Геометрическая теория равновесия

В основе статики дель Монте лежит геометрическая теория равновесия элементарных систем подвешенных тяжелых тел. Б своих рассуждениях он исходит нз ряда допущений [c.90]

В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о существовании периодических движений с периодом 2кж в окрестности точки обобщенного равновесия для систем с одной степенью свободы (та = 1). Мы докажем существование бесконечного числа таких близких периодических движений в общем случае устойчивого равновесия при помощи соображений, которые хотя и не опираются явно на геометрическую теорему Пуанкаре, но повторяют в точности рассуждения, доказывающие эту теорему в некоторых частных случаях. Ниже (в 3) эти результаты будут приложены к первоначальной динамической проблеме с двумя степенями свободы. [c.157]

Седло (седловая точка) В геометрической теории обыкновенных дифференциальных уравнений точка равновесия с вещественными собственными значениями, из которых по крайней мере одно положительно и одно отрицательно. [c.272]

Одновременно с разработкой и совершенствованием аналитических и геометрических методов исследования движений материальных частиц и твердых тел в механике под влиянием запросов практики возникает и интенсивно развивается целый ряд новых областей и направлений, таких как механика жидкостей и газов (гидромеханика, аэромеханика, газовая динамика), механика упруго и пластически деформируемых тел (теория упругости и теория пластичности), общая теория устойчивости равновесия и движения механических систем, механика тел переменной массы и др. [c.14]

Методы решения задач о равновесии с применением теории скользящих векторов составляют раздел механики, называемый геометрической статикой. [c.353]

Докажем сначала теорему для системы с одной степенью свободы, допускающую наглядную геометрическую интерпретацию. Потенциальная энергия системы с одной степенью свободы для стационарного силового поля зависит только от одной обобщенной координаты 7, равной нулю в положении равновесия. Примем потенциальную энергию в этом положении равной нулю, т. е. П (0) = = 0. По условию теоремы в положении равновесия потенциальная энергия имеет изолированный относительный минимум, т. е. Я,пХп [c.409]

Теоремы геометрической статики формулируются применительно к абсолютно твердому телу или системе таких тел. Распространение этих теорем на деформируемое твердое тело вытекает ив принципа отвердения, утверждающего, что равновесие [c.25]

В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория устойчивости упругих стержней. Особенность этих задач состояла в том, что уравнения равновесия составлялись для деформированного состояния стержня, т. е. по существу речь шла о геометрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, описанные в 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям теории упругости, для которых доказана теорема единственности. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся распространить вариационные уравнения на геометрически нелинейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения статики должны составляться не в исходной системе координат, например декартовой, а в той криволинейной системе координат, в которую превращается исходная вследствие деформации. Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому нам будет удобно вернуться к выводу 7.4, где напряжения определялись по существу как обобщенные силы, для которых компоненты тензора деформации служили обобщенными неремещениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью [c.390]

В теории течения статические уравнения (уравнения равновесия) и геометрические уравнения (Коши и Сен-Венана) будут иметь тот же вид, что и в теории упругости или теории малых упруго-пластических деформаций. [c.293]

Уравнение (8,12) выражает теорему Н. Е. Жуковского, являющуюся геометрической интерпретацией принципа возможных перемещений если в соответствующие точки повернутого плана скоростей перенести все силы, под действием которых механизм находится в равновесии, то сумма моментов всех этих сил относительно начала плана равна нулю. [c.298]

Вариационные принципы механики неразрывно связаны с теорией групп преобразований, синтезом аналитического и геометрического аспектов механики, оптико-механической аналогией и единой волново-корпускулярной картиной движений, классической и квантовой теорией физических полей, вариационными методами решения задач движения, равновесия, устойчивости и структуры физических систем и другими фундаментальными проблемами. [c.780]

Таким образом, система уравнений теории оболочек, состоящая из геометрических уравнений, уравнений упругости и уравнений равновесия, является замкнутой. [c.254]

Выражения (1.14) и представляют собой статико-геометрическую аналогию. Обратим внимание на то, что вектор, стоящий в правой части второго равенства (1.14), является вектором обобщенных перемещений для вектора сил, стоящего в левой части первого равенства (1.14) и наоборот (см. стрелки). Первое уравнение (1.14) является уравнением равновесия, а второе — геометрическим уравнением, связывающим перемещения узлов системы с деформацией стержней, и аналогом уравнений Коши в теории упругости. [c.17]

Анализ уравнений теории оболочек позволяет сделать вывод, что различие напряженных состояний исходной и возмущенной оболочек вызвано изменением величин нормальных кривизн, обусловленным малыми возмущениями формы срединной поверхности оболочки. Это особенно сказывается при большом меридиональном усилии ТI, которое почти не изменяется в зависимости от геометрических размеров. Это усилие, умноженное нд кривизну меридионального сечения, входит в соответствующее уравнение равновесия и при изменении кривизны значительно изменяет остальные усилия и моменты. [c.145]

Массив грунта, ограниченный откосом (склоном), в состоянии равновесия - это геометрически сплошное тело (рис 2 б). В теории графов его можно охарактеризовать как связанный граф, то есть любые две вершины соединены цепью или, двигаясь из любой точки массива можно попасть в любую другую или же вернуться в исходную, не встречая или обходя пластические области и зоны образования трещин. [c.13]

Уравнения (16.14) называются уравнениями Ляме. По своей сути они являются уравнениями равновесия, выраженными через перемещения. Поскольку при выводе этих уравнений использовались все основные соотношения теории упругости, можно сказать, что уравнения Ляме являются синтезом статических, геометрических и физических уравнений. [c.339]

Уравнения прикладной теории включают три основные группы уравнений равновесия, геометрические и физические, которые базируются на следующих гипотезах [c.223]

На поверхности оболочки есть также зоны, где оба главных усилия — растягивающие. Они во многих случаях занимают значительную ее часть. При определении геометрии и силовых факторов в оболочке при нахождении границ участков складок не может быть применено правило неизменности начальных размеров.Уравнения равновесия должны быть составлены для деформированного состояния. Наиболее общей оказывается теория больших деформаций оболочки, использующая нелинейные геометрические и физические соотношения. [c.166]

Уравнения равновесия, силовые граничные условия и геометрические соотношения, а также соответствующие им уравнения связи между масштабами в теории малых упругопластических деформаций совпадают с аналогичными уравнениями линейной теории упругости ( 5.1) и в данном разделе не рассматриваются. [c.91]

Пользуясь результатами масштабных преобразований уравнений равновесия, граничных условий и геометрических соотношений линейной теории упругости, которые, как указывалось, справедливы для случая упругопластических деформаций и допускают известный произвол в выборе масштаба относительных удлинений ( 5.1), можно поставить выбор этого масштаба в зависимость от характера диаграмм деформации модели и натуры. [c.93]

С понятием конечных деформаций, для которых характерна нелинейность геометрических соотношений, в теории упругости тесно связано рассмотрение задач устойчивости равновесия и за-критического поведения элементов конструкций, обсуждаемых в гл. 7. [c.96]

Сохраняя обозначения, принятые в 6.2, представим геометрические зависимости (I), соотношения упругости (II) и уравнения равновесия (III) полубезмоментной теории в форме [c.120]

В гл. 1 и 2 книги мы будем рассматривать теорию упругости при малых перемещениях (геометрически линейную теорию упругости) и выведем принцип виртуальной работы и связанные с ним вариационные принципы для задачи о статическом равновесии упругого тела, находящегося под действием массовых (объемных) сил, при заданных граничных условиях [1,2 ]. Для описания трехмерного пространства, в котором рассматривается тело, применяются ортогональные декартовы координаты (х, у, z). В геометрически линейной теории упругости компоненты перемещений и, V, W в точке тела считаются столь малыми, что уравнения задачи выполняются в линейном приближении. Запишем эти линеаризованные уравнения [c.23]

Проделав некоторые выкладки, найдем, что уравнения равновесия, а также механические и геометрические граничные условия в этой упрощенной линейной теории тонких оболочек имеют такую же форму, что и соответствующие уравнения в 9.4. Однако соотношения результирующие напряжения—деформации и выражение для энергии деформации оболочки принимают более простой вид (ср. приведенные ниже соотношения с (9.72) и (9.73)) [c.276]

Статика излагается после динамики и начинается с принципа возмож-ны.ч перемещений затем следует обстоятельное изящное исследование вопроса о равновесии нитей и геометрическая теория равновесия, в которой автор даёг основные положения элементарной статики на базе геометрии скользящих векторов. [c.658]

С логической точки зрения геометрическая статика твердого тела должна рассматриваться как предельная теория. Она излагает известное число общих законов, применимых ко всем твердым телам, каковы бы ни были их молекулярное строение и их упругие свойства, если только деформации можно считать бесконечно малыми. Однако построенная таким образом теория представляет собой неполную теорию равновесия, так как она систематически оставляет в стороие. упругие свойства, привлечение которых становится в некоторых случаях совершенно необходимым. В этих случаях методы геометрической статики оказываются недостаточными для разрешения всех вопросов, которые может поставить перед нами задача о равновесии. Некоторые из этих вопросов могут даже оказаться противоречивыми, если сохранить гипотезу абсолютной неизменяемости твердого тела. [c.231]

Остановимся на некоторых положениях, высказанных Млодзеевским в названных выше учебниках и учебных пособиях, разъясняющих их содержание и особенности. В предисловии к учебнику Термодинамика и теория фаз Млодзеевский писал Приложение термодинамики к учению о состояниях вещества, называемое обыкновенно теорией фаз, представляет интерес прежде всего для физиков и химиков. Но по мере того как самые разнообразные области науки и техники все более стремятся стать на физико-химическую основу, теория фаз захватывает новые области применения, оказывается необходимою всюду, где приходится иметь дело с превращением вещества... Настоящая книга должна служить введением в сложную область термодинамического учения о состояниях вещества... Книга содержит общие основы термодиналшки, а затем ученье о фазах с применением к системам с одним или двумя компонентами. Особенное внимание обращено на геометрическое изображение равновесия фаз... . В первой части книги автором кратко, но очень обстоятельно излагаются основы термодинамики и ее начала. Второй принцип термодинамики Млодзеевским излагается методом Карно—Клаузиуса. Более подробно в этой части книги говорится об энтроппи и равновесии систем, о возрастании энтропии при диффузии и при кристаллизации переохлажденной жидкости, о свободной энергии и термодинамическом потенциале. [c.646]

В основу своей статики Стевин положил постулаты Архимеда, закон рычага и пополнил их принципом невозможности вечного движения , принципом отвердевания , законом сложения перпендикулярных сходящихся сил, принципом возможных перемещений . Новые идеи позволили сформулировать условия равновесия тела на наклонной плоскости, теорию веревочных машин , широко использовавшихся в технике кораблестроения, погрузочно-разгрузочных работ, управления парусами. Свой принцип возможных перемещений Стевин формулирует следующим образом Как путь движущего относится к пути движимого, так и сила движимого относится к силе движущего [63, с. 65]. Гидростатические законы Стевина давления воды на дно и стенки сосудов, равновесия воды в сообщающихся сосудах существенно развили гидростатику Архимеда и использовались в практике строительства плотин, а введенные им обозначения сил направленными отрезками (прообраз будущего вектора) и понятие силового треугольника (геометрическое условие равновесия трех сходящихся сил) вошли в современную механику. [c.51]

Докажем сначала теорему для системы с одной степенью свободы, допускающую наглядную геометрическую интерпретацию. Потенциальная энергия системы с одной степенью свободы для стационарного силового 1юля зависит только от одной обобщенной координагы q, равной нулю в положении равновесия. Примем потенциальную энергию в этом положении равной нулю, т. е. Я(0) = 0. По ус1ювию теоремы в положении равновесия потенциальная энергия имеет изолированный относительный минимум, i. е. /7 1п = Я(0) = 0, и функция U = n(q) в малой окрестности =0, принимая только положительные значения, является возрастающей функцией ц, т. е. имеет вид, представленный на рис. 108. [c.422]

Строгая математическая модель деформаций дЛя всей конструкции ЭМУ, состоящей из п тел, в соответствии с теорией упругости представляет совокупность п систем известных уравнений физических (закон Гука) для составляющих напряжений в точке, геометрических (условия совместности) для деформаций в точке от перемещений и статических (уравнения равновесия) для связи напряжений с проекциями объемных сил совместно со взаимосвязанными геометрическими и граничными условиями [3]. При этом предполагается, что нагрузки на элементы конструкции заданы. Это существенно, например, при рассмотрении температурных полей и деформаций и их взаимовлияршя. [c.120]

В предыдущих главах были рассмотрены статические ус-"яовия (условия равновесия) внутри и на поверхности тела (уравнения (1.16), (1.18)), геометрические уравнения, устанавливающие связь между деформациями и перемещениями (уравнения Коши (1.19)) и между деформациями (условия неразрывности Сен-Венаиа (1.29)), и, наконец, физические уравнения, устанавливающие связь между напряжениями и деформациями в точке тела (обобщенный закон Гука, уравнения (2.8) и (2.10)). Составим сводку основных уравнений теории упругости. [c.51]

Обсуждение статической неопределимости закона распределения напряжений по поперечному сечению стержня показало, что при наличии в стержне отверстий, выточек и тому подобных нерегулярностей формы возникает резкая неравномерность распределения напряжений со значительными пиками вблизи указанных нерегулярностей. Это явление носит па. атптконцгнтрации напряжений. Оно обнаруживается не только при осевой, но и при всех других видах деформации стержня, а-также при деформации элементов любой формы (не только стержневых). С этим явлением приходится считаться как при конструировании элементов конструкций и деталей машин, так и при расчете их. Выявить распределение напряжений с учетом их концентрации можно двумя путями теоретическим и экспериментальным. Теоретический путь основан на применении теории сплошных сред (теории упругости, теории пластичности, теории ползучести — в зависимости от свойств материала), в которой вместо гипотез геометрического характера используются дифференциальные уравнения совместности деформаций, а равновесие соблюдается для любого бесконечного малого элемента тела, а не в интегральном (по поперечному сечению) смысле, как это делается в сопротивлении материалов. [c.99]

Приведенные выше зависимости относятся к линейной теории изгиба пластин. Как показано в следующем параграфе, используя эти зависимости, можно получить линеаризованное уравнение, дающее возможность найти точки бифуркации начального неискривленно-го состояния равновесия пластины и определить изгибные формы равновесия пластины в окрестностях точек бифуркации. Но этих зависимостей недостаточно для того, чтобы исследовать поведение пластины в закритической области при конечных поперечных прогибах. Недостаточно их и для исследования устойчивости пластин энергетическим методом. Для этих целей кроме приведенных линейных зависимостей необходимо использовать геометрически нелинейные соотношения теории гибких пластин. Выведем эти соотношения. [c.140]

Статико-геометрическая аналогия, установленная впервые А. Л. Гольденвейзером, широко используется в теории оболочек. В частности, с ее помощью можно выразить общее решение однородных уравнений равновесия через три вспомогательные функции. [c.256]

Методами геометрической С. изучается С. твёрдого тела. При этом рассматриваются решения следующих двух типов задач 1) приведение систем сил, действую-Ш31Х на твёрдое тело, к простейшему виду 2) определение условий равновесия сил, действующих на твёрдое тело. Геометрическую С. можно также строить непосредственно исходя из Ньютона законов механики и вытекающих из этих законов общих теорем динамики. [c.660]

Блок-схема алгоритма шагово-итерационного расчета геометрически и физически нелинейных тонкостенных подкрепленных конструкций (рис. 7.21 построена на основе уравнений, приведенных в 3.2. Физическая нелинейносп. учитывается в рамках теории течения с использованием уравнений состояния описанных в 2.4 для различных типов материалов. Алгоритм предусмагривас i возможность нагружения конструкции с переменным шагом по нагрузке, а также возможность энергетической коррекции решения на каждой итерации равновесия для ускорения сходимости итерационного процесса. [c.146]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

В плоской задаче теории упругости неизвестными являются восемь функций Tpi составляющие напряжений а,., Оу, т. три составляющие дефор1аций г-р. , Vii, и лве составляющие перемещений и и V. Уравнений для решения задачи также Bo e i два дифференциальных уравнения равновесия (ft.2). три геометрических соотношения Коши (6,4) и три формулы. закона Гука (6.7) или (6,8), [c.60]

Рассмотрим основные уравнения установившейся ползучести. Уравнения теории напряжений и теории деформации остаются теми же, что и в теории упругости и пластичности. Это дифференциальные уравнения равновесия (4, Г), условия на поверхности (4.2), геометрические соотношения Хоши (4.С) и уравнения неразрывности 4.4). [c.253]

Теория. оболочек лежит в основе расчетов на прочность тонкостенных конструкций, в том числе сложных и ответственных отсеков и агрегатов ракет. ( бщая теория основывается на гипотезах, позволяющих свести сложные трехмерные задачи механики к двумерным. Однако уравнения равновесия и геометрические соотношения при этом оказываются весьма громоздкими. Их можно упростить, если рассматривать наиболее распрдстраненные в ракетной технике оболочки вращения. Тем не менее решить задачи аналитически удается лишь в отдельных частных случаях. Наиболее простой вариант — б е з м о-ментная теория оболочек. Она широко применяется при расчетах, позволяя в большинстве случаев получить простые решения. Более сложные подходы требуют создания численных алгоритмов расчета. [c.127]

Линеаризованные физически нелинейные задачи для гладких и ребристых оболочек. Учет приобретенной анизотропии на примере линеарнзапни физически нелинейных задач теории малых упруго-пластических деформаций при использовании метода переменных параметров упругости рассмотрен в [П. 3]. В этом случае связь между компонентами усилий и деформаций для гладких и ребристых оболочек можно представить в форме (I 20) гл. 4 Д.ЧЯ неоднородных анизотропных оболочек. В этих уравнениях коэффициенты упругости являются функциями напряженно-деформированного состояния. Прн решении данной нелинейной задачи методом переменных параметров упругости физические соотношения на каждом шаге линеаризации сохраняют форму (1.20) с постоянными коэффициентами упругости. Часть коэффициентов в эти.х соотношениях обращается в нуль, а вид других зависит от интегральных физических характеристик сечения (например, [П. 6]). Уравнения равновесия и геометрические завнснмостн, естественно, остаются одинаковыми для теории малых упруго-пластических деформаций н линейной теории неоднородных анизотропных оболочек. [c.219]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...