости растяжения в 100 раз большей (0,8 мин ) вплоть до разрушения. Напряжения и деформации при разрушении составляли 5300 фунт/дюйм и 0,03 соответственно, а число разрывов ндаи оставалось равным 12. Когда такие же, но взятые в исходном состоянии образцы нагружались с высокой скоростью деформации (0,8 мин ), число разрывов нитей было меньше (4 и 7), а как напряжения, так и деформации при разрушении образцов были ниже ( 2500 фунт/дюйм и 0,01 соответственно). Авторы сделали из своих экспериментов заключение, что при высокой скорости деформации неразрушенная нить может быть более вероятным источником катастрофического разрушения композита, чем сущ ествуюш,ие в волокне и матрице треш ины. [c.317]

После описания реакции матрицы на разрушение одной нити в работе [46] изучался многоволокнистый композит с эпоксидной матрицей, содержащей пять параллельных волокон бора. Даже в этом случае объемное содержание волокон очень мало ( 0,1%) и результаты не могут непосредственно быть перенесены на композиты, используемые на практике. Результаты опыта на образцах с пятью нитями при низкой (0,008 мин ) и высокой (0,8 мин ) скоростях деформации показали, что при низкой скорости деформации происходит гораздо большее число разрывов волокна, а напряжения и деформации при разрушении выше, чем при большой скорости, а именно при малой скорости было 5 разрывов на каждое волокно, разрушающее напряжение 2180 фунт/дюйм , деформация 0,075 при высокой скорости — менее чем по одному разрыву на волокно, разрушающее напряжение 1150 фунт/дюйм , а деформация 0,0125. По-видимому, при более низкой скорости нагружение вызывает постепенное перераспределение нагрузки и разрушение нитей происходит в соответствии с их вариацией прочности от точки к точке. При более высокой скорости деформации разрушение одного волокна быстрее распространяется через матрицу и быстрее создает в соседних волокнах разрушающие напряжения. [c.317]

Как только были созданы вычислительные программы для расчета перемещений в характерном элементе системы волокно — матрица, стало доступным рассмотреть широкий класс возможных расположений волокон и свойств компонентов. Можно исследовать частные случаи нагружения параллельно направлению укладки волокон, перпендикулярно этому направлению, случаи сдвига параллельно и перпендикулярно волокнам и с.лучаи температурной усадки. Более общие результаты можно получить при суперпозиции этих простых видов нагружения. Таким образом, возможно определить основные константы композита, распределения напряжений и деформаций в матрице, распределение напряжений около границы раздела волокно — матрица, а также на основе различных критериев можно предсказывать разрушение. Справедливость результатов обычно проверяется точностью предсказания упругих констант однонаправленных композитов. Предсказания прочности знаяительно менее надежны. [c.335]

Расчет напряжений и деформаций в термореологически простой среде при нестационарных температурах рассмотрен в [1] и позже в [11]. Хотя эпоксидные смолы при Т Tg в действительности не являются термореологически простыми, можно полагать, что для расчета остаточных напряжений такая модель поведения матрицы будет подходящей. Поэтому задача расчета напряжений, возникающих после завершения цикла отверждения, будет рассмотрена в первую очередь. Затем последует краткий обзор анализа термореологически сложных сред, позволяющего учесть зависимость начальной податливости от температуры и коэффициент йа. [c.191]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...