Тема 12. Линеаризация

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

Единой точки зрения на переход к линейным моделям не существует, в связи с чем периодически возникают дискуссии по этому вопросу [1]. Вместе с тем переход к линейной модели, как и всякое иное упрощение исходных зависимостей, можно считать допустимым, если при таком переходе не будут утеряны какие-либо фундаментальные свойства исследуемой системы, имеющие значение для решаемой задачи. Поэтому в каждом конкретном случае необходима оценка допустимости линеаризации. Большинство авторов приводят в качестве такой оценки сопоставление результатов решения исходной и линеаризованной систем, полученных при ограниченном числе вариантов возбуждения. Нередко сравниваются не непосредственно решения, а характеристики, которые лишь косвенно могут подтверждать правильность замены. [c.78]

Дальнейший анализ исследуемой системы может быть проведен на основании дифференциального уравнения (6.71), которое формально является линейным. Однако за линеаризацию приходится расплачиваться тем, что коэффициенты этого уравнения теперь — не заданные функции времени, как это было при рассмотрении (6.7), а включают члены, зависящие от параметров решения. Поскольку А/С и АР не зависят от времени, то они в качестве добавок войдут в свободные члены рядов /С ((ot) и Р ((ot) [см. (6.8), (6.9)] [c.278]

Метод прямой линеаризации наиболее наглядно приведет к понятию приведенной жесткости. Вместе с тем, в некоторых случаях он дает и большую точность, чем первые приближения отмеченных выше других методов нелинейной механики. [c.15]

Предположение об относительной малости амплитуды возбуждения еще не дает представления о результатах его воздействия на работу механизма. В самом деле, высокочастотные вибрации резцов металлорежущих станков, амплитуда которых редко превышает десятые доли мм, приводят к серьезным нарушениям технологического процесса (см., например, [35, 67]) амплитуды вибрации корпусов приборов, редко превышающие величину порядка 1—2 мм, могут служить источником существенных динамических ошибок и т. д. Даже для грубой оценки интенсивности возбуждения каких-либо предположений относительно его амплитуды еще недостаточно. Вторым, не менее важным фактором при этой оценке является частота возбуждения. Вместе с тем предположение об относительной малости амплитуды возбуждения определенным образом упрощает решение поставленных задач, допуская в некоторых случаях линеаризацию [c.19]

Возможность широкого использования линейных моделей нри исследовании АСР тепловых объектов определяется тем, что имеющиеся нелинейности непрерывны и монотонны, а отклонения переменных от некоторых фиксированных состояний ограничены. Это позволяет осуществлять линеаризацию уравнений статики и динамики. Мате- [c.441]

Несколько другой -метод расчета использовали Хитон и др. [Л. 14]. Они провели линеаризацию уравнения (8-i56) тем же способом, что и Ланг-хаар при анализе профилей скорости, получили обобщенный профиль температуры иа начальном участке и использовали его для решения интегрального уравнения энергии. В работе [Л. 14] получены решения для кольцевых каналов при постоянной плотности тепло вого потока и различных числах Прандтля. Краткая сводка результатов Хитона и др. представлена в табл. 8-11. [c.178]

Иногда нелинейные задачи могут быть решены с помощью методов решения линейных задач. Но в этом случае необходим искусственный переход к линейной задаче, т. е. фактически решение осуществляется в два приема вначале применяется метод линеаризации или метод подстановок, после чего задача решается одним из перечисленных методов решения линейной задачи. Этот путь интересен тем, что методы решения линейных задач (в том числе и методы, отнесенные к методам решения нелинейных задач, но примененные к линейным задачам) развиты значительно лучше, не говоря уже о том, что математическое обеспечение универсальных ЭЦВМ охватывает, в основном, именно эти методы. [c.66]

Исследование температурного поля полуограниченного тела, проведенное различными методами (параграф 3 гл. VII и настоящий параграф) подтвердили необходимость учета зависимости коэффициента теплопроводности от температуры, поскольку погрешность при решении линейной задачи достигала 30%. Вместе с тем при правильном выборе коэффициента теплопроводности существует возможность решения задачи в линейной постановке. Так, если коэффициент теплопроводности взять при температуре, близкой к температуре греющей среды, то погрешность определения температурного поля не превышает 3—8 %. Этот вывод носит частный характер и не распространяется на другие задачи, где при линеаризации предпочтительнее может оказаться другая, например средняя температура тела (см., например, [118]) (так в большинстве случаев и бывает). Тем не менее, учитывая специфику конструкции ротора и корпуса СКР-100, а также условия нагрева и охлаждения этих элементов, было решено дальнейшие исследования их теплового состояния проводить в линейной постановке с учетом указанного выше вывода из решения нелинейной задачи, что значительно упростило проведение эксперимента. [c.120]

Применим метод линеаризации уравнений, отбрасывая члены порядка квадратов и произведений разности U —Uy,. Очевидно, что для разреженного газа метод линеаризации должен давать тем более точные результаты, чем меньше скорость скольжения отличается от скорости на границе слоя Us (рис. 5). Мы получим уравнение типа уравнения теплопроводности [c.42]

Линеаризация сил сопротивления и тем более пренебрежение ими допустимы не всегда. Возможную нелинейность сил сопротивления следует учитывать при анализе виброграмм свободных затухающих колебаний и при вычислении резонансных [c.15]

Заметим, что метод гармонического баланса в случае малой нелинейности, когда / (х, х) = k x + e/i (х, х) (к — постоянная, е — малый параметр) приводит к тем же результатам, что и метод эквивалентной линеаризации (см. п. 4), а также метод гармонической линеаризации [52]. Таким образом прослеживается прямая связь этого метода с методом усреднения подробно данный вопрос разобран в книгах 1 12, 40]. С другой стороны, можно проследить связь метода гармонического баланса с методом Бубнова-Галеркина (см. п. 12), а также с методом малого параметра Пуанкаре (см. п. 3) эти связи указаны в монографиях [34, 58]. [c.99]

Тем не менее, точность полученного приближения и теперь недостаточна по ряду причин. Главные из них пренебрежение взаимодействием волн разных семейств и изменением инвариантов на скачках (о нецелесообразности учета роста энтропии говорилось в начале статьи) и использование правила (1.9). Что же касается линеаризации граничного условия при х = 0 в задаче о колебании скорости, то связанные с этим погрешности, хотя и будут того же порядка, однако не носят принципиального характера. Действительно, условие u(t 0) = /(т) можно рассматривать как точное равенство, не связанное с линеаризацией граничного условия в задаче о поршне. [c.295]

Важное значение имеет линеаризация задачи. Так как величина силы Р входит в граничное условие (1.6) линейно, то и перемещения должны линейным образом зависеть от силы Р. Тем самым полностью определена зависимость перемещений от радиуса р [c.9]

Коэффициенты а я Ь в формулах (25.44), (25.45) могут быть легко вычислены, если приближенно полагать В действительности, показатель степени при меньше ( ). Однако в данном случае это несуш,ественно в связи с тем, что при малых оптических плотностях (Тц<0,4) интегральные члены в указанных формулах, отображающие роль собственного излучения в переносе тепла на стенку, пренебрежимы (Т(,<0,2), а при Tq>0,4 сказывается допущение Тст Тд. В общем же случае приближение тЭ несколько завышает собственное излучение пограничного слоя. Однако это позволяет осуществить линеаризацию подынтегральных функций и путем интегрирования по частям и использования соотношений (20.173), (20.174) получить квадратуры интегралов (25.44) и (25.45). Последние после несложных преобразований, в ходе которых используется рекуррентная формула (25.47), приобретают следующий вид [c.648]

Возможность линеаризации кинематических формул определяется теми же условиями, которые приведены выше, т. е. чисто геометрическими факторами. По последовательность упрощений нелинейных формул для слоя другая, чем в теории оболочек. Здесь поперечные сдвиги и повороты одного порядка и обычно существенно больше удлинений. [c.281]

В тех случаях, когда возможна линеаризация (смещения малы, границы пренебрежимо мало изменяются), оба эти подхода приводят к одним и тем же математическим уравнениям. В нелинейных задачах оба подхода существенно различны. [c.8]

Уравнение (1-171) подобно (1-164) и отличается от него лишь тем,, что коэффициент гармонической линеаризации в последнем случае зависит от двух переменных амплитуды первой гармоники Мд.а и постоянной составляющей сигнала Мд.о на входе нелинейного элемента,. [c.46]

Математически околозвуковое течение описывается нелинейными уравнениями двух типов при скоростях, меньших скорости звука,— уравнениями эллиптического типа при скоростях, больших скорости звука,— гиперболического типа. Линеаризация уравнений движения такого сложного течения не позволяет получить уравнение, которое описывало бы весь поток. Вместе с тем физическая модель околозвукового течения отсутствовала. [c.332]

Полагая при составлении дифференциальных уравнений малых движений обобщенные координаты (отсчитываемые от положения равновесия) и обобщенные скорости малыми величинами, ограничимся в дифференциальных уравнениях движения линейными членами. Этот прием, заключающийся в отбрасывании в нелинейных дифференциальных уравнениях членов, содержащих квадрат и более высокие степени обобщенных координат и скоростей, называется линеаризацией уравнений. Такая линеаризация, естесавенно, в известной мере искажает действительную картину движений, однако чем меньше отклонения системы от положения устойчивого равновесия, тем точнее будут описывать линеаризованные уравнения движение системы. Линеаризация дифференциальных уравнений позволяет получить замкнутое решение для таких систем, для которых нахождение интегралов точной. [c.585]

С широким внедрением ЭВМ и вычислительной математики аналитические методы в аэродинамике не утрачивают своего значения. Хотя число этих методов относительно невелико (размерностный количественный анализ, асимптотические методы, методы характеристик и малого параметра, линеаризация уравнений движения), тем не менее с их помощью можно решать многие прикладные задачи. Для инженерной практики важное значение имеет тот факт, что аналитическое решение определяет соответствующие зависимости от параметров в явном виде, в то время как в вычислительном эксперименте необходимо проводить значительное число однотипных расчетов, которые позволяют установить правильные количественные соотношения между газодинамическими характеристиками. [c.3]

Линеаризация уравнении (1.6.3) — (1.6.10) приводит к тем же уравнениям (2.7.9), которые бьии получены для одиночного пузырька, но в которых вместо без 1азмериых функций [c.16]

Вместе с тем полученные результаты не отрицают возможности существования линейных моделей, достаточно полно описывающих динамику соответствующих пневмодемпферов, но при специальном характере возбуждения. Полученные результаты показывают, насколько важной при линеаризации является проверка возникающих при таком переходе погрешностей. [c.85]

Создавая методы расчета колебаний больших систем, приходится упрогцать расчетные модели отдельных деталей и узлов. Эти упрогцения идут по пути линеаризации подсистем и внешних нагрузок, замены гистерезисных потерь колебательной энергии в сочленениях деталей упруговязкими, рассмотрения части подсистем как абсолютно жестких и пренебрежения колебаниями по некоторым степеням свободы. Вместе с тем расчет колебаний больших систем имеет свои специфические задачи разработка расчетных моделей элементов конструкций и накопление необходимой для них экспериментальной информации создание типовых алгоритмов расчета для широкого класса машиностроительных конструкций оптимальное разделение системы на подсистемы, объем которых определяется оперативной памятью ЭЦВМ создание моделей и алгоритмов расчета, обеспечиваюгцих необходимую точность вычисления и соответствие результатов основным характеристикам реального процесса распространения колебаний оценка зависимости результатов расчета от точности задания исходной информации об отдельных элементах создание алгоритмов расчета, обеспечивающих минимальное время вычислений на ЭЦВМ и т. п. [c.4]

Иапользов зние дифференциальных приближений приводит К нелинейному относительно температуры дифференциальному уравнению энер гии, решаемому численно или методом линеаризации. При использовании же ин-тегралыных уравнений теплообмена излучением в конечном счете получается нелинейное интегро-дифференци-альное уравнение, которое либо решается численно [Л. 108, 402—405], либо путем экапоненциальной аппроксимации ядра (в случае плоского слоя) сводится к нелинейному дифференциальному уравнению [Л. 370, 407], решаемому тем или иным способом. [c.382]

Детальное изучение технико-экономических показателей и получение уравнения (10.153) поданным нормальной эксплуатации потребовало и значительного времени, так как число элементов в каждом ТЭП очень велико, и для определения тесноты и формы связи Та и б необходимо в линейном случае рассмотреть корреляцию каждого элемента с б и затем методами множественной корреляции получить уравнение (10.153). В нелинейных случаях решение пЬставленной задачи еще больше усложняется, так как необходимо иметь еще значения дисперсной функции, затем осуществить линеаризацию и только тогда методами множественной корреляции получить оценки показателей (10.153). По-видимому, в ближайшее время корреляционные в линейном случае и дисперсионные в нелинейном случае методы будут применяться в основном для получения зависимости от б в общем виде, и только для небольшого числа основных (доминирующих) элементов будет дополнительно рассматриваться связь с б. Естественно, что чем больше элементов будет исследовано, тем точнее будет анализ и тем точнее будут определены пути улучшения данного ТЭП. [c.366]

Принцип действия частотного преобразователя заключается в том, что измеряемый размер тем или иным способом трансформируется в величину упругой деформации струны, изменяющей частоту собственных поперечных колебаний в соответствии с измеряемым перемещением. Для линеаризации зависимостп частота — перемещение используют дифференциальные струнные преобразователи [1], имеющие две идентичные струны с начальной деформацией бо- [c.269]

Нелинейные В. у. При перечислении нелпнейпых обобщений В. у. необходимо проявлять нек-рую сдержанность, с тем чтобы при этом не утрачивалась связь с исходным В. у, В этом смысле единственным терминологически точным обобщением является внесение зависимости скорости с от волновой ф-ции в ур-ния (1), (3) или (8). Однако часто к нелинейным В, у. относят любые ур-ния,- вырождающиеся в линейные В. у. при устранении нелинейности или линеаризации. Наиб, известны нелинейное ур-ние Клейна—Гордона =m +F ij3), обобщающее линейное Клейна—Гордона уравнение, и нелинейное ур-ние Гельмгольца [c.313]

Недостатки метода были устранены путем линеаризации криволинейной зависимости при помощи тарировки зонда, предназначенного для измерения температуры указанным методом, по температуре, измеренной по такому методу, показания которого можно принять за образцовые. В качестве термоприемников использовались три термопары типа ПР-30/6 с различными диаметрами спаев, сваренные по обычной технологии из проволоки диаметром 0,2 0,4 0,5 мм при этом отклонения корольков термопар от геометрической формы автоматически учитывались при тарировке зонда. Провода термопар помещались в алундовые соломки, которые крепились в водоохлаждаемом чехле (рис. 1). Тарировка производилась в камере печи в потоке продуктов полного сгорания природного газа (с равномерным полем параметров, не считая пристеночных слоев) при этом температуры стен и газа были различными. В качестве образцового прибора служила отсасывающая термопара из того же материала. Результаты тарировки обрабатывали в виде условных размеров. Всего проведено около 120 тарировочных опытов при различных температурах газового потока и окружающих поверхностей. Среднеквадратичная относительная погрешность определения температуры 1%. В нее входит также погрешность, вызванная колебаниями температуры газового потока вслед--. ТБие колебания расходов газа и воздуха, и приборная почетность. Тем не менее полученная точность вполне удовле- рительная для подобных измерений, [c.207]

Для упрощения дальнейших выкладок линеаризируем это выражение (такая линеаризация впервые была применена проф. В. И. Прокофьевым), для чего заменим поверхность jM=/( oi o2) плоскостью, касательной к этой поверхности в точке oi= oi p, o2=W2 p. Такая замена будет давать тем более близкий результат, чем меньшими амплитудами будут обладать угловые скорости i п сог. [c.247]

Современные тенденции развития машиностроения направлены на повышение скоростей при работе в автоматическом режиме и создание легкоподвижности узлов автоматизированного оборудования путем применения специальных смазок, введения смазки под давлением, перехода к подшипникам и направляющим качения и т. п. Поэтому повышения точности воспроизведения и устойчивости гидравлических следящих приводов следует добиваться путем изыскания и введения новых нелинейностей, формирующих в приводе периодические перемещения, которые на плоскости А — р образуют полупетлю типа кривой J (рис. 3.51), подобно тому, как это делает сочетание нелинейных характеристик перепада давления p(h, q) и сухого трения T(V ). Практика показывает, что введение нелинейности в канал управления двухкоординатным гидравлическим следящим приводом станков КФГ-1 [72] позволило в 6—8 раз повысить быстродействие следящего привода и тем самым значительно расширить технологические возможности серийных станков КФГ-1. Для повышения устойчивости следящих приводов эффективными являются механизмы, создающие нагрузки вида вязкого трения с нелинейной характеристикой, а также управляющие золотники с нелинейной характеристикой [121]. Практика изготовления копировально-фрезерных станков КФС-20 на Горьковском заводе фрезерных станков показала целесообразность применения в высокоскоростных гидравлических следящих приводах управляющих золотников с переменной длиной щели, обладающих нелинейной характеристикой q(h). Исследуем степень эффективности введения указанных нелинейностей, применяя метод гармонической линеаризации. [c.214]

В действительном потоке кинетическая энергия вторичного течения составляет весьма малую долю вторичных потерь, обусловленных в основном трением на стенках и отрывом пограничного слоя на спинке лопатки. Успех теории индуктивного сопротивления крыла конечного размаха в отличие от решетки объясняется тем, что у крыла отсутствуют ограничивающие стенки. Кроме того, в последнем случае есть бол1)Ше оснований для проведения линеаризации, так как основной поток не испытывает поворота, и дополнительные скорости вторичного потока относительно меньше, чем в межлопаточных каналах решетки. [c.440]

В 1868 г. появилась работа английского физика Д. К. Максвелла О регуляторах . Он применил линеаризацию динамической задачи, создав так называемый метод малых колебаний. В этом случае осуществляется замена криволинейного участка ОВ (фиг. 6) отрезком прямой О А. Из графика видно, что приращение Ау, подсчитанное таким способом, отличается от действительного приращения функции увейств. Однако ошибка Аудейств — становится тем меньше. [c.8]

Извиняясь перед читателем за то, что мы провели его через подробности выкладок, все же добавим, что (А.7) представляет собой линейное уравнение относительно й , поэтому исходная задача не подвергается линеаризации. Если мы отбросим член со скоростью объемных сил, то в качестве переменных (А.7) будут скорости узловых перемещений й и скорости узловых сил Т (или, с другой стороны, приращения этих двух величин би и 6Т ), которые связаны линейной зависимостью. Однако при возрастании нагружения коэффициенты матрицы [Q] меняются, так как с ростом напряжений меняются коэффициенты матрицы [ ] (см. (3.13)). Эта особенность (А.7) является прямым отражением пропорциональности (3.5) поэтому мы можем сказать, что хотя упругопластичность представляет собой нелинейный процесс, тем не менее он оказывается линейным относительно приращений. [c.345]

Сохранив в выражении (148) относительной величины возмущения плотности р/роо квадратичный член (vlUсо) , имеющий, как мы только что убедились, тот же порядок, что и первый член 2ulUмы тем самым отказываемся от допустимости линеаризации уравнения малых возмущений. [c.333]

Будем считать, что движение происходит в плоскостях, параллельных границам потока, тем самым примем, что ю = 0. Кром того, с целью линеаризации уравнений откинем в них конвективные члены (ускорения). Пренебрегая действием объемных сил и считая движение стационарным, составим следующую систему уравнений [c.409]

По аналогии с линейной системой Афи.мин характеризует запас устойчивости нелинейной системы по фазе. Как следует из (2-198), резонансный пик Л/ мако тем больше, чем меньше Афнмин- Следует иметь в виду, что резонансный пик зависит от амплитуды управляющего воздействия Ра и соответствующего этой амплитуде коэффициента гармонической линеаризации. Другому значению амплитуды управляющего воздействия р а соответствует новая амплитуда ошибки б а и, следовательно, новый коэффициент гармонической линеаризации (б а)- При этом (2-197) не выполняется, т. е. [c.160]

Методика построения амплитудно-частотных и фазо-частотных характеристик 7д(/со) , arg7j(/ o) при наличии люфта в механической передаче отличается от обычной методики построения указанных характеристик для линейной системы (когда люфт отсутствует). Это объясняется тем, что, задавшись частотой и амплитудой возмущающего момента, определить амплитуду и фазу угла 0(/ ) трудно из-за зависимости коэффициента гармонической линеаризации <7з(0а), входящего в выражение Ф (/со), от амплитуды угла 0(0- Поэтому процедура построения амплитудно-частотных характеристик состоит в следующем. Задаемся амплитудой 0а угла 0(/). По известному значению люфта 0н находим отношение 0а/0н и по графику зависимости 9з(0а/0н) (рис. 1-17) определяем qs- Подставляя qs, в выражение для (/со) и используя логарифмические частотные характеристики, строим зависимость амплитуды и фазы возмущающего момента Mjs t) от частоты при фиксированной амплитуде 6а- [c.264]

Оценивая в целом постановку задач устойчивости в условиях ползучести, основанную на постулировании условных критериев устойчивости, приходится признать, что на этом пути в приложении к поведению реальных конструкций не было получено обнадеживающих результатов. Некоторые критерии, предлагавшиеся в исследованиях С. А. Шестери-кова [169] и Г. В. Иванова [57, 58], также по существу принадлежат к условным. Развитие этого направления, с другой стороны, имело значение в связи с тем, что на основе идеи Ю. Н. Работнова о возможности линеаризации уравнения состояния была разработана техника решения задач для исследования возмущенных движений при нелинейной ползучести стержней, пластин и оболочек, в том числе с учетом геометрической нелинейности [139, 83, 173, 87, 8]. [c.262]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...